§66 二元函數(shù)的極值ppt課件

1、定義定義6.6.1對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) ( x , y ), 若恒有不等式若恒有不等式),(),(:1) 00yxfyxf),(),(: )200yxfyxf極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.例如：例如：2243yxz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處取得極小值處取得極小值.)(222yxz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處取得極大值處取得極大值.函數(shù)函數(shù) z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) P ( x0 , y0 )某鄰域內(nèi)有定義某鄰域內(nèi)有定義, ).,(00yxf則稱該函數(shù)在點(diǎn)則稱該函數(shù)在點(diǎn) P 處有極大值處有極大值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)統(tǒng)稱

2、為極值點(diǎn).122xyz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(既不取得極大值也不取得極小值既不取得極大值也不取得極小值.).,(00yxf則稱該函數(shù)在點(diǎn)則稱該函數(shù)在點(diǎn) P 處有極小值處有極小值6.6 6.6 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值6.6.1 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值1定理定理6.6.1 (必要條件必要條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處偏處偏導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在,并取得極值并取得極值, 那么那么0),(, 0),(0000yxfyxfyx證明證明:不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處取得極大值處取得極大值.那么那么),(),(00yxfyxf, 特別地特別地,取取0

3、yy 有有),(),(000yxfyxf由一元函數(shù)極值必要條件知由一元函數(shù)極值必要條件知,0),(00yxfx同理同理,0),(00yxfy 使使, 0),(yxfx0),(yxfy同時(shí)成立的點(diǎn)同時(shí)成立的點(diǎn),),(yxfz 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn).稱為函數(shù)稱為函數(shù)在在 x = x0 點(diǎn)取得極大值，點(diǎn)取得極大值， 考慮一元函數(shù)考慮一元函數(shù)),(0yxf2注意注意:1)若極值點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)若極值點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，極值點(diǎn)必是駐點(diǎn).2)函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).122xyz例例 3)函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).。是駐點(diǎn)，但不是極

4、值點(diǎn)是駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(但在但在 (0,0)點(diǎn)取得極小值點(diǎn)取得極小值例例3232),(yxyxf4)函數(shù)的極值點(diǎn)：函數(shù)的極值點(diǎn)：駐點(diǎn)駐點(diǎn))0 , 0(xf 不存在不存在,)0 , 0(yf 不存在不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)3定理定理6.6.2 (充分條件充分條件)0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(00yxfCyy 令令),(00yxfAxx ),(00yxfBxy (1).假設(shè)假設(shè), 02 ACB有極值有極值,(2).假設(shè)假設(shè), 02ACB(3).假設(shè)假設(shè), 02 ACB情況不定情況不定.,0A且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx

5、某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且且有一階有一階是極大值是極大值.),(00yxf是極小值是極小值.),(00yxf不是極值不是極值.),(00yxf, 0A注意：注意：結(jié)論結(jié)論(1)中的中的 A 換為換為 C 結(jié)論不變。結(jié)論不變。4例例1. 求函數(shù)求函數(shù)xyxyxyxf933),(2233的極值的極值.解解:),(yxfy),(yxfx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn):)2 , 3(),0 , 3(),2 , 1 (),0 , 1 (66 yfyyxxf , 0 xyf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 1 (處處,ACB 2, 072,有極小值有極小值5)0 , 1 (f在點(diǎn)在點(diǎn)),(03處處,ACB 207

6、2 , 無極值無極值.ACB 2072 , 無極值無極值.ACB 2, 072有極大值有極大值31)2 , 3(f,09632xx0632yy,66x在點(diǎn)在點(diǎn)),( 21處處,在點(diǎn)在點(diǎn)),(23處處,解方程組解方程組012A012 A6, 0,12CBA5步驟：步驟：（2對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)( x0 , y0 )，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ), B, C.（3應(yīng)用定理應(yīng)用定理4.9判定得出結(jié)論。判定得出結(jié)論。,),(),(yxfyxfyx，（1求求求出駐點(diǎn)求出駐點(diǎn)( x0 , y0 ),0),(0),(yxfyxfyx，并令并令求函數(shù)求函數(shù) 極值的方法和步驟極值的方法和步驟.),(

7、yxfz 6 最大值、最小值最大值、最小值對(duì)于區(qū)域?qū)τ趨^(qū)域 D 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)),(yx, 若恒有不等式若恒有不等式),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域D內(nèi)有定義內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)DyxP),(00),(),(:1) 00yxfyxf),(),(: ) 200yxfyxf最大值與最小值統(tǒng)稱為最值最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.例如：例如：2243yxz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處取得最小值處取得最小值 0.)(222yxz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處取得最大值處取得最大值 2.).,(00yxf則稱該函數(shù)在點(diǎn)則稱該函數(shù)在點(diǎn) 處有最大值處有最大值P使函數(shù)取得最值的點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)使函數(shù)取得最值的點(diǎn)統(tǒng)稱為最

