柯西留數(shù)定理及其應(yīng)用

1、淮北師范大學(xué)2013屆學(xué)士學(xué)位論文 柯西留數(shù)定理及其應(yīng)用學(xué)院、專(zhuān)業(yè) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 研 究 方 向 函數(shù)論 學(xué) 生 姓 名 劉 軍 學(xué) 號(hào) 20091101089 指導(dǎo)教師姓名 張 杰 指導(dǎo)教師職稱(chēng) 副教授 2013年 4月 15日柯西留數(shù)定理及其應(yīng)用劉 軍(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,淮北,235000)摘 要本文首先通過(guò)介紹柯西留數(shù)定理的重要性、定義及證明過(guò)程,然后進(jìn)一步研究柯西留數(shù)定理在一些廣義積分中的應(yīng)用.此后,通過(guò)一些實(shí)例結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)做出應(yīng)用柯西留數(shù)定理在一些復(fù)雜定積分中的巧妙運(yùn)算,目的是使我們?cè)谡莆斩ǚe分基本運(yùn)算方法之后,熟悉一些復(fù)雜定積分,如反常積分、廣義定積分

2、的一些特性及巧妙運(yùn)算方法,增強(qiáng)解題能力.接著研究柯西留數(shù)定理在級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用,最后研究柯西留數(shù)定理在其他方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 留數(shù)定理,廣義積分,定積分,級(jí)數(shù)求和Cauchy residue theorem and its applicationsLiu Jun(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, huaibei, 235000)AbstractThis article firstly introduce the importance of the cauchy residue theorem basis, de

3、finition and the process of proof, and then studies the applications of the cauchy residue theorem in some generalized integrations. Since then, throughing some examples combined with own learning experience to make the application of the cauchy residue theorem in complex skillful operation of defin

4、ite integration, the purpose is to make familiar with some complex definite integration after we master the basic operation method of definite integration, such as improper integration, some of the generalized integration and clever operation methods, strengthen the solving ability of some problems.

5、 Then study the applications of the cauchy residue theorem in series summation, and the cauchy residue theorem in other applications finally.Keywords：residue theorem，the generalized integration，definite integration，series summation 目 錄引言1一、 柯西留數(shù)定理的理論基礎(chǔ)1二、柯西留數(shù)定理的概念及其證明4三、柯西留數(shù)定理的應(yīng)用4（一）輻角原理4（二）在廣義積分中的應(yīng)

6、用7（三）在級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用11（四）柯西留數(shù)定理的推廣應(yīng)用12結(jié)束語(yǔ)15參考文獻(xiàn)15致謝16引言柯西留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論中留數(shù)理論中的一個(gè)重要定理,利用柯西留數(shù)定理在圍線積分中的應(yīng)用計(jì)算,探求柯西留數(shù)定理在一些特殊實(shí)積分,如反常積分、廣義積分等中的應(yīng)用,可以起到事半功倍的作用,它是研究計(jì)算定積分,尤其是對(duì)原函數(shù)不易直接求得的實(shí)積分和反常積分,常是一個(gè)有效的方法,其要點(diǎn)是將其劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分,再把計(jì)算周線積分的整體問(wèn)題,化為計(jì)算各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問(wèn)題,繼而就可得到解決.柯西留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論中留數(shù)理論的重點(diǎn)和難點(diǎn),如何在教學(xué)中突出重點(diǎn),化難為易,是教學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.一、柯西

7、留數(shù)定理的理論基礎(chǔ)在復(fù)分析中,通過(guò)對(duì)函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)與函數(shù)曲線積分的關(guān)系研究,得出函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念,因此產(chǎn)生了留數(shù)理論,而利用留數(shù)理論來(lái)計(jì)算圍線積分,特別是計(jì)算復(fù)雜的實(shí)積分,提供了一種工具,而作為留數(shù)理論中的一個(gè)最基本、最重要的定理柯西留數(shù)定理,是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣而來(lái)的,是計(jì)算解析函數(shù)沿閉曲線路徑積分的一個(gè)有力工具.下面先介紹留數(shù)理論中的基本概念留數(shù).（一）留數(shù)的定義定義1 設(shè)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn),若函數(shù)在內(nèi)解析,則稱(chēng)積分為在孤立奇點(diǎn)的留數(shù),記作,其中為圓周.注 （1）由上述定義可以看出,只有當(dāng)點(diǎn)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)時(shí)才有意義.（2）留數(shù)與圓的半徑無(wú)關(guān).由,可以得到等

