清華工程流體力學課件第四章不可壓縮流體的有旋2.

1、第四章 不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動第節(jié)流體微團運動分析 笫_:節(jié)有旋流動和無旋流動 第二節(jié) 無旋流動的速度勢函數(shù)第節(jié):維、卜|何流動的流函數(shù)202 8 6I “徹體力分第血節(jié)基木的平面有勢流動第六節(jié)平曲勢流的稈加流動M1386iRifi體力鼻歡迎進入第四章的學習流體由于具有易變形的特性（易流動性）.內(nèi)此流體 的運動要比工程力學屮的剛體的運動復雜得多。在流體運 動，仃旋流動和無旋流動是流休運動的網(wǎng)種類型。山流 體薇運動分機叮知.仃旋流動是指流體微M1旋轉角速度 的漩動，無旋流動是指 的藏動。實際上，黏件流體的流動人多數(shù)是右旋流動，而4右 時是以叨顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)

2、， 船只運動時船丿百后形成的旋渦，人氣中形成的龍卷風等等。 但在更多的悄況b流體運動的右旋性并不是一眼就能看 得出來的，如活流體繞流物體時，在物休表面附近形成的 速度梯度很大的薄層內(nèi)，每點都冇旋渦，而這吐旋渦肉 眼卻是那塞不到的。至于匸程中大量存在著的紊流運動, 更是充満雅尺度不同的夫小旎渦。201386力分流體的無旋流動雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但 無旋流動比冇旋流動在數(shù)學處理上簡單 得多，因 此，對二維平血勢流在理論研究方向較成熟。對 工程中的某些問題，在特定條件下對黏性較小的 流體運動進行無旋處理，用勢流理論去研究其運 動規(guī)律，特別足繞流物體的流動規(guī)律，對工程實 踐具冇指導總義和應用價值。

3、因此，木章先闡述 有旋流動的基本概念及基本性質，然后再介紹二 維平面勢流理論。202 8 6I “徹體力分第一節(jié)流體微團運動分析剛體的一般運動可以分解為移動和轉動 兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具 有流 動性，極易變形。因此，任一流體微 團在運動過程中不但與剛體一樣町以移動 和轉動，而且還會發(fā)生變形運動。所以， 徐一般情況下流體微團的運動可以分解為 移動、轉動和變形運動三部分。201386一、表示流體微團運動特征的速度表達式在運動流體中,在時熱任取-正交六面體敝微團,其邊長分別為兒h d;,如圖41麻.當選取該流朋團上的F（）點為綃點時，則該點的速度分量分別為兒，、,JU、4, M ：），

4、其他各點的速度溝可稠泰翊數(shù)展開并略去二階及以上無別、量得融因此C（皿卄兀汁1）點楓度分量可表示為dwVV = VVH(lv +Ldz 板一acaV&+ + a% d>小 皺 曲¥avar空<|圖分析流體微團運動川圖201386力分為了把流體微團的速度進行分解，并以數(shù)學 形式表達出來，現(xiàn)將上武進行改造。在第一 式右邊士妊&、冷令心，在第二式右邊斗軟八士擰氏， 在第三式右邊4割、巧孰，重新整理后可得 到chfI ( dw d9“ =“ +色dr +丄怪+色b +丄徑+空誠+丄化-空農(nóng)-丄理-空B dx 2dy dx)' 2dz dx J 2【住 dx)

5、 2dx dy) *、丄 j dy J 21 Oxw *空心丄糾亦丄竺上丄徑-空往-丄徑-列k az 2ax dz） 21彷 dzp 2（即 dzj 2dz dx） 201386引入記號，并賦予運動特征名稱: 線變形速率S陥、兀，202 8 6!202 8 6!Oudvdx mOwdz(4-1)202 8 6!202 8 6!(4-2)明切變形速率 > 金切22 ay1 ( du dv21 az ci201386旋轉角速度©、CO202 8 6!202 8 6!e、I r Q"2 J Q=CyQ“J<5Lv J6,丿(4-3)202 8 6!于足可得到衣示流體微

