概率論基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題及答案

1、概率論基礎(chǔ)本科填空題（含答案）1 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為p(x), 則 p(x) 0; = 1 ；E=?？疾榈谌? 設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，則A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生可表示為：；A,C發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生可表示 ；A,B,C恰有一個(gè)發(fā)生可表示為：?？疾榈谝徽? 設(shè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，分布函數(shù)為，則等于，等于 0.5 ?？疾榈谌? 設(shè)隨機(jī)變量具有分布P=k= ，k=1,2,3,4,5，則E= 3 ，D= 2 。考查第五章5 已知隨機(jī)變量X，Y的相關(guān)系數(shù)為,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 則U，V的相關(guān)系數(shù)等于 ?？疾榈谖逭? 設(shè)，用車(chē)貝曉夫不等式估計(jì)：考查第五章7 設(shè)

2、隨機(jī)變量的概率函數(shù)為P= 則 0 ；= 1 ；E=?？疾榈谝徽? 設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，則A,B,C都發(fā)生可表示為：；A發(fā)生而B(niǎo),C不發(fā)生可表示為：；A,B,C恰有一個(gè)發(fā)生可表示為：。考查第一章9 ，則 5 。考查第三章10 設(shè)隨機(jī)變量在1，6上服從均勻分布，則方程有實(shí)根的概率為。考查第三章 較難11 若隨機(jī)變量X，Y的相關(guān)系數(shù)為,U=2X+1,V=5Y+10 則U，V的相關(guān)系數(shù)=。 考查第三章12 若 服從的均勻分布， ，則 的密度函數(shù) 。 考查第五章13 設(shè)，若與互不相容，則 0.3 ；若與相互獨(dú)立，則 0.5 。 考查第一章14 將數(shù)字1，2，3，4，5寫(xiě)在5張卡片上，任意取出三張排列

3、成三位數(shù)，這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率P（A）= ?？疾榈谝徽?5 若， 8 ， 1.6 ，最可能值 8 。 考查第二、五章16 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，則= 6 , =考查第四、五章17 任取三線段分別長(zhǎng)為x,y,z且均小于等于a，則x,y,z可構(gòu)成一三角形的概率考查第一章（較難）18 設(shè)隨機(jī)變量X，Y的相關(guān)系數(shù)為1，若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 1 考查第五章19 若， 3 ， 0.16 . 考查第五章20.若， 16 ， 8.4 . 考查第五章21. 某公司有A、B、C三個(gè)生產(chǎn)基地生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別占20%，45%和35%三個(gè)基地的產(chǎn)品各有30%，20%，25%在北京市場(chǎng)銷(xiāo)售則該

4、公司任取此產(chǎn)品一件，它可能在銷(xiāo)往北京市場(chǎng)的概率為 0.2475 考查第二章22. 為一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則有 1 ；若離散型隨機(jī)變量具有分布列則 1 考查第三章23. 若是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從二項(xiàng)分布，參數(shù)為及，則服從參數(shù)為 參數(shù)為的二項(xiàng)分布 分布考查第四章24. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的正態(tài)分布,則=_0_; =_2_考查第五章25設(shè)A,B,C為任意三個(gè)事件，則其中至少有兩個(gè)事件發(fā)生應(yīng)表示為 。考查第一章27若二維隨機(jī)向量（）的聯(lián)合密度函數(shù) P(x,y)= 則E= , D= , E=, D= Cov()=.考查第五章28兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等另一個(gè)人20分

5、鐘，過(guò)時(shí)就可離開(kāi)，則兩人能會(huì)面的概率為 5/9 ?？疾榈谝蝗逻x擇題(含答案)1.一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為2：1，另一罐（取名“乙罐”）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2：1，今任取一罐并從中依次取出50只球，查得其中有30只紅球和20只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的( D )（A）2倍 （B）254倍 （C）798倍 （D）1024倍2.在0,1線段上隨機(jī)投擲兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離大于0.5的概率為( A )（A）0.25 （B）0.5 （C）0.75 （D）13.設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量X，Y分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X + Y服

6、從( C )（A）N(2,0) （B）自由度為2的分布 （C）N(0,2) （D）不能確定4.設(shè)P（X=n）=a且EX=1，則a為( B )（A）1 （B） （C） （D）5下列論述不正確的是 ( B )（A）若事件A與B獨(dú)立則與B獨(dú)立 （B）事件A B不相容則A與B獨(dú)立 （C）n個(gè)事件兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立 （D）隨機(jī)變量和獨(dú)立則二者不相關(guān)6甲乙兩人各投擲n枚硬幣，理想狀態(tài)下甲乙兩人擲得正面數(shù)相同的概率為( C )（A）0 （B） （C） （D）7.設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量X，Y分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X + Y服從( C ) （A）二項(xiàng)分布 （B）分布 （C）N(0,2) （D）不能確定8.對(duì)于任意

