人教A版高中數(shù)學必修4第一章三角函數(shù)1.3三角函數(shù)的誘導公式教案(3)

1、1.3三角函數(shù)的誘導公式整體設計教學分析本節(jié)主要是推導誘導公式二、三、四，并利用它們解決一些求解、 化簡、證明問題.本小節(jié)介紹的五組誘導公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù)，又是后繼學習內(nèi)容的基礎，它們與公式一組成的六組誘導公式，用于解決求任意 角的三角函數(shù)值的問題以及有關三角函數(shù)的化簡、證明等問題 .在誘導公式的學習中，化歸思想貫穿始末，這一典型的數(shù)學思想， 無論在本節(jié)中的分析導入，還是利用誘導公式將求任意角的三角函數(shù) 值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，均清晰地得到體現(xiàn)，在教學中注意數(shù) 學思想滲透于知識的傳授之中，讓學生了解化歸思想，形成初步的化 歸意識，特別是在本課時的三個轉(zhuǎn)化問題引入后，為什么確定18

2、0 + 口角為第一研究對象,-口角為第二研究對象，正是化歸思想的運用.公式二、公式三與公式四中涉及的角在本課的分析導入時為不大 于900的非負角，但是在推導中卻把0c拓廣為任意角，這一思維上的 轉(zhuǎn)折使學生難以理解，甚至會導致對其必要性的懷疑，因此它成為本 課時的難點所在.課本例題實際上是誘導公式的綜合運用，難點在于需要把所求的 角看成是一個整體的任意角.學生第一次接觸到此題型，思維上有困 又隹，要多加引導分析，另外，誘導公式中角度制亦可轉(zhuǎn)化為弧度制，但 必須注意同一個公式中只能采取一種制度，因此要加強角度制與弧度 制的轉(zhuǎn)化的練習.三維目標1 .通過學生的探究，明了三角函數(shù)的誘導公式的來龍去脈，

3、理解 誘導公式的推導過程；培養(yǎng)學生的邏輯推理能力及運算能力，滲透轉(zhuǎn) 化及分類討論的思想.2 .通過誘導公式的具體運用，熟練正確地運用公式解決一些三角 函數(shù)的求值、化簡和證明問題，體會數(shù)式變形在數(shù)學中的作用.3 .進一步領悟把未知問題化歸為已知問題的數(shù)學思想，通過一題多解，一題多變，多題歸一，提高分析問題和解決問題的能力.重點難點教學重點：五個誘導公式的推導和六組誘導公式的靈活運用，三 角函數(shù)式的求值、化簡和證明等.教學難點：六組誘導公式的靈活運用.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課思路1.利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值.復習誘導公式一及其用途.思路2.在前面的學習中，我們知道終邊相同

4、的角的同名三角函數(shù) 值相等，即公式一，并且利用公式一可以把絕對值較大的角的三角函 數(shù)轉(zhuǎn)化為0到360 （0到2兀）內(nèi)的角的三角函數(shù)值，求銳角三角函 數(shù)值，我們可以通過查表求得，對于90°至U 3600 （募至口2兀）范圍內(nèi)的 角的三角函數(shù)怎樣求解，能不能有像公式一那樣的公式把它們轉(zhuǎn)化到 銳角范圍內(nèi)來求解，這一節(jié)就來探討這個問題.推進新課新知探究提出問題由公式一把任意角a轉(zhuǎn)化為0 ,360 ）內(nèi)的角后，如何進一步 求出它的三角函數(shù)值？活動：在初中學習了銳角的三角函數(shù)值可以在直角三角形中求得 特殊角的三角函數(shù)值學生記住了 ，對非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通 過查數(shù)學用表或是用計算器求得.教

5、師可組織學生思考討論如下問 題:00至U 90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得 ?90至U 360 的角B能否與銳角口相聯(lián)系？通過分析B與的聯(lián)系，引導學生得出 解決設問的一種思路：若能把求90° ,360° ）內(nèi)的角（3的三角函數(shù)值 轉(zhuǎn)化為求有關銳角的三角函數(shù)值，則問題將得到解決，適時提出，這 一思想就是數(shù)學的化歸思想，教師可借此向?qū)W生介紹化歸思想.圖1討論結(jié)果：通過分析，歸納得出：如圖1.180 = -a,P w90 ：180,B =<180 + a,P w180：,2701,360 二a,P w270：3601,提出問題銳角口的終邊與180 + 口角的終邊位置關

