定積分的例題分析及解法

1、定積分的例題分析及解法本章的基本內容是定積分的概念、計算和應用一、定積分的概念1定積分是下列和式的極限bnf (x)dx = lim ' f ( i) ：xia '其中 二max" ：xifi <<因此，定積分是一個數(shù)，它依賴于被積函數(shù)f (x)和積分區(qū)間a,b定積分與積分變量用什么字母無關：bbaf(x)dxaf (t)dt2. 定積分的性質(1) 線性性質(2)(3)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積(當被積函數(shù)f(X)_ 0時)。bbbk1 f (x) k2g(x) d = k1 f(x)dx k2 g(x)dxa a abaaf (x)dx= - f

2、(x)dx, Jaf(x)dx = 0bcba f (x)dx= a f (x)dxcf(x)dxbb(4) 若 f (x) _g(x),則 f(X)dx g(x)dxaa，使下式成立(5) 積分中值定理：設f (x)在a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在一點J(x)dx= f()(ba),其中 久a.b。a(6) 估值定理：若 f (x)在a,b上可積，且 m乞f(x)空M，則有不等式bm(b-a)乞 f (x)dx 玄 M (b-a)ad x加")(7) 若函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，則有3. 廣義積分。二、定積分的計算1. 牛頓一萊布尼茨公式:baf(x)dx =F(b)-F(

3、a)2 換元法：注意，在換元的同時不要忘記換積分限3 分部積分法：bb bu(x)du(x) =u(x)u(x) a Lu(x)du(x)4定積分的近似計算：梯形，拋物線法。三、定積分的應用基本方法是：(1 )代公式；(2)微元法1. 平面圖形的面積(1) 直角坐標系。注意選擇合適的積分變量x或y可使計算簡化(2) 參數(shù)方程(3) 極坐標系2. 旋轉體體積3 平面曲線弧長4. 物量應用：變速直線運動的路程(已知速度函數(shù) ：(t)，變力作功，引力，液體側壓力。注：定積分的幾何應用可直接代公式，要求記住面積、體積和弧長的公式，定積分的物理應用強調用 微兀法，解題的一般步驟是：(1) 建立坐標系；(

4、2) 取典型微段；(3) 寫出微元表示式；(4) 寫出所求量的定積分表達式，并進行計算。一、疑難解析在這一章中，我們接觸到了微積分學中的又一個重要的基本概念：定積分，與前面所學過的函數(shù)在某 點連續(xù)或可導等概念相比，定積分的概念顯得要復雜些，定積分反映的是函數(shù)在一個區(qū)間上的整體性質， 當然定積分的概念也是利用極限的概念來建立的，這與連續(xù)、可導的概念相類似，但它是另一種形式的極 限，因此它的很多性質可以由極限的性質而得來，另一方面需要特別指出的是，與前一章不定積分的概念 相比，這兩者只一定之差，卻有著本質的不同，前者討論的是函數(shù)的原函數(shù)，而后者是一個和式的極限。 這一點在學習過程不要使之相混淆。當

5、然，微積分基本定理(即牛頓一萊布尼茨公式)反映了定積分與不定積分的內在聯(lián)系，或者說微分學與積分學的內容在聯(lián)系。(一) 關于定積分的定義在定積分的定義中，極限nlim ' f ( i) ：xi0i 弓在存在不依賴于對 a,b 1區(qū)間的分法，也不依賴于i在小區(qū)間X2,X上的取法(i =1,2,. ,n，這兩 點非常重要，不可缺少，換言之，若由于a,b的分割法不同而使極限nlim ' f ( i) xiJoy取不同，貝y f(x)在a,b 1上是不可積的：若上述極限由 i的取法不同而取不同的值時，f(x)在a,bl上同樣不可積。函數(shù)f(X)在a, b 1上可積的條件與f(X)在a,b

6、 上連續(xù)或可導的條件相比是最弱的條件，即f(X)在a,b 1上有以下關系?？蓪?連續(xù)=可積反之都不一定成立。定積分ff(x)dx是一個數(shù)，當被積函數(shù)f (x)及積分區(qū)間a,b】給定后，這個數(shù)便是確定的了，它除ub了不依賴于定義中的區(qū)間分法和i的取法外，也不依賴于符號.f(x)dx中的積分變量x，即abbf (x)dx二.f (t)dt，因此，定積分記號中的積分變量可以用任何字母來表示，此外，對于定積分符號aabf (x)dx意味著積分變量 x的變化范圍是a蘭x乞b。(二) 有關定積分的性質在定積分的性質中，除了類似于不定積分的線性性質以外，還要記住下列基本公式：ab* f(x)dx f(x)d