6、團運動特征的速度農(nóng)達式為ut = " + 6dx+£、dy + £17dz + 0dz-e.dy匕=y+®、dy + £、山 + £ dz + Q A ep;：(4-4)wc = w + c: dz + cLv +dy + coxdy-(oy cLv J式(44)表明，在-踹況下,流體微團的運動可分解為三部分:以流體微團中 某點的速度作整體平移運動("“)；繞通過該點軸的旋轉運動S 酚團本身的變形運動(線變形I八儀和剪切姚I八丿202 8 6二.流體微團運動的分解為進一步分析流體微團的分解運動及其幾何特 征，對式(44)有較

7、深刻的理解，現(xiàn)在分別說明流 體微團在運動過程中所呈現(xiàn)山的平移運動、線變 形運動、角變形運動和旋轉運動。為簡化分析，僅討論在“平而上流體微團的運 動。假設在吋刻，流體微團ABCD為矩形，其上 各點的速度分量如圖42所示。由于微團上各點的 速度不同，經(jīng)過時間 皿勢必發(fā)生不同的運動， 微團的位置和形狀都將發(fā)生變化，現(xiàn)分析如下。202 8 6!1¥移運動由圖4-2可知，微團上A、B、C、D各點的速度分it中均有"和兩項，在經(jīng)過(b時間后，矩形微團ABCD向右、向上分別移動ud/x idr距離，即平移到新位置，形狀不變，如圖4-3(a)所示.式(4-4)中的第一項即為該流體年團平移運

8、動的運動速度。國4-2分析流體微團平面運動用圖2013862.線變形運動在圖4-2中，比較B與A、C與D點在方向及D與A、C與B點在、方向的速度差可 得？ 叫半*叫密5嶺7八£<八由此可知流體變段15和在AA9id，時間內(nèi)將伸長(或縮短)尋皿.同樣，喬和必線段將伸長(或縮短)埶s定義單位時間內(nèi)單位長度流體線段的伸長(或縮短)量為涼體微團的找變形速率.則沿鈾方向的線變形速率為dit> Hdnii)a 同理可得流體微團沿軸方向和沿軸方向的線變形速率分別為上述即為式(4-1)及其物理意義式(44)中的第二項所表示的便是該線變形運動所引起的速度變化.201386I體力乍將I、：方

9、向的線變形速率加在一起，有務夕（4-5）01 0 CC對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團在運動中體積不變。而三個方向的線變形速率Z和所反映的實質是流體微團體積在單位時 間的相對變化，稱為流體徹團的體積膨脹速率。因此,不可壓縮流體的連續(xù)性方程也 是流體不可壓縮的條件。在圖4-3（ b）中示出了該流體微團的平面線變形。2013 8 6圖4-3 流體微團平面運動的分解（G2013862013 8 614-3流體微urridi運動的分解(b)MB圖43流體微團丫面運動的分解(c)2013 8 6iRifi體力夕>1圖4-3流體微1411tfn運動的分斛(d)2

10、0(3 8 63.角變形運動在圖4-2中，比較D和A、C和B在方向及B和A、C和D在方向的速度 差可得：叫H學血，軌埶)；%叭半如由此可知，若速度増量 qyqrdrA均為正值，流體微團在血時間內(nèi)則發(fā)生圖43( c)所示的角變形運動.由圖可 見，由于D點和A點、C點和B點在方向的運動速度不同，致使而流體邊在&時 間內(nèi)順時針轉動了"角度；由于B點和A點、C點和D點在方向的速度不同， 致使両流體邊在缶時間內(nèi)逆時針轉動了血角度。于是，兩正交涼體邊“和帀在 d，時間內(nèi)變化了(<«卄叩)角度.顯然，微元角度血和"可由下列公式求得2013 8 6|丹盜4力分202