7、事件與，有（ C ）。（A） （B） （C） （D）9.在0, 線段上隨機(jī)投擲兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離大于的概率為( D )（A）1 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.2510.設(shè)P（X=n）=a，其中a為，則EX= ( B )（A） （B） 1 （C）0.5 （D） 311下列論述不正確的是 ( C )（A）n個(gè)事件兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立 （B）若事件A與B獨(dú)立則與B獨(dú)立 （C）事件A B不相容則A與B獨(dú)立 （D）隨機(jī)變量和獨(dú)立則二者不相關(guān)12擲n枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，至少出現(xiàn)一次正面的概率為( A )（A） （B） （C） 1 （D）13.設(shè)A，B為兩個(gè)互斥事件，且P（A）>0，P

8、(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（ C ）。（A） P(B|A)>0, （B） P(A|B)=P(A) （C） P(A|B)=0 （D） P(AB)=P(A)P(B)考查 第二章14.事件A，B相互獨(dú)立，P（A）=（ D ）。（A） （B） （C）0 （D）15.隨機(jī)變量服從（ D ）分布時(shí)，。 （A）正態(tài) （B）指數(shù) （C）二項(xiàng) （D）泊松（Poisson）16.設(shè)，記，則（ A ）。（A）對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有 （B）對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有 （C）只對(duì)的個(gè)別值，才有 （D）對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有17若有十道選擇題，每題有A、B、C、D四個(gè)答案，只有一個(gè)正確答案，求隨機(jī)作答恰好答對(duì)六道的概率為（ B

9、 ）（A） （B） （C） （D）18某課程考試成績(jī), 已知96分以上占2.3%，則6084分所占比例為（A）（已知）（A） （B） （C） （D）19. 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量X，Y分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則XY服從( C ) （A）泊松分布 （B）分布 （C）N(0,2) （D）不能確定20.對(duì)于任意事件，有（ A ）。（A） （B）0 （C）1 （D）21. 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為則常數(shù)為（ B ）（A） （B） （C）0 （D）22下列陳述不正確的是（D）（A）兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立 （B）若事件A與B獨(dú)立則與B獨(dú)立 （C）事件A B獨(dú)立則 （D）隨機(jī)變量二者不相關(guān)則和獨(dú)立23. 下列數(shù)列可以構(gòu)

10、成分布列的是（C）（A） （B） （C）0 （D）24下列陳述不正確的是（B）（A）和不相關(guān)則 （B）隨機(jī)變量二者不相關(guān)則和獨(dú)立 （C）和不相關(guān)則 （D）隨機(jī)變量二者不相關(guān)則25事件中，發(fā)生且與不發(fā)生的事件為：( C ) （A）； （B）；（C） ； （D）26設(shè)為相互獨(dú)立的兩事件，則下列式子中不正確的是：（ A ） (A) ； （B）；（C）； （D）27工廠每天從產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查50件產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的次品率為0.1%，則在這一年內(nèi)平均每天抽查到的次品數(shù)為：（ A ） （A）0.05; （B）5.01 ;（C）5; （D）0.5 .28則服從分布：（ C ）（A） （B）（C） （D）2

11、9設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為則：（ B ）（A） 不相關(guān)；（B） 相互獨(dú)立； （C） 相關(guān)；（D） 不相互獨(dú)立30事件A，B互不相容，是指（ B ）(A) P (AB)= P (A) P (B) (B) A B= (C) AB= (D) A=計(jì)算題（含答案）一 設(shè)隨機(jī)變量只取非負(fù)整數(shù)值，其概率為P，a>0是常數(shù)，試求E及D解：記t=<1=+= = =二炮戰(zhàn)中，在距離目標(biāo)250米，200米，150米處射擊的概率分別為0.1, 0.7, 0.2, 而在各處射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率分別為0.05, 0.1, 0.2。 任射一發(fā)炮彈，求目標(biāo)被擊中的概率。若已知目標(biāo)被擊毀，求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距

12、目標(biāo)250米處射出的概率。解：1） 設(shè)分別表示炮彈從250米，200米，150米處射擊的事件,  B表示目標(biāo)被擊中。則由全概率公式= 2) 由Bayes公式 三某單位招聘2 500人，按考試成績(jī)從高分到低分依次錄用，共有10 000人報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者的成績(jī)X服從分布N 已知90分以上有359人，60分以下有1151人，問(wèn)被錄用者中最低分為多少？X的分布函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得到=72和=100的值，然后令錄取的最低分為，則從而得到即錄取的最低分為79分。四從1到2000這2000個(gè)數(shù)字中任取一數(shù)，求1）該數(shù)能被6整除的概率；2）該數(shù)能被8整除的概率；3）該數(shù)能被6和8整除的概率；4）