6、系如何？它們與單位圓的交點的位置關系如何 ？任意角與180 +%呢？活動：分為銳角和任意角作圖分析：如圖2.圖2引導學生充分利用單位圓，并和學生一起討論探究角的關系. 無論為銳角還是任意角，180° + %的終邊都是的終邊的反向延長 線，所以先選擇180 + %為研究對象.利用圖形還可以直觀地解決問題，角的終邊與單位圓的交點的 位置關系是關于原點對稱的，對應點的坐標分別是P(x,y)和P' (-x,-y).指導學生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義，導出公式二：sin(180+ % 尸-sin % ,cos(180+%)=-cos %.并指導學生寫出角為弧度時的關系式：si

7、n( 兀 + % 尸-sin % ,cos(兀 + % 尸-cos % ,tan( 兀 + % 尸tan % .引導學生觀察公式的特點，明了各個公式的作用.討論結(jié)果：銳角口的終邊與180 + 口角的終邊互為反向延長 線.它們與單位圓的交點關于原點對稱.任意角與180 +口角的終邊與單位圓的交點關于原點對稱提出問題有了以上公式，我們下一步的研究對象是什么？-口角的終邊與角的終邊位置關系如何？活動：讓學生在單位圓中討論- %與的位置關系，這時可通過復習正角和負角的定義，啟發(fā)學生思考：任意角口和-0c的終邊的位置關系；它們與單位圓的交點的位置關系 及其坐標.探索、概括、對照公式二的推導過程，由學生自

8、己完成公式 三的推導，即：sin(- % 尸-sin % ,cos(- % 尸cos % ,tan(- % 尸-tan % .教師點撥學生注意：無論是銳角還是任意角，公式均成立.并進一步 引導學生觀察分析公式三的特點，得出公式三的用途：可將求負角的 三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值.討論結(jié)果：根據(jù)分析下一步的研究對象是-%的正弦和余弦.-口角的終邊與角的終邊關于x軸對稱，它們與單位圓的交點坐 標的關系是橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù).提出問題下一步的研究對象是什么？兀-口角的終邊與角的終邊位置關系如何 ？活動：討論兀-%與的位置關系，這時可通過復習互補的定義， 引導學生思考：任意角口和兀-%的

9、終邊的位置關系；它們與單位圓的 交點的位置關系及其坐標.探索、概括、對照公式二、三的推導過程, 由學生自己完成公式四的推導，即：sin（兀-% 尸sin % ,cos（兀-% 尸-cos % ,tan（兀-% 尸-tan % .強調(diào)無論是銳角還是任意角，公式均成立.引導學生觀察分析公式三的特點，得出公式四的用途：可將求兀-%角 的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值.讓學生分析總結(jié)誘導公式的結(jié)構(gòu)特點，概括說明，加強記憶.我們可以用下面一段話來概括公式一一四：% +k 2兀（k 6 Z）,- % , nt 士口的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值， 前面加上一個把0c看成銳角時原函數(shù)值的符號.進一步簡記為

10、：”函數(shù)名不變，符號看象限”.點撥、引導學生注意公 式中的是任意角.討論結(jié)果：根據(jù)分析下一步的研究對象是兀-%的三角函數(shù)；兀-口角的終邊與角的終邊關于y軸對稱，它們與單位圓的交點 坐標的關系是縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).示例應用 思路1例1利用公式求下列三角函數(shù)值(1)cos225;(2)sin ;(3)sin( -);(4)cos(-2 040).活動:這是直接運用公式的題目類型，讓學生熟悉公式，通過練習 加深印象，逐步達到熟練、正確地應用.讓學生觀察題目中的角的范圍 對照公式找出哪個公式適合解決這個問題.解：(1)cos225=cos(180 +45 )=-cos45=-;(2)sin1

11、1二=sin(4 兀-1-)=-sin(3)sin(尸-sinTT=-sin(5 兀 + )二一 .3 .=-(-sin任意負角的 三角函兼用公虻 三或一任意正角的 三角晶數(shù)投角三角 函致用公式 二或四0一加的角的 三角函致32(4)cos(-2 040 尸cos2 040 =cos(6 X360 -120 )=cos120 =cos(180 -60 )=-cos60 = _1.2點評：利用公式一一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)一般可按下列步驟進行：上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法變式訓練利用公式求下列三角函數(shù)值：(1)cos(-51015' );(2)s

