基于變分和小波變換的圖像放大算法

1、基于變分和小波變換的圖像放大算法基金項目：國家部委預研基金(51487020203DZ0103)資助課題作者簡介：馮象初,男,1962年生,教授,博士生導師,研究方向為數(shù)值計算與圖像處理.姜東煥,女,1981年生,博士,講師,研究方向為小波理論與偏微分方程在圖像處理中的應用.徐光寶,男,1980年生,碩士,助教,研究方向為圖像處理,信息安全。馮象初1) 姜東煥 2) 徐光寶2) 1) (西安電子科技大學 理學院數(shù)學系，陜西，西安，710071)2) (山東科技大學 信息科學與工程學院，山東，青島，266510 )摘 要 為了更好地放大圖像，利用小波變換的思想，提出了一種變分和小波變換相結合的圖

2、像放大算法。該算法的思想是先構造一個用Besov范數(shù)估計圖像正則性的變分泛函，然后在小波域中最小化變分泛函得到放大圖像。小波變換后的高頻分量具有豐富的細節(jié)邊緣信息，因而能夠重構出高質量的圖像，而且小波的引入使得文中新算法具有運行時間短、速度快的特點。與傳統(tǒng)的插值放大圖像不同，該算法是用變分的思想進行圖像放大。理論分析和實驗仿真表明，該算法能達到和樣條插值同樣的放大效果。關鍵詞 圖像放大；變分泛函；小波變換；中圖分類號 TN911.73 1 引言圖像放大是從一幅低分辨率圖像獲得其高分辨率版本的一種圖像處理技術。圖像的放大和縮小在數(shù)字圖像處理中起著很重要的作用，為適應特殊的應用場合或者得到一個較好

3、的視覺效果，例如要突出某些細節(jié)，常常需要一種可以有效改變已有圖像大小的方法，使圖像放大和縮小后仍有較高的質量。各種插值技術是實現(xiàn)圖像放大的常用方法?，F(xiàn)有的圖像處理理論及常用的處理軟件都是采用插值方法對圖像進行放大和縮小，如平移重復插值、雙線性插值和樣條插值等。這些插值方法有很多的優(yōu)越性，用于圖像插值也取得了較好的效果。但這些方法都是用一些已知的光滑函數(shù)根據(jù)一定的光滑性要求逼近源圖像。由于這種固定方式的局限性，勢必會在圖像放大倍數(shù)較高時形成斑點以及在明暗區(qū)域出現(xiàn)偏移現(xiàn)象，而且放大倍數(shù)越大，這種現(xiàn)象越明顯。為克服該問題，朱寧等1提出了圖像放大的偏微分方程方法。Guichard和Maltouyres

4、2,3提出了一種基于全變差的圖像插值方法。其基本思想是通過給插值圖像的傅里葉系數(shù)加某種約束條件使得插值方法是可逆的，即通過對插值圖像下采樣可以得到原始圖像。滿足這樣約束條件的插值方法很多，他們選用全變差估計圖像的正則性并選擇正則性最好的插值方法。2004年Chambolle4給出了基于全變差的圖像放大的實現(xiàn)算法，得到比較理想的放大效果，但是該算法運行時間長、速度慢。本文在Chambolle圖像放大算法的基礎上，用Besov范數(shù)代替圖像的全變差估計圖像的正則性，得到一個新的變分泛函，然后通過最小化變分泛函得到放大圖像。因為Besov范數(shù)可以用小波系數(shù)序列的范數(shù)等價描述，所以可以將該泛函的最小化問

