概念、方法、題型、易誤點(五)立體幾何_平面向量

1、 概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)（五）立體幾何、平面向量九、直線、平面、簡單多面體、旋轉(zhuǎn)體1、三個公理和三條推論：（1）公理1：一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。（2）公理2、如果兩個平面有兩個公共點，它們有無數(shù)個公共點，而且這無數(shù)個公共點都在同一條直線上。這是判斷幾點共線（證這幾點是兩個平面的公共點）和三條直線共點（證其中兩條直線的交點在第三條直線上）的方法之一。（3）公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點有且只有一個平面。推論1：經(jīng)過直線和直線外一點有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩

2、條平行直線有且只有一個平面。公理3和三個推論是確定平面的依據(jù)。如 在空間四點中，三點共線是四點共面的_條件（答：充分非必要）；2、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：在畫直觀圖時，要注意：（1）使，所確定的平面表示水平平面。（2）已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半。如（1）用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形的形狀是（）（答：A）（2）已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為_（答：）3、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線有且只有一個公共點。（2）平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點。（

3、3）異面直線不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點。如 給出下列四個命題：異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；兩異面直線，如果平行于平面，那么不平行平面；兩異面直線，如果平面，那么不垂直于平面；兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線 。其中正確的命題是_（答：）4、異面直線所成角的范圍：；計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移，把兩條異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。如： 若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是_（答：）；5、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條，因為空間

4、中，垂直不一定相交。如 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是異面直線AC與A1D的公垂線，則由正方體的八個頂點所連接的直線中，與EF平行的直線有_條（答：1）；6、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。 平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行沒有公共點；（2）相交有一條公共直線。7.線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理（1）直線與平面平行的判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個平面平

5、面平行，那么這條直線和這個平面平行；（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。（3）直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。（4）直線和平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。(5)兩個平面平行的判定定理：一個如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。（6）兩個平面平行的性質(zhì)： 如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行；若兩個平面平

6、行，則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個平面平行。（7）兩個平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。定義法：即證兩個相交平面所成的二面角為直二面角；（8）兩個平面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。8、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（2）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角。9、直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條

7、斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。（2）范圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角為_（答：arcsin）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是_（答：）；（3）是從點引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為_（答：）；（4）若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角

8、，則sin的值為_（答：）。10、二面角：（1）平面角的三要素：頂點在棱上；角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；三垂線法：過其中一個面內(nèi)一點作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過一點作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：；11、點到平面距離的求法：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點確定已知面的垂面是關(guān)鍵；體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；等價轉(zhuǎn)移法（利用平行線或

9、相交線轉(zhuǎn)移到其它點）。如（1）長方體的棱，則點到平面的距離等于_（答：）；（2）在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則A1到平面MBD的距離為_（答：a）。直線與平面的距離（前提是直線與平面平行）、兩平行平面之間的距離，轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離。12、多面體的概念：由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面。多面體的相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱。多面體的對角線：多面體中連結(jié)不在同一面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線。凸多面體：把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體。

10、多面體的知識結(jié)構(gòu)（只研究幾種常見得凸多面體）注意：四棱柱的分類：平行六面體，長方體，正四棱柱，正方體直四棱柱 直平行六面體，長方體，正四棱柱，正方體1）棱柱的基本概念和主要性質(zhì)名 稱棱 柱直棱柱正棱柱圖形定義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的 多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形平行六面體的定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；幾類平行六面體：平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正

11、方體；2） 棱錐的基本概念和主要性質(zhì)名稱棱錐正棱錐圖形定義有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的射影是底面多邊形的中心側(cè)棱相交于一點但不一定相等相交于一點且相等側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角形對角面的形狀三角形等腰三角形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等平行于棱錐底面的截面的性質(zhì)：（）側(cè)棱與高被平行于底面的平面所分的線段成比例；（）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形，即3）幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面 都是平行四邊

12、行；四條對角線交于一點，且被該點平分直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對角線交于一點，且被該點平分長方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對角線相等，交于一點，且被該點平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點，且被該點平分4）面積和體積公式下表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜高，表示側(cè)棱長 .名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長×S側(cè)+2S底S底·h=S直截面·直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch5）正棱錐的性質(zhì)（如圖）：（1）各側(cè)棱相

13、等，各側(cè)面是全等的等腰三角形，等腰三角形底邊上的高稱為斜高；（2）底邊、側(cè)棱、高、斜高、底面邊心距組成直角三角形正四面體：是側(cè)棱和底面邊長相等的正三棱錐。例如：設(shè)正四面體的棱長為a，容易求得這個正四面體的(1)全面積S全=a2； (2)體積V=a3；(3)對棱中點連線段的長d=a；(4)相鄰兩面所成的二面角=arccos (5)外接球半徑 R=a； (6) 正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高).(7) 內(nèi)切球半徑r=a.13、側(cè)面積（各個側(cè)面面積之和）、全面積：（1）棱柱：側(cè)面積直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積底面周長&

14、#215;側(cè)棱長。如（1）長方體的高為h，底面積為Q，垂直于底的對角面的面積為M，則此長方體的側(cè)面積為_（答：）；（2）斜三棱柱ABC- A1B1C1中，二面角C-A1A-B為120°，側(cè)棱AA1于另外兩條棱的距離分別為7cm、8cm，AA1=12cm，則斜三棱柱的側(cè)面積為_（答：）；（3）若斜三棱柱的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，相鄰兩側(cè)棱之間的距離都為5，則該三棱柱的側(cè)面積為_（答：120）。（2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積×底面周長×斜高。如（1）已知正四棱錐PABCD的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積是_（答：