7、xaf(x)dx = 0b1dx = b -aa定積分關于積分區(qū)間的可加性是一個很重要并且在計算定積分時常用的性質，即ebba f(x)dx f(x)dx = :a f(x)dx當利用牛頓一萊布尼茨公式計算定積分時，若被積函數(shù)是分段函數(shù)，就需用到這條性質，另外在解定積分的幾何應用問題時，也要經(jīng)常用到這一性質，要注意到在利用這個性質時，C點并不一定在la,b 1內部，可以有c：a，或者c b，前提是只要被積函數(shù)在每個相應的區(qū)間上都是可積的。由于定積分反映的是函數(shù)在一個區(qū)間上的整體性質，所以不能用它來研究函數(shù)的局部性質，例如有兩個在a, b 1上可積的函數(shù)f (x)和g(x)，若f(x) g(x)

8、 (x a,b)則由定積分的性質知道bba f(x)dx ag(x)dx反之，當bba f(x)dx ag(x)dx成立時，卻不一定在a,b 1 上恒有 f(x) .g(x).例如，設 f (x) = . 1 -x2,g(x) =2在1,1 上有411応J(x)dx =二、1 -x dx= 21 1 -J (x)dx1 一 x2 dx 二？顯然1 1f(x)dx g(x)dx但我們注意到一 3、,93,3、f ( )g ()44444奇函數(shù)或偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的結論也是很有用的，但要求被積函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，積 分區(qū)間的對稱區(qū)間l-a,a 1,不過在解題時可以活用，例如此函數(shù)既非奇函

9、數(shù)也非偶函數(shù)，然而若設fi(x)1 - x2f2（X）=則fi（x）是奇函數(shù)，f2（x）是偶函數(shù)，且f(X)二 fi(x) f2(x)利用定積分的線性性質及奇偶數(shù)在對稱區(qū)間上的積分結果很容易計算出211x52dx2 2 1dx212 dx三1 - x=0+4廣 1 dx21=4a r c sxn =0（三）關于變上限的定積分若f （x）在a,b】上連續(xù)，則變上限積分xG(X) f (t)dta是a,b i上的一個可導函數(shù)，自變量是x，且A(x)二 f(x)同樣可以考慮變下限的定積分，即bG(x) f (t)dtLx顯然bxG(x)=(t)dt) =(- b f(t)dt)有時我們可能還會遇到形

10、式上更一般的變上限積分g(x)(x)、f(t)dt同樣可以求g(x)的導數(shù)(在(x)可導的條件下)，就是先將:(x)看做一個中間變量， 再利用復合函數(shù)的求導法則求出g(x)的導數(shù):例如求極限x20 In(1 t)dt lim 0x_-x4利用洛必達法則有x24 In(1+t)dt)原式二lim -4T (X4)"4x3(四)關于牛頓一萊布尼茨公式Jim2 XQ12 2ln(1 x )x1.In e21 2x2牛頓一萊布尼茨公式不僅在定積分這部分內容中， 要表面在以下方面：1.當被積函數(shù)連續(xù)時定積分的計算可通過求原函數(shù)來進行:而且在整個微積分學中都是一個很重要的結論,若F(x)是f(x

11、)的一個原函數(shù)，則baf(x) = F(b)-F(a)因此這個公式揭示了定積分與不定積分之間的本質聯(lián)系，這種本質聯(lián)系還可由下列兩個公式來闡明f(x)dx=f(x)dxXf(x)dt = dx af(x)2 由bnnf (x)dx = lim ' F (xj . * = lim ' (dF)aWi可知定積分與微分之間的本質聯(lián)系。還有一點要說明的是，雖然牛頓一萊布尼茨公式簡化了定積分的計算，但某些函數(shù)的定積分卻無法用這個公式來計算，例如下面的兩個函數(shù)x2si nxf (x)二 e 及 g(x)二x都是連續(xù)函數(shù)(對于 g(x)，只需令g(0) =1便成為連續(xù)函數(shù))，由于這兩個函數(shù)的原

