梯度、散度和旋度.

1、梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因為三者是三種偏導(dǎo)數(shù)計算形式。這里假設(shè)讀者已經(jīng)了解了三者的定義。它們的符號分別記作如下：從符號中可以獲得這樣的信息：求梯度是針對一個標(biāo)量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個矢量函數(shù)。這里稱為勢函數(shù)；求散度則是針對一個矢量函數(shù)， 得到的結(jié)果是一個標(biāo)量函數(shù)， 跟求梯度是反一下的；求旋度是針對一個矢量函數(shù)，得到的還是一個矢量函數(shù)。這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、 “散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“ 旋度的旋度 ”，只有旋度可以連續(xù)作用兩次，而一維波動方程具有如下的形式(1)其中 a 為一實數(shù)，于是可以設(shè)想

2、，對于一個矢量函數(shù)來說，要求得它的波動方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計算式：(2)(3)(4)旋度公式略顯復(fù)雜。這里結(jié)合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個“X度的X度”。I . 梯度的散度：根據(jù)麥克斯韋方程有：而(5)則電勢的梯度的散度為這是一個三維空間上的標(biāo)量函數(shù)，常記作(6)稱為泊松方程，而算符2 稱為拉普拉斯算符。事實上因為定義所以有當(dāng)然，這只是一種記憶方式。當(dāng)空間內(nèi)無電荷分布時，即=0，則稱為拉普拉斯方程當(dāng)我們僅需要考慮一維情況時， 比如電荷均勻分布的無限大平行板電容器之間 （不包含極板）的電場，我們知道該電場只有一個指向，場強處處相等，于是該電場

3、滿足一維拉普拉斯方程，即這就是說如果那邊平行板電容器的負極板接地， 則板間一點處的電壓與該點距負極板的距離呈線性關(guān)系。II . 散度的梯度：散度的梯度， 從上面的公式中可以看到結(jié)果會比較復(fù)雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因為從麥克斯韋方程可以看出空間某點處電場的散度是該點處的電荷密度，那么再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴散，最后均勻。在半導(dǎo)體中，載流子分布的不均勻會導(dǎo)致擴散電流。散度的梯度這個概念其實不常用，因為計算復(fù)雜， 但在后面講用它來推導(dǎo)一個矢量恒等式。III .

4、梯度的旋度：對于梯度的旋度，直接把(2) 式代入 (4)式中，有由于勢函數(shù)在空間一點的領(lǐng)域內(nèi)往往是有二階連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)的，因此上式的結(jié)果為0.所以說 梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比如一個人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機上去，重力對他所做的功總是相等的，即力場的做工只與位移有關(guān)，而與路徑無關(guān) ，這樣的場稱為保守場 ，而保守場是無旋場。再比如繪有等高線的地圖，如果某點只有一個一根等高線穿過， 那么該點有一個 確定的相對高度 。如果該點有兩條或以上的等高線穿過，則這個點處在懸崖邊上，這個點處是不可微，也就沒有求梯度的意義。IV . 旋度的

5、散度：求旋度的散度也是將(4)式代入 (3) 式即可。若令(7)則從而將上面三式相加結(jié)果也為零。所以說旋度的散度為零，這就意味著一個散度場任意疊加上一個有旋場不會改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地確定這個矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地確定這個矢量，這是因為有旋場可以疊加上這么一個矢量場而不改變其旋度，而這個矢量場是一個標(biāo)量函數(shù)的梯度。V. 旋度的旋度：旋度的旋度將是本文的重點。若所研究的空間范圍內(nèi)是無源的，即=0，J=0，則根據(jù)麥克斯韋方程有：(8)(9)(10)(11)對 (9)式兩端取旋度(12)再將 (8)式代入 (12)式有(13)看到這里容易讓人想到式(1) ，前

6、面說式 (1)的方程為一維波動方程，那么跟 (13)式有什么聯(lián)系呢？棘手的問題是算旋度已經(jīng)夠復(fù)雜了， 算旋度的旋度豈不是更費周折？幸好有矢量恒等式可以利用來幫助簡化計算，這里要用到前面所講的散度的梯度。即有：(14)這里拉普拉斯算子作用于一個矢量函數(shù)時，意義變得不明確了，它和前面的幾個 “X度的 X 度”都不一樣，實際上它有這樣的定義：(15)為了驗證式 (14)還是要對計算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令則于是(16)而令(17)兩式相減有(18)類似地有由于所關(guān)心的空間內(nèi)是無源的，所以式(13)變成(19)這個方程很重要，稱為三維波動方程，這也從理論上

7、揭示了電磁波的存在。它的各分量展開后比較復(fù)雜， 實際上我們無法繪制出一個向四面八方傳播的波的振動圖像， 但好在可以畫出一維和二維的波， 從而了解波的性質(zhì)。 有些事物我們 無法在現(xiàn)實世界中呈現(xiàn)， 或繪制出圖形，但是數(shù)學(xué)上卻可以計算且有確切的物理意義 ，比如高于三維的空間， 不得不感嘆數(shù)學(xué)的神奇，感嘆我們生活的世界的神奇。VI . 幾個矢量恒等式：前面已經(jīng)介紹了一個矢量恒等式，還有其他幾個重要的恒等式。由于三種“度”是三種不同微分算法，雖然有些場合可以把當(dāng)做一個普通的矢量來處理，但并不總是正確的， 這一點需要引起注意。這里“×”乘的優(yōu)先級高于“·”乘對于普通三個不共面的矢量、 、C則有· ×A BA B= · × = · × 。得到的結(jié)果是 令三個矢量共起點，以三個矢量的模為棱構(gòu)