11、 8 61*祇體力乍通常把兩正交微元流體邊的夾角在單位時間內(nèi)的變化量定義為角變形 速度，而把該夾 角變化的平均值在單位時間內(nèi)的變化繪(角變形速度的平 均值)定義為剪切變形速率則在，平面上，將流體微團的剪切變形速率記為C ),因此有,(da + d)/2 1 dvBjx = d/ =同理.也可得到平面和 平面上的剪切變形速率”和于是.過流體微團任一點A的三個正交微元流體面上的剪切變形速率分別為6I ( du Ow、|上心式(5其矗衣盤)乩三、第四項舷示的便是由該剪切變形所引起的速度變化.2013 8 64.旋轉運動由圖4-3 (c)可知，流體微團在山時間內(nèi)山現(xiàn)了角變 形運動。若微元角度“二莎，則

12、流體微團只發(fā)生角變形； 若如=-如 L*|J A'/dv = -du/ih 9 則流體微團只發(fā)生旋轉，不發(fā)半 角變形，如圖4-3(d)所示。一般悄況下，卩十側，流體 微團在發(fā)牛角變形的同時，還要發(fā)牛旋轉運動。在旋轉運動中，用符氏衣示流體微I才I旋轉角速度的 大小，梵定義為：過流體微團匕A點的任兩條正交微元 流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉角速度的平均值，稱作A點 流體微團的旋轉角速度在垂直該平H1J力向的分氐 如圖 4-3 (c)所示，在，平而上，過A點的兩止交流體邊*和心 盤邊在d,時間內(nèi)逆時針旋轉了微元角度-帀邊在d時間 內(nèi)順時針旋 轉了微元角度-通常規(guī)定以逆時針旋 轉為正，則該兩條正交微

13、元流體邊在平I fl i內(nèi)的旋轉角 速度的平均值為,于是得流體微團沿軸方向 的旋轉角速度分探為202 8 61*祇體力乍202 8 61*祇體力乍同理對求得流體微團沿,軸方向札軸方向旋轉九速度的分址5和©。 丁是，以流休微團A點為軸的旋轉角速度啟的三個分城分別為1 C、=三I 6=_L壬2 < &N.=丄壬CO成矢駁形式為2 2 2;+0; +竺(4-6)202 8 61*祇體力乍(1-7 )1 1 "* 1 ” 1M = cjxi +=(Vx V)2上述即為式(巾-3)及其物理含義。式(4-4)中的須五.第八項所農(nóng)小的便 是山該屁轉運動所引起的速度變化。20

14、2 8 61*祇體力乍一.有旋流動和無旋流動的定義一.有旋流動和無旋流動的定義綜上所述，在一般悄況下，流體微團的運動總是町 以分解成：幣體¥移運動、旋轉運動、線變形運動及角變 形運動，與此相對應的是平移速度、旋轉角速度、線變形 速率和剪切變形速率。«138«用躋X第二節(jié) 有旋流動和無旋流動一、有旃流動和無旋流動的定義速度環(huán)量和旋渦強度流體的流動足仃旋還足無旋，足山流體微本身足否旋轉 來決定的。流體在流動中.如果流場中有若干處流體微團具 冇繞通過英門身軸線的旋轉運動.則稱為冇旋流動。如來在 格個流場中牡處的流體微均不繞H身軸線的旋轉運動，則 稱為無旋流動。這里需要說

15、明的足，判斷流體流動足冇旋流 動還是無旋流動，僅僅由流體微木身是占繞口身軸線的旋 轉運動來決定,而與流體微團的運動軌跡無關,在圖44(a)中, 雖然流體微團運動軌跡是圓形，但山于微團本身不屁轉，故 它是無旋流動；在圖44©)中，雖然流體微閒運動軌跡是直線, 但微團繞口身軸線旋轉，故它足冇旋流動。在口當空活屮也 竹類似的例子，例如兒童玩的沾動轉椅，當轉輪繞水平軸旋 轉時，毎個兒童*的椅了都繞水平軸作圓周運動，但是每個 兒童始終是頭向上，臉朝著一個方向.即兒童對地*說沒右 旋轉。201386力分201386劌斷流體微團無旋流動的條件足：流體中侮個流體微團都滿足根擁式(43),則有2013