12、in(-17 兀).3解：(1)cos(-51015' )=cos510 15'=cos(360 +150 15') =cos150 15' =cos(180 -29 45')=-cos29 45' =-0.868 2;(2)sin( _17 兀尸sin(生-3X2 兀尸sin 上二3.3332例2 2007全國高考,1cos330 等于()A. -B.-22C.32答案：C變式訓練 化簡: ,1 2sin290 cos430sin 250 cos790解. 1 2sin 290 cos430 sin 250 cos790_ 1 2sin(360

13、 -70 )cos(36070 )sin(18070 ) - cos(72070 )并、約分.解：cos315 +sin（-30）+sin225+cos480=cos（360 -45 ）-sin30+sin（180+45 ）+cos（360+120 ）=cos（-45） - -sin45 +cos1202=cos45 -1 -2+cos（180 -60 ）一、2 1.2= cos60 1.222點評：利用誘導公式化簡，是進行角的轉(zhuǎn)化，最終達到統(tǒng)一角或求值的目的.變式訓練求證:tan（2二-?）sin（2二-i）cos（6二-）（一 cos?）sin（5 二二）分析：利用誘導公式化簡較繁的一邊，

14、使之等于另一邊.證明:左邊二tan（2二-i）sin（2二-i）cos（6二-）（-cosi）sin（5 二口）=tan（ 一日）sin（ ） cos（ ）（-cos【）sin（二1）_ tan f sin icos' cos sin 1所以原式成立.=tan 0 =右邊.規(guī)律總結(jié)：證明恒等式，一般是化繁為簡，可以化簡一邊，也可以兩邊都化簡.知能訓練課本本節(jié)練習13.解答：1.(1)-cos ;(2)-sin1;(3)-sin解(4)cos706'.95點評：利用誘導公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).2.(1) 1;(2) 5(3)0.642 8;(4)- /.2 2.2點評：先利用誘導

15、公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，再求值.3 .(1)-sin 2 % cos % ;(2)sin 4%.點評：先利用誘導公式變形為角0c的三角函數(shù)，再進一步化簡.課堂小結(jié)本節(jié)課我們學習了公式二、公式三、公式四三組公式，這三組公式在求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式時是經(jīng)常用到 的，為了記牢公式，我們總結(jié)了 “函數(shù)名不變，符號看象限”的簡便記 法，同學們要正確理解這句話的含義，不過更重要的還是應用，我們要 多加練習，切實掌握由未知向已知轉(zhuǎn)化的化歸思想.作業(yè)課本習題1.3 A 組2、3、4.設計感想一、有關角的終邊的對稱性(1)角的終邊與角兀+ %的終邊關于原點對稱.(2)角0c的終邊與角-%的

16、終邊關于x軸對稱.(3)角口的終邊與角兀-%的終邊關于y軸對稱.二、三角函數(shù)的誘導公式應注意的問題(1)%+k2兀(k6Z),- % , nt 士口的三角函數(shù)值等于的同名函數(shù)值， 前面加上一個把0c看成銳角時原函數(shù)的符號；可簡單記憶為：“函數(shù)名 不變，符號看象限.”(2)公式中的是任意角.(3)利用誘導公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為 銳角的三角函數(shù)值.基本步驟是：任意負角的三角函數(shù)三-T相應的正角的三角函數(shù) _竺_ T0到2兀角的三角函數(shù)一"二銳角的三角函數(shù)一空T三角 函數(shù).即負化正，大化小，化為銳角再查表.(設計者：沈獻宏)第2課時導入新課上一節(jié)課我們研究了誘導