12、函數(shù)都不是初等，因此無法用牛頓一萊布尼茨函數(shù)(后面的章節(jié)中可以看到這兩個函數(shù)的原函數(shù)可表示為幕級數(shù)的形式) 公式來計算這兩個函數(shù)在某個區(qū)間上的定積分。(五) 換元積分法的運用定積分的換元法與不定積分換元法類似， 差別在于：在定積分的換元積分法中，每進行一次變量替換, 同時要將定積分的上下限作相應的改變， 而在關于新積分變量的原函數(shù)求出后， 不要將新變量解換成舊積 分變量。(六) 定積分的應用1 定積分的幾何應用，記住面積、弧長和旋轉體體積的計算公式。對于面積問題，選擇合適的積分變量，有時可簡化計算；對于弧長問題，要先計算.1 (y)2 ;對于旋轉體體積問題，要分清是繞OX軸還是繞Oy的軸旋轉。

13、2 定積分的物理應用，一般使用微元法。具體計算時按照下列四個步驟進行:(1) 建立坐標系：確定所求的總體量Q所在的區(qū)間 a,bl：(2) 取微段：將a,b】區(qū)間劃分為一些微段 (小區(qū)間)之和，在微段 x上總體量Q被劃分為微量 Q ；(3)表示微量：確定函數(shù)f (x)，使得 Q f(x) . ：x(4) 用定積分表示總體量并計算：' f(x) x就是總體量Q的近似值，取極限便可得到bQ = a f (x)dx ;這就是微元法的解題過程(七) 關于廣義積分廣義積分是定積分的推廣，以無窮積分為例，我們知道bf (x)dx = im & f (x)dx:dx要記住-p的收斂性。F(x)

14、是f (x)的一個原a x在計算收斂性的廣義積分時也要有類似于牛頓一萊布尼茨公式的計算式，即若函數(shù)，則J 產(chǎn) f(x)dx = F(x)j=F(如)-F(a)其中F( ：)表示極限lim F(b)，如果此極限存在，則廣義積分收斂，且即可由此求出其值，如果 此極限不存在，則廣義積分發(fā)散。在求廣義積分的值時，也有與定積分相類似的換元各分法和分部積分法。、例題分析例1 為下列各題選擇正確答案:1 1 2(1) Qexdx與ex dx相比，有關系式()1J0exdx <1 1oedx02ex dxA .1 20e' dxdxXe1 -dd2Xe1 o17si ntsi naA.B.-ta

15、(3) 下列等式中正確的是()d bA. f(x)dx = f(x) dx ad xC. af(x)df(x) dx ab(4) 屮3x)=()*asinxC. cosxD.x-IB. 一 f (x)dx = f (x) C dxD. f (x)dx = f (x)A. f(b)-f(a)C. 1f (3b) - f (3a) 1 3B. f(3b)-f(3a)D. 3f (3b) - f (3a)b 32(5)設 | = J 2x f (x )dx(b AO)，則()1 b4b2A.1 =2 of (x)dxB. 1 二02xf (x)dx1 b2b2C.1 =2 of (x)dxD. 1

16、Jxf (x) dx解(i)當0 ： x : 1 時，有 x2 : x。由于指數(shù)函數(shù)y =ex是單調增函數(shù)，因此當 0 ： x ： 1時有x e2 X e由定積分的性質可知1 2ex dx正確答案選擇B。(2 )由變上限定積分求導結果得到正確答案應選擇D。(3)由不定積分的定義，導數(shù)運算，變上限積分的求導結果得d bf (x)dx 二 0dx aplf(x)dx=f(x) dxd xa f (x)dx = f (x) dx af (x)dx 二 f (x) C正確答案應選擇(4)由于C。11.(f (3x)" = f (3x)，即一 f (3x)是f (3x)的一個原函數(shù)，故由牛頓一

17、萊布尼茨公式得333 ' 'ba f (3x)dx1f (3b) - f (3a)正確答案應選擇(5) 利用湊微分法b 32a2"f(x )dx 二b 2220x f(x )d(x )2b2x =u 0 uf (u)du定積分與表示積分變量的符號無關，即b2I = .0 xf (x) dx正確答案應選擇D例2 給出下列各題的正確答案:x(1)£ sin tdt lim 2 x 0 x255設 f (5) =2,5 f (x)dx =3,則 0 xf (x)dx 二(3)<4x2dx 二a/(xcosx -5sin x 2)dx =(5)如果b 0，且b