16、86二、速度環(huán)量和旋渦強度1.速度環(huán)量學羅 麗的 隸盤浚攣竺韁忍囂。入流體力沿幽脅腹狀娜篇超燼if llh：傑傑 量，簡稱速度環(huán)量，用表示，即r = V -d? = | vcostak(4-9)KK式中丫在封閉曲線上的速度欠量； 速度與該點上切線之間的夾角。 速度環(huán)量是個標量，但具有正負號。2013861*祇4力F2013 8 6圖45沿封卿挪速度環(huán)雖速度環(huán)量的正負不僅與速度方向有關，而且與積分時 所取的繞行方向勺關。通常規(guī)定逆時針方向為K的正方向, 即封閉曲線所包圍的面積總在前進方向的左側,如圖45 所示。為沿順時針方向繞行時，式(4-9)應加一負號。 實際h,速度環(huán)屋所表征的是流體質點沿封

17、閉曲線K運動 的總的趨勢的人小，或者說所反映的是流體的冇旋性。山于-和，貝iJV =+ wk ds = dLvZ + dyj d JIV -dJ = udx + vdy + vvdz代入式(4-9)，得r = jv-ds = j(wdv + vdy + »ixk) ( 4-10 )2.旋渦強度沿封閉曲線K的速度環(huán)顯與冇旋流動ZMJ冇個重要 的關系，現(xiàn)僅以平面流動為例找出這個關系。如圖牛 6所示，在平面xoyAl取一微元矩形封閉曲線，其面 積cU = drdy.流體在A點的速度分量為“和匕貝IJB、 C和D點的速度分星分別為：d9 .=v + dv + dvdr dv*vo = v+g

18、dydy201386201386圖4-6沿微尤角戈轡梆零環(huán)直丁是，沿封閉IW線反時針方向ABCDA的速度環(huán)量di = "a +"b2將nam和 的無窮小各項， %氏跆值代入上式，略去高于一階 再將式(4-3)的第三式代入后，得v = 2“兒(14M1386M1386然后將式(4-11)對面積積分，得(4-12)廠=2J丁2013 8 6J：是得到速度環(huán)鍛與旋轉角速度Z間關系的斯托克斯定理： 沿封閉| 11線的速度環(huán)暈等J 該封閉周線內(nèi)所仃的旋轉角速 度的面積積分的二倍.稱Z為旋渦強度I即d/ = 2co dAn和/ = 2jJ condA(413)式屮o,方在微元面積dd的

19、外法線 斤匕的分量。由式（411）可導出另一個表示冇旋流動的量, 稱為渦施 以 表示之。它定義為單位面積上的速 度環(huán)雖，是一個矢呈。它在Z軸方向的分雖為M1386對于流體的空間流動，同樣可求得X利丫軸方向 渦量的分量和。丁是得OyOz=2g“a、=2eyOzOxyQ-=<(4-14)M1386M1386也就是說，在冇旋流動中,流體運動速度曲勺旋度稱為由此可見,在流體流動中, 個不等于零，即為有旋流動。 的渦暈或它的分暈都等丁零,如果渦量的三個分量中冇 如果在一個流動區(qū)域內(nèi)族處 也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)屋都等J：零，則在這個區(qū)域內(nèi)的流動一定是無旋流動。即M13 8 6Q = 2g) =

20、 VxV(4_15)卜 面舉兩個簡單的例子來說明速度環(huán)屋利旋渦強度的物 理意義，以及冇旋流動和無旋流動的區(qū)別。M1386【例】個以角速度 戰(zhàn)反時針方向作像剛體 一樣的旋轉的流動，如圖47所示。試求在這個流 場中沿封閉Illi線的速度環(huán)就，并證明它是有旋流 動(M)【例42】一個流體繞O點作同心圓的平面流動， 流場屮各點的圓周速度的人小與該點半徑成反 比，即v = c/r, :Ft屮C為常數(shù)，如圖48所示。試 求在流場中沿封閉山I線的速度環(huán)量，并分析它的 流動悄況。(M)201386【解】在流場屮對應于任意兩個半徑八和的圓周速度各為% W 和公叫 沿圖中畫斜線扇形部分 的周界ABCDA的速度環(huán)量