13、該數(shù)能被6或8整除的概率。解：利用古典概型的公式1）；2）；3）；4）五空戰(zhàn)中，從，處射擊的概率分別為0.2, 0.7, 0.1, 而在各處射擊時(shí)命中敵機(jī)的概率分別為0.2, 0.1, 0.05。 任射一發(fā)炮彈，求敵機(jī)被擊中的概率。若已知敵機(jī)被擊中，求擊中敵機(jī)的炮彈是由處射出的概率。解：1） 設(shè)B表示目標(biāo)被擊中。則由全概率公式= 2) 由Bayes公式 六一地區(qū)農(nóng)民年均收入服從元，元的正態(tài)分布，求：該地區(qū)農(nóng)民年均收入在500元520元間的人數(shù)的百分比；如果要使農(nóng)民的年均收入在內(nèi)的概率不小于0.95，則至少為多大？3個(gè)農(nóng)民中至少有一個(gè)年均收入在500元520元間的概率。解：（1）（2），2可得，

14、（3）考慮反面沒(méi)有一個(gè)年收入在范圍中的情形，其概率為：，七設(shè)隨機(jī)變量（i=1,2）,且滿足，則求概率。解：由，得，即再根據(jù)聯(lián)合分布與邊際分布的關(guān)系可以求得和的聯(lián)合分布。 10110000100所以0.八、有一袋麥種，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麥種的發(fā)芽率分別為0.8，0.2，0.1，現(xiàn)從袋中任取一粒麥種：試求它發(fā)芽的概率；若已知取出的麥種未發(fā)芽，問(wèn)它是一等麥種的概率是多少？解：設(shè)事件“取出來(lái)的種子是一等種子” “取出來(lái)的種子是二等種子”“取出來(lái)的種子是三等種子” “取出的種子發(fā)芽” “取出的種子未發(fā)芽” 由題： （1）全概率公式 =67.8% （2）貝葉

15、斯公式 =0.497九、 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P0.20.30.30.2求的分布列。解：p0.20.30.30.2整理得的分布列1P0.30.50.2十、某師院的畢業(yè)生，其中優(yōu)等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%. 畢業(yè)后十年，這三類(lèi)學(xué)生能成為優(yōu)秀教師的概率各為80%，70%，55%. 求該學(xué)院畢業(yè)的學(xué)生十年后成為優(yōu)秀教師的概率。解：記B=成為優(yōu)秀教師十一、將一顆均勻的骰子連擲兩次，以表示兩次所得點(diǎn)數(shù)之和。求1）的分布列；2）E。解：1）234567891011122）十二、設(shè)二維離散型隨機(jī)向量（，）的聯(lián)合分布列為： 012120301） 求常數(shù)C;2） 求，的邊緣分布列；3） 求2

16、的條件下，的條件分布列；4） 判斷與是否相互獨(dú)立。解：1）C=1;2) 01210.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.30.30.30.4和的邊沿分布列為：123P0.30.40.3012P0.30.30.43)012P00.50.5整理得：12P0.50.54）因?yàn)樗耘c不相互獨(dú)立十三、一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.6，以表示他首次命中時(shí)累計(jì)的投籃次數(shù)。寫(xiě)出的分布律解：分布律為十四、已知連續(xù)型隨機(jī)變量有密度函數(shù)求系數(shù)k及分布函數(shù)，并計(jì)算P1.5<<2.5解：由密度函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，十五、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為 123400.000.03

17、0.050.0210.120.050.070.0120.080.030.080.1130.050.04x0.06求x, 及的邊際分布（直接填寫(xiě)在表中），給出在的條件下的條件分布解：x =0.2在的條件下的條件分布為X|1234十六、設(shè)二元連續(xù)型隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)為求的數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù)解：當(dāng)0<x<1時(shí)， 而或時(shí)，當(dāng)-1<y<0時(shí)， 當(dāng) 而 ，綜合應(yīng)用題（含答案）1.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量（）的聯(lián)合密度函數(shù)為其中為常數(shù)，求：1） 常數(shù)2） 的邊沿密度函數(shù)3） 的條件密度函數(shù)4） 判斷與是否相互獨(dú)立；解：1）由密度函數(shù)的性質(zhì)：2xy11所以2）由邊沿密度的計(jì)算公式

18、，及的直觀圖形：當(dāng)或時(shí)所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)或時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)所以：3）由條件密度的計(jì)算公式：當(dāng)時(shí)，此時(shí)條件密度存在，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)條件密度存在，且4）顯然：所以與不獨(dú)立。2.設(shè) (X,Y) 服從單位圓上的均勻分布，概率密度為：試求，并討論X，Y的獨(dú)立性。解： (X,Y) 關(guān)于X的邊際密度為： 當(dāng) | x | <1時(shí),有即 當(dāng) | x| <1時(shí), 有， X，Y不獨(dú)立。3.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求和的邊際密度； （3） 和是否相互獨(dú)立？（4） 求概率。解: (1) 所以。（2）（3）和不相互獨(dú)立。（4）4 某人有10萬(wàn)元資金決定進(jìn)行投資，現(xiàn)有兩個(gè)投資項(xiàng)目可供選擇，設(shè)投資項(xiàng)目1的收益為（萬(wàn)元），投資項(xiàng)目2的收益為