5、題轉化到小波域中用迭代的方法求解，并給出了迭代方法的收斂性證明。Chambolle基于全變差的圖像放大算法運行時間長、速度慢，而文中新算法是在小波域中進行求解，小波變換后的高頻分量具有豐富的細節(jié)邊緣信息，因而能夠重構出高質量的圖像，而且小波的引入使得該算法具有運行時間短、速度快的特點。所以新算法能在比較短的時間內獲得質量更好的放大圖像。與傳統(tǒng)的基于插值的放大算法不同，新算法是用變分的思想放大圖像。變分模型對放大后的圖像強加了幾何正則性要求，這就保證放大后圖像邊緣的光滑性。2 基礎知識2.1 小波和Besov范數(shù)假設是定義在區(qū)域上的一副灰度圖像，用Besov范數(shù)刻畫圖像的正則性是比較合適的5,6

6、。關于Besov空間的具體定義，參考文獻5。本文只需要Besov半范數(shù)和小波系數(shù)范數(shù)之間的等價關系。選用上的緊支撐周期正交小波(如Daubechies正交小波7)分解圖像。令表示周期化的尺度函數(shù)，那么為1。令表示由一維正交小波的張量積構成的兩維正交小波基。定義那么函數(shù)的小波表達式為：其中，。此時，可以用小波系數(shù)來表示范數(shù)： (1)如果小波在空間中()，那么有等價關系：此處僅考慮，時的特殊情況，即空間。為了方便起見，記，則 (2)其中。2.2 Chambolle圖像放大模型假設討論的圖像是的二維矩陣，表示空間，是的一個子空間，表示一幅粗糙的圖像。例如，當放大因子為2時，用數(shù)學式子表示為： 。Ch

7、ambolle4的圖像放大模型為：其中，是放大后的圖像，是在空間上的正交投影。顯然有及從而，Chambolle圖像放大模型變?yōu)椋篊hambolle給出了求解上述最小值問題的一種迭代算法。雖然該方法能得到比較好的圖像放大效果，但是它的計算時間長、速度慢，所以尋求相對運行時間短與實現(xiàn)速度快的算法具有重要的實際和現(xiàn)實意義。3 基于變分和小波變換的圖像放大算法及其收斂性證明3.1 基于變分和小波變換的圖像放大算法引理8 設是Hilbert空間中的一組正交小波基，分別是函數(shù)和在這組基下的小波系數(shù)，則泛函的最小解為其中，為小波軟閾值算子。由于Besov空間是有界變差空間的近似最小值9及空間中不允許圖像存在

8、邊界，所以用一個光滑階為的Besov空間來刻畫圖像的正則性，得到一個新的變分泛函，然后通過最小化變分泛函得到放大圖像。利用Besov范數(shù)可以用小波系數(shù)范數(shù)等價描述的性質，將求解最小值問題轉化到小波域中用迭代的方法求解。小波變換后的高頻分量具有豐富的細節(jié)邊緣信息，因而能夠重構出高質量的圖像，而且小波的引入使得文中新算法具有運行時間短、速度快的特點。這樣就克服了Chambolle圖像放大模型速度慢、時間長的缺點，而且得到質量有顯著提高的放大圖像。從而，本文的圖像放大模型為：同樣地，該問題等價于最小化下列泛函：其中，。根據(jù)等價關系(1)和(2)，有其中，分別表示函數(shù)的第個小波系數(shù)，從而得到下列等價的

9、凸序列泛函： (3)關于和取最小，其中，令表示中小波系數(shù)低頻部分為零的空間。相當于考慮下面兩個最小化問題：固定，求泛函(3)關于的最小解，即：，根據(jù)引理知，。固定，求泛函(3)關于的最小解，即：，其最小解為，其中表示把函數(shù)的小波系數(shù)的低頻部分閾值為零。綜上可知泛函(3)最小化問題的解可以用迭代的方法得到，其算法為：算法：1. 初始化： ； 2迭代： (4)3停止條件： , 。假設是一個事先給定的小的正數(shù)，若滿足條件就停止迭代。3.2 迭代方法的收斂性定理 序列收斂到泛函(3)中的最小值。證明：為了方便起見，直接用和來表示它們的小波系數(shù)。根據(jù)迭代算法，可知 (5)所以序列是遞減的，又，從而它是一