21、廠ABCDA 二廠AB +' BC + 廠CD + ' DA =匕巧一 W二(#2廠2 一叫廠】)="瞅廠;一Q 可見，在這個區(qū)域內(nèi)是有旋流動。又由丁扇形血積A = j 廠勿廠=? i2 >J 是/ ABCDA =上式正是斯托克斯定理的一個例證。以上結論可推廣適用于岡內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。圖47右旋流動中速度環(huán)屋的計算圖牛8無旋流動中速度環(huán)雖的計雋201386【解】 沿扇形面積周界的速度壞量/昨' =/B+/Bc + /'m +廠(M = A-r = 0f2fl可見，在這區(qū)域內(nèi)足無旋流動。這結論可推廣適川丁任何 木包圍圓心O的反域內(nèi)，例如A0UDA若包有

22、圓心(r=)Q 該處速度等于無限人，應作例外來處理?，F(xiàn)在求沿丫徑 的圓周封閉曲線的速度環(huán)量廠=J*rd。= 2/zf = 7JV數(shù)o r上式說明，繞任何一個圓周的流場中，速度環(huán)量都不 等于零，并保持一個常數(shù)，所以是有 旋流動。但凡是繞 不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等丁零，故在圓 心O點處必有旋渦存在，圜心是一個孤立渦點，稱為奇點。返回例JB201386第三節(jié) 無旋流動的速度勢函數(shù)如前所述，在流場屮流體微團的旋轉角速度在任意 時刻處處為零，即滿足 的流動為無旋流動刀無旋流 動也稱為有勢流動。= 0一、速度勢函數(shù)引入二、速度勢函數(shù)的性質2013 8 6一、速度勢函數(shù)引入山數(shù)學分析可知，Vx

23、V =& ”ck+vdy+威為某一標量 函數(shù)朋，金微分的充分必耍條件。則函數(shù)稱為速度 勢函數(shù)?；?此，也對以說，存在速度勢西數(shù) 的漁動為勺 勢流動，簡稱勢流。根據(jù)全微分理論，勢函數(shù) 的全微分 可寫成d殲空心+蟲dv +空gdx dy dz于是得dx(4-16)按矢量分析V = u7 + vj + wk =7 + J 十空匕 k = gratis dx dy dz對于圓柱坐標系，則有d<p1 dtpdq>= 9 p = , p = _Orr OOOz(4-17)(4-18)十是d(p = vrdr+vdrd+ v.dz從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可 壓縮流體，也不論

24、是定常流動還是非定常流動， 只要滿足無旋流動條件，必然存在速度勢函數(shù)。201386二、速度勢函數(shù)的性質（1）不町爪縮流休的方勢流動屮，勢暢數(shù)0滿足拉普拉斯 方程，勢函數(shù)0是調和函數(shù)。將式（416）代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程 中，則有學+羋+學=如=（）式中宀騎'畚戳拉挿缸斯算子，式（4-19）斯方程，所以在不可壓流體的有勢流動中，速度勢必定滿 足拉普拉斯方程，而凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù) 學分析屮稱為調和函數(shù)，所以速度勢函數(shù)是一個調和函數(shù)。2013861*邂4力F從上町見，在不町壓流體的有勢流動中，拉普拉斯 方程實質是連續(xù)方用的一種特殊形式，這樣把求解無 旋流動的間題，就變?yōu)榍蠼鉂M足左邊界條件卜的拉普 拉斯方程的問題。201386（2）任惠Illi線上的速度環(huán)腫等J：曲線兩端點上速度勢 函數(shù)。值之差。而與曲線的形狀無關。根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任直iliU線AB的線積分BBJ (udx