18、In xdx = 1,那么 b =(1)此極限是0型，利用洛必達法則得0xsintdt lim “x_0x(sintdt)二 lim 0_丁x e (x2)s i rx二 limx刃2x1 r s i rx1lim2 x 刃 2x 2由定積分的分部積分法，得50xf (x)dx = 0xd(f (x)=xf (x)550.0f(X)dx=10-3 = 7(3)被積函數(shù)的曲線是圓心在原點，半徑為2的上半圓周，由定積分的幾何意義可知由此積分計算的是半圓的面積，故有2 4-x2dx 二-2(4) 利用定積分的線性性質可得aaa-a0,再利用熟知的結論得原式 xcosxdx- 一 5sin xdx 亠

19、 i 2dx -a而前兩個積分的被積函數(shù)都是奇數(shù)，故這兩個定積分值均為a原式 2dx = 2 ldx 二 4a© a» a(5) 利用分部積分法得b1 In dx=x| nx円b 1x 一 dx二 bln b -(b T) = bln b -b 1由已知條件得bln b b 仁 1由此得bln b - b = 0 ,艮卩 bln b = bb = 0 , In b = 1，即得 b = e。例3利用定積義的性質證明不等式=2心22e 4 乞 ° e dx 乞 2e分析本例要解決的是定積分的估值問題，由估值定理有：若可積函數(shù)f(x)的區(qū)間a,bl上滿足m _ f (

20、x) _M，則m(b - a) _ a f (x)dx _ M (b - a)故本例的關鍵是確定被積函數(shù)e"在0,2 1上的最大值及最小值。由e1可知ex是單調增加的函數(shù)，因而只要求出y=x2x在021上的最大值M1，及最小值mi，則M = eMl， m ue®就是ex »在0,2 1上的最大值及最小值。證明 y=x2-x，因 y'=2x-11令y、0得x二丄2由yQ) - -1 ，y(0) = 0, y(2) = 2,知y = x - x在0,2上的最大值和最小值分別為Mi =2, -，又因為y=ex是單調增加函數(shù)，因而在 0,2】上有41 2e 4乞e

21、x乞e2再利用定積分的性質便得出- 2 2 2(20)e 4 乞,oexdx m(2 0)e212即2e < (ex2»dx 蘭 2e2例4 設e2x 2y 二 g(x)0 (t2-2t 1)dt求 g (x)分析本例為變上限定積分求導，因變動的上限是自變量 x的函數(shù)，故要用到復合函數(shù)求導法則。2 x解 設u =e ，則得到以U為自變量的函數(shù)。U 2y = .°(t -2t 1)dt根據(jù)變上限定積分的性質可得于是從而得到虬 u22u 1dug(x) =G(u)g'(x)吒dU22x(u2u 1)2e dx2 x , 4x2xg (x) =2e (e -2e1)

22、小結從本例可以知道，對于變上限的定積分g(x)a(x)f (t)dt其中(x)是可微函數(shù)，f (t)可積，則g (x) = f ( ：(x) (x)。例5(1)用換兀積分法計算下列定積分0dxJ x2 2x 29 Vx(2) 4 x-1dx(3)e3dx12f(4) t pdx1 x1 x 11 1 n x分析有了牛頓一萊布尼茨公式，求定積分的問題實質上就歸結為原函數(shù)的問題。但定積分的積分法也有自身的特點，以換兀積分法為例，“換兀變限”就是這它的特點，解題時一定要注意，且積分限的變換必須上下對應。用第一換元法求定積分時，也可以只湊微分不換元，因此不變積分限，總的原是則：若換元，須變 限，只湊微

23、分不變限。解 (1將被積函數(shù)整理成1 1 12_ 2 _ 2x 2x 2 (x 2x 1) 1 (x 1)1令 x，1=t，則 dx=dt，當 x-2 時 t - -1，x=0 時 t=1，原定積分0 dx0 d(x 1)x2 2x 2，(x 1)211=a ret an =亠此題也可直接湊微分計算:0 d(x 1)7(x1)1=2d a r ct axn (1) .1 =a rct axn (1)JI 2dx = 2tdt ,x49所以3 2t2x -12t -1t-1dt(2)對原積分作變量替換，令 一 X =t，則有X=t,t -131= 22(t 1)dt331= 22(t 1)dt

24、22dt t 1=(t +1)2 2+21 nt 1= 16-9 2ln 2-21 n1 = 7 2ln2(3)對原積分作變量替換，令In x =t,則x,dx 二 etdt ,x13 et03e3dx3 dt.1 t對此積分繼續(xù)作變量替換，令.1 t二u，則有t =u2 -1, dt =2udu ,t30u21由此又得dt12udu2= 2x2即此題也可以直接湊微分計算:e3dx1 x1 In x=2原積分=：3d(1 Tnx) 'V'V I n X(4)對原積分作變量替換，令得, e3= 2(+1 n x =4-2 =211t，則 dx 2 dt，xt212exV1=- 1