8、于在點(diǎn)的羅朗展式中這一項(xiàng)的系數(shù).（3）若為的可去奇點(diǎn),則.在此,要介紹另一個(gè)概念對(duì)數(shù)留數(shù).定義2 稱(chēng)積分為函數(shù)的對(duì)數(shù)留數(shù),其中為一條圍線,在上解析且不為零,在的內(nèi)部為亞純函數(shù).由于,所以稱(chēng)上面的積分為對(duì)數(shù)留數(shù).顯然,函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都可能是的奇點(diǎn).這個(gè)定義將在柯西留數(shù)定理的應(yīng)用輻角原理中起到很大的作用.下文中會(huì)具體介紹.（二）留數(shù)的計(jì)算對(duì)于留數(shù)的計(jì)算,有以下幾種方法：1、直接使用定義,通過(guò)計(jì)算函數(shù)的曲線積分而直接得到函數(shù)在某一點(diǎn)的留數(shù),該方法主要有理論上的價(jià)值,實(shí)際計(jì)算中一般不用.2、利用,把函數(shù)在點(diǎn)展成羅朗級(jí)數(shù),其中的系數(shù)即為函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù).例1 設(shè)函數(shù),求和.解 由于,所以.又是唯一有限奇

9、點(diǎn),故. 3、設(shè)是的一級(jí)極點(diǎn),則 . 例2 設(shè)函數(shù),求. 解 由于,且在點(diǎn)1的某個(gè)去心鄰域中解析,從而是的一級(jí)極點(diǎn),所以.4、設(shè)是的一級(jí)極點(diǎn),、均在解析,且,則. 例3 設(shè)函數(shù),求. 解 易知是函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn),令 ,可得,所以.5、設(shè)是的一個(gè)級(jí)極點(diǎn)，則. 例4 設(shè)函數(shù),求.解 易知是函數(shù)的3級(jí)極點(diǎn),所以.通過(guò)以上的幾種留數(shù)求法可以看出,在以后遇到的具體問(wèn)題中要具體對(duì)待,更要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.二、柯西留數(shù)定理的概念及證明 柯西留數(shù)定理 設(shè)是復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域,其邊界是一條或有限條簡(jiǎn)單閉曲線.設(shè)在內(nèi)除去有限個(gè)孤立奇點(diǎn),外,在每一點(diǎn)都解析,并且它在上除,外連續(xù),則.證 以D內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)為心,作圓

10、周,使以它為邊界的閉圓盤(pán)含在D內(nèi),并且任意兩個(gè)這樣的閉圓盤(pán)彼此不相交.從D中除去以這些為邊界的閉圓盤(pán)得到一個(gè)區(qū)域,其邊界是C以及（,2,）.在內(nèi)解析,在上連續(xù).因此由文獻(xiàn)1中的柯西積分定理推廣到復(fù)圍線的情形,我們有,而,所以.三、柯西留數(shù)定理的應(yīng)用（一）輻角原理在介紹該原理之前,先看下面的兩個(gè)引理.由留數(shù)的相關(guān)概念,易得：引理1 （1）設(shè)為的級(jí)零點(diǎn),則必為的一級(jí)極點(diǎn),并且; （2）設(shè)為的級(jí)極點(diǎn),則必為的一級(jí)極點(diǎn),并且 .引理2 假設(shè)（1）為一條圍線,在的內(nèi)部是亞純的,且連續(xù)到;（2）在上不為零;則函數(shù)在的內(nèi)部只有有限個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn).由上述的兩個(gè)引理,易證：定理1 假設(shè)（1）為一條圍線,在的內(nèi)部是

11、亞純的,且連續(xù)到;（2）在上不為零;則: 其中與分別表示在內(nèi)部零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)（一個(gè)級(jí)零點(diǎn)算作個(gè)零點(diǎn),一個(gè)級(jí)奇點(diǎn)算作個(gè)奇點(diǎn)）.為了進(jìn)一步說(shuō)明式的意義,我們給出下面的定理.定理2（輻角原理） 假設(shè)（1）是一條圍線,在的內(nèi)部是亞純的,且連續(xù)到;（2）在上不為零;則,其中表示沿的正向繞行一周時(shí),函數(shù)輻角的改變量.特別若在內(nèi)部解析,則.下面就輻角原理的具體應(yīng)用,結(jié)合實(shí)例具體分析.例1 設(shè),用輻角原理證明在的內(nèi)部有3個(gè)根.解 在曲線上沒(méi)有零點(diǎn),在內(nèi)解析,在內(nèi)部有3個(gè)零點(diǎn),而沒(méi)有奇點(diǎn),所以.另一方面 .于是. 由此可以看出,在一些題目的計(jì)算中,輻角原理是個(gè)很便捷而有效的工具.而其中一個(gè)較重要的應(yīng)用就