15、）；（2）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于_（答：）。提醒：全面積（也稱表面積）是各個表面面積之和，故棱柱的全面積側(cè)面積2×底面積；棱錐的全面積側(cè)面積底面積。14、體積：（1）棱柱：體積底面積×高，或體積直截面面積×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積底面積×側(cè)棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）。如 斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，側(cè)棱AA1和AB、AC都成45°的角，則棱柱的側(cè)面積為_，體積為_（答：；）。（2）棱錐

16、：體積×底面積×高。如（1）已知棱長為1的正方體容器ABCDA1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中點E、F、G處各開有一個小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計）是_（答：）；（2）在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點，EFDE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為_（答：）；（3）已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為_（答：）；（4）在平面幾何中有：RtABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結(jié)論，在三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩點互相垂直，且PA=a，PB=

17、b，PC=c，此三棱錐PABC的高為h，則結(jié)論為_（答：）特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體。15旋轉(zhuǎn)體.圓柱、圓錐的面積和體積公式，球面的面積和球體的體積公式圓柱圓錐球圖形定義矩形ABCD(及其內(nèi)部)繞其一條邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周, 所形成的幾何體叫做圓柱.將直角三角形ABC(及其內(nèi)部)繞其一條直角邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周, 所形成的幾何體叫做圓錐將圓心為O的半圓(及其內(nèi)部)繞其直徑AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周, 所形成的幾何體叫做球S側(cè)2rrS全2r(+r)r(+r)4R2Vr2h(即r2)r2hR3表中、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐的底半徑，R表示球的半徑.

18、球的基本性質(zhì)（1）球面上任意一點到球心的距離等于半徑長；（2）球的截面：用一個平面去截一個球，截面是圓面。過過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓.（3）球心O與截面圓的圓心O1的連線垂直于截面球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.球面距離：連結(jié)球面上兩點A, B的所有路徑中, 過A, B的大圓劣弧最短, 定義這條弧的長度為球面上兩點A, B間的距離. 如何計算球面距離？（一般求同經(jīng)度、同緯度兩點球面距離）（如圖）(1)計算過兩點的弦AB的長; (2)算出大圓圓心角AOB的弧度數(shù); (3)弧長公式計算劣弧AB的長。說明：什么是經(jīng)度、緯度？經(jīng)線：球面

19、上從北極到南極的半個大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)；緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。球的體積和表面積公式：V。如（1）在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，面積分別為49cm2、400cm2，則球的表面積為_（答：）；（2）三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）。（3）設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有兩地，它們的緯度圈上的弧長等于，求兩地間的球面距離（答：）；（4）球面上有3點，其中任意兩點的球面距離都等于

20、大圓周長的，經(jīng)過這3點的小圓的周長為，那么這個球的半徑為_（答：）；（5）三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，若四個點都在同一球面上，則此球面上兩點A、B之間的球面距離是_（答：）。16、你熟悉下列結(jié)論嗎？三個平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點，那么第三條交線也經(jīng)過這一點；從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；（3）若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2+cos2+cos2=1；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2。（4）若正棱錐的側(cè)面與底面所成

21、的角為，則。（5）在三棱錐中：側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；頂點到底面三角形各邊的距離相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點在底上射影為底面內(nèi)心.提醒：若頂點在底面上的射影在底面三角形外，則頂點在底上射影為底面的旁心。正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r3：1。十空間向量與立體幾何1、 利用向量證明平行：（1）線線平行（面面平行）方法：（2）線面平行方法：利用共面向量定理，如果兩個向量、 不共線，則向量 與向量、共面的充要條件

22、是存在實數(shù)對x,y，使=x+y2、向量法求空間的三種角的大小？（1）異面直線所成角：向量和的夾角<,>(或者說其補角)等于異面直線a和b的夾角. 注意：異面直線的夾角取銳角（或直角）。（2）法向量法求斜線與平面所成的角：設(shè)是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量，與的夾角為，設(shè)直線與平面的所成角為，則。（3）求二面角的大小。 方法1：（定義法）如圖，轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角（注意：要特別關(guān)注兩個向量的方向） 方法2：（法向量法）、分別是平面和平面的法向量，那么<，>(或者其補角)與二面角-l-的大小相等。 注意：法向量法

23、得出的角是所求的二面角，或者是其補角，還需要根據(jù)具體圖形特征判斷。3. 法向量法求空間的距離的方法ABCD（1）點到面的距離：已知為平面的一條斜線段，為平面的法向量，則到平面的距離=.（2）兩條異面直線距離：先求兩條直線的公共法向量，再求連接兩異面直線上任意兩點E,F的線段在公共法向量上的射影長。方法：、為異面直線，、間的距離為：.其中與、均垂直的法向量，、分別為兩異面直線、上的任意兩點。十一。平面向量1、向量有關(guān)概念：零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫

24、相等向量，相等向量有傳遞性；平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；三點共線共線；相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如， ，等；（2）坐標表示法：在平面直角坐標系，與軸、軸方向相同的兩個單位向量，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，。2、向量的運算：（1）幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”；向量