17、公式二、三、四.現(xiàn)在請同學們回憶一下相 應的公式.提問多名學生上黑板默寫公式.在此基礎上，我們今天繼續(xù) 探究別的誘導公式，揭示課題.推進新課新知探究提出問題終邊與角的終邊關于直線y=x對稱的角有何數(shù)量關系？活動:我們借助單位圓探究終邊與角口的終邊關于直線y=x對稱的角的數(shù)量關系.教師充分讓學生探究，啟發(fā)學生借助單位圓，點撥學生從終邊關于直 線y=x對稱的兩個角之間的數(shù)量關系，關于直線y=x對稱的兩個點的坐標之間的關系進行引導圖3討論結(jié)果：如圖3,設任意角的終邊與單位圓的交點 Pi的坐標為 (x,y),由于角|- a的終邊與角的終邊關于直線 y=x對稱，角-% 的終邊與單位圓的交點R與點Pi關于

18、直線y=x對稱，因此點B的坐標 是(y,x),于是，我們有sin % =y,cos % =x,cos( 2 民)=y,sin(oc )=X. 2從而得到公式五：cos( - a )=sin a ,sin( |- a 尸cos提出問題能否用已有公式得出a + a的正弦、余弦與a的正弦、余弦之間的關系式？活動：教師點撥學生將2+a轉(zhuǎn)化為兀Y；-。),從而利用公式四和公式五達到我們的目的.因為+%可以轉(zhuǎn)化為兀-(1-%),所以求 三十口角的正余弦問題就轉(zhuǎn)化為利用公式四接著轉(zhuǎn)化為利用公式五，2這時可以讓學生獨立推導公式六.討論結(jié)果：公式六Sin( 1+ 認尸cos認, cos( 1-+ % )=sin

19、 % .你能概括一下公式五、六嗎？活動：結(jié)合上一堂課研究公式一一四的共同特征引導學生尋求公 式五、六的共同特征，指導學生用類比的方法即可將公式五和公式六 進行概括.討論結(jié)果：三士口的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于0c的余弦(正弦)函 2數(shù)值,前面加上一個把口看成銳角時原函數(shù)值的符號.進一步可以簡記為：函數(shù)名改變，符號看象限.利用公式五或公式六，可以實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一一六都叫做誘導公式.提出問題學了六組誘導公式及上例的結(jié)果后，能否進一步歸納概括誘導公 式,怎樣概括？討論結(jié)果：誘導公式一一四，函數(shù)名稱不改變，這些公式左邊的角分別是2k兀+ % (k 6 Z),兀± %

20、 ,- a (可看作0- a ).其中2k兀，兀,0是橫坐 標軸上的角，因此，上述公式可歸結(jié)為橫坐標軸上的角士 ,函數(shù)名稱不改變.而公式五、六及上面的例1,這些公式左邊的角分別是 |± 0t , 3L- % .其中m3是縱坐標軸上的角，因此這些公式可歸結(jié)為縱 坐標上的角士 ,函數(shù)名稱要改變.兩類誘導公式的符號的考查是一 致的,故而所有的誘導公式可用十個字來概括：縱變橫不變，符號看象 限.教師指點學習方法：如果我們孤立地記憶這么多誘導公式，那么 我們的學習將十分苦累，且效率低下.學習過程中，能挖掘各個公式的 本質(zhì)特征，尋求它們之間的共性，那么我們對數(shù)學公式的記憶就不再 是負擔了 .因此

21、，要求大家多做這方面的工作，以后數(shù)學的學習就不再 是枯燥無味的了 .示例應用 思路1例 1 證明(1)sin( 3P % 尸-cos a ;(2)cos( 3- a 尸-sin a .活動：直接應用公式五、六或者通過轉(zhuǎn)化后利用公式五、六解決化簡、證明問題.3 二證明：(1)sin( - a )=Sin X +( - a )=-Sin( - oc )=-COS a ；3 二(2)cos( - a )=cos X +( - a )=-COS( - a )=-Sin a .點評：由公式五及六推得絲士 0c的三角函數(shù)值與角0c的三角函數(shù)值2之間的關系，從而進一步可以推廣到 型上兀(k 6 Z)的情形.