12、是儒歇定理,它在考察零點(diǎn)分布時(shí)會(huì)起到很大的作用.下面就儒歇定理的應(yīng)用做具體介紹.定理3（儒歇定理）設(shè)是一條周線,函數(shù)及滿足條件:(1)它們?cè)诘膬?nèi)部均解析,且連續(xù)到;(2)在上,;則函數(shù)與在的內(nèi)部有同樣多(幾階算作幾個(gè))的零點(diǎn),即.例2 設(shè)在內(nèi)部解析,且連續(xù)到,在上.試證:在內(nèi)部只有一個(gè)點(diǎn)使.證 設(shè),則在上有由儒歇定理知,與在內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同,而在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn),所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),記為,使得,即.（二）在廣義積分中的應(yīng)用1、計(jì)算型積分 其中為的有理函數(shù),在是連續(xù).設(shè),則,由歐拉公式得,.當(dāng)從變化到時(shí),沿單位圓周正方向繞行一周,因此我們有以下的計(jì)算積分公式：可以看出上式右端是關(guān)于變量的有理函

13、數(shù)的圍線積分,且設(shè)其中的被積函數(shù)在上沒(méi)有奇點(diǎn),則可利用柯西留數(shù)定理來(lái)計(jì)算實(shí)積分.注 這里關(guān)鍵一步是利用變數(shù)代換,至于被積函數(shù)在上的連續(xù)性可不必考慮,只要看變換后的函數(shù)在上有無(wú)奇點(diǎn).例1 計(jì)算積分.解 令,則.這樣就有,且在圓內(nèi),只以為一階極點(diǎn),在上無(wú)奇點(diǎn),由可知因此由柯西留數(shù)定理得.注 此題也可利用數(shù)學(xué)分析中的方法來(lái)求解,這里就不詳細(xì)解答了,但比較起來(lái),用復(fù)變函數(shù)中的柯西留數(shù)定理來(lái)求解要顯得簡(jiǎn)單的多.2、計(jì)算型積分為了計(jì)算這種類(lèi)型的反常積分,首先證明下面的一個(gè)引理.它的作用是估計(jì)輔助曲線上的積分.引理1 設(shè)沿圓弧上連續(xù),且于上一致成立（既與中的無(wú)關(guān)）,則有.由上述引理,易證：定理1 設(shè)為有理分

14、式,其中 與為互質(zhì)多項(xiàng)式,且符合條件：（1）;（2）在實(shí)軸上;于是有. 例2 設(shè),計(jì)算積分.解 設(shè)因?yàn)?所以.例3 求積分的值.解 因?yàn)橛啥ɡ?知道.3、計(jì)算型積分引理2 設(shè)函數(shù)沿半圓周上連續(xù),且在上一致成立,則 .該引理也稱(chēng)為若爾當(dāng)引理,應(yīng)用上述引理,和證明定理1一樣,可得:定理2 設(shè),其中及是互質(zhì)多項(xiàng)式,且符合條件:（1）的次數(shù)比的次數(shù)高;（2）在實(shí)軸上;（3）;則有.將上述式子的實(shí)虛部分開(kāi),可以得到形如和的積分.由數(shù)學(xué)分析中的結(jié)論,可知上面兩個(gè)反常積分都存在,其值就是柯西主值.例4 計(jì)算積分.解 因?yàn)樵谏习肫矫鎯?nèi)無(wú)奇點(diǎn),在實(shí)軸上只有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn),.于是,所以.例5 計(jì)算積分.解 因?yàn)楸环e

15、函數(shù)為偶函數(shù),故，根據(jù)定理4得，于是有和.4、計(jì)算型積分計(jì)算此種類(lèi)型的積分,其主要方法是:設(shè)是有理函數(shù),且分子比分母至少低二次,設(shè)函數(shù).將復(fù)平面沿正實(shí)軸(包括原點(diǎn))作支線割開(kāi),得其單位值域,取在正實(shí)軸上為實(shí)值的分枝,其對(duì)應(yīng)記為,若是在內(nèi)的各個(gè)極點(diǎn),則: 例6 計(jì)算的值.解 設(shè)輔助函數(shù),顯然在處有四階極點(diǎn),其留數(shù)為.根據(jù)公式即得. 通過(guò)上述的一些實(shí)例可以看出,應(yīng)用柯西留數(shù)定理計(jì)算某些類(lèi)型實(shí)函數(shù)的積分,其大概思想是:為了求實(shí)函數(shù)在實(shí)軸或者實(shí)軸上的某一段上的積分,我們要適當(dāng)增加某一曲線使其構(gòu)成一簡(jiǎn)單閉曲線,其內(nèi)部為,選取合適的函數(shù),然后對(duì)應(yīng)用柯西留數(shù)定理,就大大簡(jiǎn)化了計(jì)算問(wèn)題.（三）在級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)

