專題16幾何最值之阿氏圓知識(shí)精講-沖刺2020年中考幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1、幾何最值之阿氏圓知識(shí)精講在平面上，到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上，即對(duì)于平面內(nèi)的定點(diǎn)A、B,若平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足PA:PB = 1 ,則P點(diǎn)軌跡為一條直線(即線段 AB的垂直平分線)，如果這個(gè)比例不為 1 , P 點(diǎn)的軌跡又會(huì)是什么呢？?jī)汕Ф嗄昵暗陌⒉_尼斯在其著作平面軌跡一書中，便已經(jīng)回答了這個(gè)問(wèn)題。接下來(lái)，讓我們站在巨人的肩膀上，一起探究PA: PB= k ( kl)時(shí)P點(diǎn)的軌跡。對(duì)于平面內(nèi)的定點(diǎn) A、B ,若在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn) P且P滿足PA ： PB = k ( k ),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是阿氏圓”，如圖所示:PA = 7 33 PB = 3.PAPB借助畫板工具我們發(fā)現(xiàn)，

2、動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PA、PB的長(zhǎng)度都在變化，但是 PA: PB的比值始終保持不變，接下來(lái)我們?cè)谏钊胙芯恳幌?PA若 ：,設(shè)U ,如圖所示:由圖可以發(fā)現(xiàn)在AB上存在點(diǎn)C使得 ",在AB延長(zhǎng)線上存在點(diǎn) D使得 '=,也就是說(shuō),當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C、D重合時(shí)，對(duì)于任意一點(diǎn)PAB 一條內(nèi)角平分線，再連接PD,可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C、D重合時(shí)，符合條件;PA 沖廠P,連接PA、PB、PC,可得 =所以PC為=；,所以PD為PAB 一條外角平分線，所以 PC丄PD ,即 CPD = 90o,所以點(diǎn)P的軌跡是以CD為直徑的一個(gè)圓.當(dāng)我們遇到平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)之比為定值且不為1的情況時(shí)，可以在過(guò)兩定

3、點(diǎn)的直線上按定比確定內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，并以之為直徑做圓從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡如何具體證明P點(diǎn)的軌跡就是一個(gè)完整的圓呢？分別取線段AB的內(nèi)外分點(diǎn)C、D ,再取CD中點(diǎn)O,可得'=',=L,設(shè).；= 二，JLJG Ljuk 則f . I T ,由線段位置關(guān)系可得AC+BC+BD=AD ,則解得=I "OA又 Tfl 二=匚 一 = / -+= ，即 整理得即:亠' 如圖所示:當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P都有二 ="對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈恢眠x取 A、Ou4y,'

4、B點(diǎn)，則需.,就可以構(gòu)造出上述的 A字型相似（詳見(jiàn)本專輯的相似模型）例1如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上一動(dòng)點(diǎn)，則.-+: 的最小值'的最大值為【解答】最小值為 5,最大值為5【解析】在BC上取一點(diǎn)G,使得BG = 1 ,連接PG、DG,如圖所示:CB此時(shí)最大值也是 DG,最大值為5.例2、如圖，半圓的半徑為 1, AB為直徑，AC、BD為切線，AC = 1, BD = 2,點(diǎn)P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，求-r. - ：的最小值=2竺=j 竺=竺'HG T , BP 2 'BG BP'Pfy1 PBG = PBC,A PBG- CBP, 二

5、 .1+ 丿-在厶PDG中，DP + PG DG ,當(dāng)D、G、P共線時(shí)，V ZT的值最小,最小值為.=、.L =二當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線時(shí)，的值最大，如圖所示:【解答】【解析】當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，- :":-r -廠J的值最小.連接PB、CO，AD與CO相交于點(diǎn)M,如圖所示:. AB = BD = 2,BD 是 O 的切線,. ABD = 90o, BAD = D = 45o, AB 是 O 直徑，. APB = 90o,. PAB = PBA = 45o,. PA = PB,PO AB, AC是 O的切線,.AC丄AB,.AC / PO, CAO = 90o. AC = Po= 1,.四邊形AOPC是平行四邊形，而 OA = OP, CAO = 90o,.四邊形AOPC是正方形，PC+ PD= P