8、值點(diǎn).).,(00yxf則稱該函數(shù)在點(diǎn)則稱該函數(shù)在點(diǎn) 處有最小值處有最小值P7 最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值點(diǎn)最值點(diǎn)（1邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)求出該函數(shù)在這些點(diǎn)上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值求出該函數(shù)在這些點(diǎn)上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值),(yxfz 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則一定有最值。上連續(xù)，則一定有最值。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)（2駐點(diǎn)駐點(diǎn)（3偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)若根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)的最值在區(qū)域若根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)的最值在區(qū)域 D 內(nèi)部點(diǎn)取到，而函內(nèi)部點(diǎn)取到，而函數(shù)在數(shù)在 D 內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，沒有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，則可斷定函內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，沒有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，則可

9、斷定函數(shù)在此駐點(diǎn)上取到最值。數(shù)在此駐點(diǎn)上取到最值。極值點(diǎn)極值點(diǎn)8例例2. 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱.問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最??？問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最省？解解:則由體積則由體積xyzV 水箱所用材料即水箱表面積水箱所用材料即水箱表面積S)88(2yxxy)(2zxyzxyzyx,設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 米，米，,8xyxyVz 可得可得), 0(), 0(),(yx0)8(22xySx令令得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn)(2,2).根據(jù)實(shí)際問題，根據(jù)實(shí)際問題，S 一定存在最小值一定

10、存在最小值.因而因而,當(dāng)當(dāng) x = 2 米米, y = 2 米米, z = 2米時(shí)，表面積米時(shí)，表面積 S 取得最小值取得最小值24 平方米平方米.即當(dāng)水箱的長(zhǎng)，寬，搞相等時(shí)，所用材料最省即當(dāng)水箱的長(zhǎng)，寬，搞相等時(shí)，所用材料最省.0)8(22yxSy9求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 在約束條件在約束條件0),(yxg下的極值。下的極值。拉格朗日乘數(shù)法：拉格朗日乘數(shù)法：（1). 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):),( ),(),(yxgyxfyxL其中常數(shù)其中常數(shù) 稱為拉格朗日乘數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù).(2). 解方程組：解方程組：0 xxxgfL解得解得,yx則點(diǎn)則點(diǎn)( x , y )可能為極值點(diǎn)可

11、能為極值點(diǎn). (3). 判斷判斷 (x, y) 是否為極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn).(一般情況下根據(jù)實(shí)際問題的實(shí)際意義可以判斷一般情況下根據(jù)實(shí)際問題的實(shí)際意義可以判斷)0yyygfL0),(yxgL6.6.2 6.6.2 條件極值條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法10推廣推廣 求函數(shù)求函數(shù)),(zyxf在約束條件在約束條件0),(, 0),(zyxhzyxg下的極值下的極值.(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):),(),(),(),(2121zyxhzyxgzyxfzyxL0 x,y,zhL0 x,y,zgL0L0L0Lzyx)()(21(2)解方程組解方程組解得解得),(zyx(3) 判斷判斷

12、 (x, y, z) 是否為極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn).11再解例再解例2. 例例2. 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱.問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最省？問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最??？解解:則問題變?yōu)閯t問題變?yōu)榍笄骃)(2zxyzxyzyx,設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 米，米，令令得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn)(2,2,2).此駐點(diǎn)即為最小值點(diǎn)此駐點(diǎn)即為最小值點(diǎn).因而因而,當(dāng)當(dāng) x = 2 米米, y = 2 米米, z = 2米時(shí)，表面積米時(shí)，表面積 S 取得最小值取得最小值24 平方米平方米.即當(dāng)水箱的

13、長(zhǎng)，寬，高相等時(shí)，所用材料最省即當(dāng)水箱的長(zhǎng)，寬，高相等時(shí)，所用材料最省.8xyz在約束條件在約束條件下的最小值下的最小值.作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù):) 8()( 2),(xyzzxyzxyzyxL0)(2yzzyLx0)(2xzzxLy0)(2xyxyLz08xyzL12解解: 問題即為問題即為:1502yx在約束條件在約束條件下的最大值下的最大值.yxQ2005. 0求求解方程組解方程組令令)1502(005. 0),(2yxyxyxL001. 0 xyLx得得,25100yx此唯一駐點(diǎn)即為最大值點(diǎn)此唯一駐點(diǎn)即為最大值點(diǎn).購(gòu)買兩種原料購(gòu)買兩種原料A、B的數(shù)量分別為的數(shù)量分別為100，25時(shí)時(shí),可使產(chǎn)量最大可使產(chǎn)量最大.02005. 02xLy01502yxL例例3.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與所用兩種原料與所用兩種原料A、B的數(shù)量的數(shù)量x，y間的關(guān)系式為：間的關(guān)系式為：Q = 0.005x2y，已知，已知A、B兩種原料的單價(jià)分別兩種原料的單價(jià)分別為為1元和元和2元，現(xiàn)有元，現(xiàn)有150元，問應(yīng)如何購(gòu)料，可使產(chǎn)量最大元，問應(yīng)如何購(gòu)料，可使產(chǎn)量最大?13解解拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù):),(zyxL聯(lián)立聯(lián)立0)(20AxxLx解得解得),(422222CBAd222000)( 2CBADCzByAx所求距離為所求距離為:222000CBADCz