25、 e dt = et此題也可以直湊微分計算:1原積分exd ()1 x1= -,d(ex)=e-小結 1。積分限是積分變量的變化范圍，如果積分變量改變了，則積分限必須同時改變，如果積 分變量不變(例如用湊微分法時)則積分限不變。2新積分變量的上限對應于舊積分變量的上限，新積分變量的下限時應于舊積分變量的下限。例如1上例中不能因為2ex1 t2 dx = - 1 e dt。 x例6 用分部積分法求下列各定積分:n(1)2 e2x cosxdx0(2)eJ In xdxe分析定積分的分部積分公式bu(x)d (x)二 u(x) (x)ab-(x)du(x)a亠“b中的u(x)u(x)是一個常數(shù)，在

26、計算過程中要隨時確定下來，在計算第( a數(shù)的絕對值號，這就需要根據(jù)絕對值的性質適當利用定積分對區(qū)間的可加性質。 解H31(1)02 e2x c o xd02 e2xd ( s i x)2)小題時應先設法去掉被積函=e2xs i rxji222x2 s i rx d e_3T=e： 一 :2e2x s i rxd x=e- 022e2xd(cox)-2x=e 2e coxji2-o 4e2xc o sdx二 #2 - 4 02 e2xcoxdx從上述等式經(jīng)移項和整理后得出(fcosxdx-2利用(2 )首先去掉被積函數(shù)的絕對值號，因為定積分的性質則得到1x : 1 時，In x 0 ；當 1 ：

27、 x ： e 時，In x 0， ef1|ln xdx =伸n xdx +e(In xdx1e-1In xdx 亠 I In xdx1e1 x1 dx e x其中第二個積分為e1In xdx第一個積分為e=xI n x1 x1- dx；xe最后得出jjIn xdx = 2e例7 設f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，且f(x)在任意有限區(qū)間上連續(xù)，試證：對任意的a，等Ta Tf (x)dxf (x)dx0a成立分析周期函數(shù)的特點，就是每隔一個周期而重復出現(xiàn)，如圖，是一個周期函數(shù)的圖形，從圖中的幾何意義可以直觀看出結論是成立的。那么如何從理論上給予證明呢？從圖上看現(xiàn)在要證明TTa設 t =x T，則

28、 f(x)二f(t)，且 x=0 時，t =T，x=a時，t=a，T，于是上式可得證。證明由定積分的區(qū)間可加性質可得TaTf (x)dx f(x)dx f (x) dx00aa TTa Taf (x)dxa f (x)dx Tf(x)dx即要證明對于定積分交量替換t = x T，則dx = dt，aa T0f(x)dxTf(x)dxa0 f (x)dxx0a因而tTa+Taa T0 f(x)dxTf(t T)dta Ta Tf(t)dtmTf (x)dx最后得到等式Ta Tf (x)dxf (x)dx0a這個等式說明周期函數(shù)在任意一個以周期T為長度的區(qū)間的定積分都是相等的，它形象地反映出了周期

29、函數(shù)的性質，讀者可從圖形上理解此性質的幾何意義。例8 設f (x)在0,1上連續(xù)，證試：:f (sin x)dx = °2 f (cosx)dx證作變量替換xt，則dx = -dt，2TF-20二2 f (sin x)dx = f (sin(t)( 1)dt0220-二 f (cost)dt2=o2 f (cost)dt=:f (cost)dx即:f (sin x)dx = ； f (cosx)dx本例中也可先對等式右端進行相同的變量替換，同學們自己不妨一試。例9求下列各曲線圍成的平面區(qū)域的面積：(1) y=0, y = .、x,x=2( 2) y=x-2,x=y2分析 用定積分計算

30、平面區(qū)域的面積，首先要確定已知曲線圍成的區(qū)域；再由區(qū)域的形狀選擇積分 變量(x或y)，這主要是為了計算方便，最后確定積分限。當計算公式。b2 方 f(x) -g(x)dx中的f (x)或g(x)為段函數(shù)時，面積需要分塊計算。解 (1)曲線所圍平面區(qū)域如圖所示，設此面積為A。則有2 A ( . x -0)dx32 2x23(2)曲線所圍平面區(qū)域如圖所示，設此面積為A，則有第口）題圖第題圖1 Lf4 廠A = AiA2 = 0( - x -( ；x)dx 亠 i ( x -(x-2)dx=q2< xdx 亠 I (. x -x 2)dxA33+ (2x2 _ + 2x)4 16 ,2 1 c