22、本例的結(jié)2果可以直接作為誘導公式直接使用.sin(2 二-a) cos(二a) cos(例2化簡2-cos(二-a)sin(3二- a) sin(-二11-a) cos(- - a)、.，9二 、-a)sin(- a)活動：仔細觀察題目中的角，哪些是可以利用公式二一四的，哪些是可以利用公式五、六的.認真應用誘導公式，達到化簡的目的.JI(-sina)(-cosa)(-sina)cos5 二(a)解:原式=2(-cosa)sin(二 -a)-sin(二 a)sin4二 ( a).2-sin acosa-cos( -a)(-cosa) sin a -(-sina)sin( a)-sin a _ t

23、an a .cosa思路2例 1 (1)已知 f(cosx尸cos17x,求證:f(sinx尸sin17x;對于怎樣的整數(shù)n,才能由f(sinx)=sinnx 推出 f(cosx)=cosnx?活動：對誘導公式的應用需要較多的思維空間，善于觀察題目特 點,要靈活變形.觀察本例條件與結(jié)論在結(jié)構(gòu)上類似，差別在于一個含余弦，一個含正弦，注意到正弦、余弦轉(zhuǎn)化可借助 sinx=cos（ 土-x）或 2cosx=sin（ 彳-x）.要善于觀察條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，找出它們的共性與差異；要注意誘導公式可實現(xiàn)角的形式之間及互余函數(shù)名稱之間證明:(1)f(sinx)=fcos(的轉(zhuǎn)移.-x)=cos17( -x

24、)=cos(8 兀JT-JT-nx)=+ ；-17x)=cos( ；-17x)=sin17x,即 f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=fsin( - -x)=sinn(- -x)=sin(2'sin x, n =4k, k w Z, cosnx,n =4k +1,k w Z, ,sin nx, n = 4k 2, k Z, -cosnx, n = 4k 3,k 三 Z,故所求的整數(shù)n=4k+1(k Z).點評：正確合理地運用公式是解決問題的關鍵所在變式訓練已知cos( 6% )=m(m< 1),求 sin(%)的值.解：: % -(2：:)-萬，萬-%=5+(否-

25、%).,3二、.,sin(a )*sin( 求2活動：教師引導學生先確定sin%的值再化簡待求式，從而架起已a3)=sin 1+(-%) =cos(-口 尸m.點評：(1)當兩個角的和或差是:的整數(shù)倍時，它們的三角函數(shù)值可通 過誘導公式聯(lián)系起來.(2)化簡已知與所求，然后探求聯(lián)系，這是解決問題的重要思想方法.例2已知sin 0c是方程5x的值.cos(- a) *cos(萬 a)-7x-6=0的根,且為第三象限角，、.2八-a) “an (2真 一 a) *tan(二-a)知與未知的橋梁.解：,5x2-7x-6=0 的兩根 x=2 或 x= -1WxW1, .sin %=.5又二 口為第三象限

26、角，.二cos % = J-1-sin2 = ，53 tan a =-42.原式=(-cosa) *(-cosa) *tan a*(-tana) =tana= 3 sin a (-sin a)4點評：綜合運用相關知識解決綜合問題.變式訓練若函數(shù) f(n)=sin (n 6 Z),則 f(1)+f(2)+f(3)+6+f(102)=.解：=sin m(m+2 兀尸sin (n*12)7T , 666.f(n)=f(n+12).從而有 f(1)+f(2)+f(3)+- +f(12)=0,.f+f(2)+f+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2 f(1)+f(2

27、)+f(3)=2+ 3.例 3 已知函數(shù) f(x)=asin(兀 x+% )+bcos(兀 x+B ).其中 a,b, a, B 者B是非零實數(shù)，又知f(2 003)=-1, 求f(2 004)的值.活動：尋求f(2 003)=-1 與f(2 004)之間的聯(lián)系，這個聯(lián)系就是我們解答問題的關鍵和要害.解:f(2 003)=asin(2 003 兀 + % )+bcos(2 003 兀 + B )=asin(2 002 兀 + 兀 + % )+bcos(2 002 兀 + 兀 + B )=asin(兀+%)+bcos(兀+B )=-asin % -bcos B=-(asin % +bcos B ),. f(2 003)=-1,asin + +bcos B =1. f(2 004)=asin(2 004 兀 + % )+bcos(2 004 兀 + B ) =asin % +bcos B =1.點評：解決問題的實質(zhì)就是由未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，在這個過 程中一定要抓住關鍵和要害，注意“整體代入”這一思想的應用.解答 本題的關鍵和要害就是求得式子 asin %+bcosB =1,它是聯(lián)系已知和 未知的紐帶.知能訓練;(4)-tan3528'.36課本練習47.4.A4n5n5n7n8n11n343434Sin %_33_22一百紅也石2222