16、用設(shè)是分子次數(shù)比分母至少低兩次的有理函數(shù),且其極點(diǎn)都不為整數(shù),則有;例1 求級(jí)數(shù)的和.解 設(shè),則有一個(gè)一階極點(diǎn)0和四個(gè)一階極點(diǎn):.由文獻(xiàn)6中的一個(gè)公式（6）得 .例2 求級(jí)數(shù)的和.解 因?yàn)?所以.設(shè)，顯然有一階極點(diǎn)0和-1，且都是的二階極點(diǎn)，從而有,所以 .（四）柯西留數(shù)定理的推廣應(yīng)用這里有必要對(duì)推廣的柯西留數(shù)定理稍作陳述,其定義如下:推廣的留數(shù)定理 設(shè)在內(nèi)解析,在上有極點(diǎn)(其中有些可能在上),此外,在上除去上有限個(gè)點(diǎn)處有奇異性外,處處連續(xù),則.上述推廣的留數(shù)定理,相較于原有的只是將條件稍加放寬了,在計(jì)算一些復(fù)雜的積分時(shí),可以發(fā)揮很好的效果,對(duì)此,還要結(jié)合一下定理,這樣會(huì)使計(jì)算更加便捷.定理1

17、 假設(shè):（1）為一區(qū)域,是一條或有限條簡(jiǎn)單閉曲線;為內(nèi)一孤立點(diǎn)列,;在內(nèi)除去外解析,在上除去外為連續(xù);（2）級(jí)數(shù)收斂;則由上述定理,易證:定理2 設(shè)為復(fù)平面上一孤立奇點(diǎn)列,;在擴(kuò)充復(fù)平面上除去外為解析.若級(jí)數(shù)收斂,則在應(yīng)用中特別重要的是下面介紹的兩個(gè)定理:定理3 在定理1的條件下，若在內(nèi)某一收縮于的正常曲線族上滿足,其中的意義如前,則:定理4 在定理1中條件（1）的假定下,若存在收縮于的正常曲線族使與圍成的區(qū)域內(nèi)僅含有點(diǎn)列的一點(diǎn),并且在上滿足條件,則有級(jí)數(shù)收斂.上述的每個(gè)定理是對(duì)區(qū)域內(nèi)僅有一個(gè)極限點(diǎn)的點(diǎn)列的情形來(lái)表述的.但是,我們很容易把這些結(jié)果推廣到有若干個(gè)極限點(diǎn)的孤立點(diǎn)列的情形.例1 函數(shù)

18、（為正整數(shù)）在以為頂點(diǎn)的正方形曲線族上滿足, ,利用的Laurent展式可得,式中為Bernoulli數(shù).由定理2及定理3,即得.把定理2和定理3順次應(yīng)用于函數(shù)與（為正整數(shù)）,則有 , ,其中為Euler數(shù).結(jié)束語(yǔ)本文主要介紹了柯西留數(shù)定理的應(yīng)用,當(dāng)一些廣義積分無(wú)法運(yùn)用正常的求解方式解答時(shí),柯西留數(shù)定理就是一個(gè)有效便捷的途徑.值得一提的是,柯西留數(shù)定理在級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用,使得級(jí)數(shù)求和又有了一個(gè)簡(jiǎn)便的方法.在一些廣義積分中,有些問(wèn)題給出的數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的求解因素并不明顯外露,我們可以借助一定的方法構(gòu)造輔助線,從而為問(wèn)題的解法尋找簡(jiǎn)捷的途徑.通常情況下,在利用柯西留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分時(shí),一般總是針對(duì)那些原函數(shù)不易求出的;在計(jì)算級(jí)數(shù)求和中,先求出極點(diǎn),進(jìn)而利用相關(guān)的公式和定理去求解;而在其它學(xué)科中的應(yīng)用,同樣要結(jié)合數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)將其轉(zhuǎn)化并解答.利用柯西留數(shù)定理可以巧妙靈活地解答