31、、 ， 1（2）二 4 亠一3 33 22還有一種簡便的方法，若以y做為積分變量，則有2 2A (y 2 - y )dy8 1 1 珂2 4八一2 3)例10求拋物線y =x介于（0，0）點及（2，4）點之間的一段弧分別繞 x軸與y軸旋而成的旋轉體積。分析 曲線y二f （x）繞x軸或y或旋轉形成的旋轉體體積為4(y)2dy其中區(qū)間a, b 與 c,d分別是曲線在x軸與y軸上的投影。解設曲線繞x軸與y軸旋轉而成的旋轉體體積分別為VX和Vy，由旋轉體體積的計算公式有322 2Vx(x )dx =o同樣可得Vy 之：( .x)2 d-y2由此可以看出同一條曲線段繞不同坐標軸旋轉所得的旋轉體積一般是不

32、相等的。例11一半圓形水溝的半徑為 r,流滿了水，求在這種水位下，液體對溝的一端上的閘門的側壓力分析本例是定積分的物理應用，用微元法求解，解題步驟是：建坐標系；取微段（分割）A的平板，水平放置在深為h的液體中，所受壓力為將總體量表示為定積分并計算。解根據(jù)物理知道，一面積為F = Ah ，其中為液體比重建立坐標系的方法如圖，取微段x，它所對應的微條面積為該微條在液體中所受壓力為lF 2 r2 -x2lx x 9.8=19.x、r2 -x2 ：x其中水的比重=1千克/米3= 9.8牛頓/米3，閘門受的壓力即為r 一=19.6xdr2 -x2dx = -19.6（r2-x2）- 19.6 3，住日、

33、r （焦耳）3例12判斷下列廣義積分的收斂性，對于收斂的無窮積分，求無窮積分的值。:dxxdx(2) xdx §（3）e xln x'e(1 + x)=e(1)分析無窮積分要先判斷收斂性，對收斂的無窮積分求值，與計算定積分類似，但要注意由無窮分 本身性質而決定的一些特殊情況。解 （1）利用湊微分法便得be dx "he 1f d(lnx) = lnlnxe xlnx e Inx=+oC所以原無窮積分是發(fā)散的。（2）由于x1X1(1 x)3(1x)3123(1 X) (1 x):xdx1 (1 x)3dx2(1 x):=dx)(1 x)3注意：在利用公式址110 一L

34、 "(1+X)2)1 1=(0-(-1)-(0-(-2)專/(f(x) g(x)dx ='f (x)dx . ' g(x)dxaa時，前提是等式右端的兩個無窮積分都收斂，若(f (x)dx和g (x)dx都發(fā)散，則不能利用這aLaf (x) g(x)的原函數(shù)F(x0)-boa 。(3)利用分部積分公式。二 arcta nx1dxarcta nx()1x-larcta n xx說 dxx(1x2)31=+4說 dx2x(1 X )令 x2 =t,則 2xdx = dt ,x11得到誌 dx2x(1 X )1 )dt所以，原廣義積分注意：正如前面提到的,:dt= -2(1

35、 nt -1n|l+t|)=丄(0_1 n1)=丄1 n22 2 2兀 12 dxIn 2x24 2:1 1本例中在計算()dt時，若將廣義積分表示成1 't 1+t=11、: = dt 二 dt1 t 1 t 1 t 1 1 t二 arcta nx11t都是發(fā)散的，故無法計算出它的結杲。條利質，因此時(f(x) g(x)dx也有可能是收斂的，這時就需要直接求出a二、自我檢測題(一)單項項選擇題i設f(x)a,b 1上連續(xù)，則f(X)在a,b 上的平均值是(f (b) f (a)2B.ab f(x)dx1 b2 af(X)dXx32.設函數(shù)(x) = a f(t)dt，則(x)=()A. f(x)B. f(x3)2C. 3x f(x)3D . 3x f (x )3設f (x)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，則在對稱區(qū)間1- a, a 1上的定積分f(x)dx二(.a0A. 0B. 2 f (x)dx.a0C. f (x)dx-aa0 f(x)dx