10、個單調有界序列，因此該序列收斂。設其收斂到，即。文中用緊支撐正交小波做變換，函數(shù)的小波系數(shù)是稀疏的，即中只有有限個不為零的數(shù)，所以序列有界，存在一個收斂的子列，當時，有，其中。對任意，有。 (6)對任意，有。 (7)設是的聚點，由于是連續(xù)的，根據(jù)(5)有，從而，因為，所以由投影的唯一性知，。因此，。分別對(6)和(7)式取極限，有 ，即 (8) ，即 (9)結合(3)式的泛函，(8)式等價于 (10)(9)式等價于 (11)因為在的次梯度為： (12)所以由式(10)(11)和(12)知：即，因此序列收斂到，并且，。4 仿真實驗下面將文中新算法與Chambolle放大模型進行比較，取參數(shù)，取0

11、.5。為便于比較,先將原圖下采樣縮小一定的倍數(shù)作為實際獲取的圖像，然后再放大。用文中方法放大圖像時，需要根據(jù)不同的圖像選取不同的，一般取0.8或1。為了減少放大后圖像的邊緣模糊現(xiàn)象及塊效應，文中采用平移不變小波變換，只做一層小波變換。選用db4小波，實驗結果見圖1和圖2。圖1是采用Chambolle放大模型和文中方法對Lena(256256)圖像進行放大兩倍的結果。可以看出, Chambolle放大模型得到的圖像邊緣比較模糊。采用文中方法得到的圖像細節(jié)豐富,如圖像中帽子上的皺褶及頭發(fā)比較清晰。圖2是對Plane(128128)圖像采用Chambolle放大模型和文中方法進行放大兩倍的結果?？梢?/p>

12、看出，Chambolle 模型得到的放大圖像的機身及尾翼上的字跡和云層都比較模糊，而文中方法得到的圖像卻比較清晰。為了更好地說明新算法的放大效果，采用三次樣條插值和文中算法對Lena(256256)的圖像放大兩倍，只選取放大后圖像中含細節(jié)較多的一部分，實驗結果見圖4。可以看出，本文算法同樣可以得到與樣條插值相同的放大效果。客觀上,可以采用峰值信噪比(PSNR)和均方誤差(RMSE)來評價圖像放大效果的好壞。峰值信噪比是一種比較接近人眼的視覺效果評價量。均方誤差用來測量放大圖像與標準圖像的相近程度。另外，考慮到實際的可行性，把時間(Time)也作為一個評價指標。用這三個指標定量分析這兩種方法的圖

13、像放大效果，下面對四幅圖像進行實驗，其中，Key圖像是一幅鑰匙圖，text圖像中有很多文字(見圖3)。實驗數(shù)據(jù)見表1,由此可見文中方法不僅速度快，用時短，而且得到質量更好的放大圖像。對于Key和Text這兩幅二值圖像來說，文中方法雖然用時很短，但是峰值信噪比并沒有很大的提高。所以文中方法更適合處理自然圖像及細節(jié)豐富的圖像。 (a) Lena(256256)圖像 (b) Chambolle模型得到的放大圖像 (c)新算法得到的放大圖像圖1. Chambolle模型和新算法對Lena圖像放大兩倍的結果比較 (a)Plane(128128)圖像 (b)Chambolle模型得到的放大圖像 (c)新算

14、法得到的放大圖像圖2. Chambolle模型和新算法對Plane圖像放大兩倍的結果比較 (a)樣條插值放大 (b) 新算法放大圖3 樣條插值方法和新算法的放大結果比較 圖3.實驗所用的Key圖像和Text圖像表1. Chambolle模型與新算法的放大性能比較圖像放大倍數(shù)Chambolle模型Time(秒) PSNR RMSE文中新算法Time(秒) PSNR RMSEKey 64642117.24 18.263 31.1440.82 18.602 29.954Plane 1281282520.68 25.523 13.5036.23 26.844 11.596Lena 1281284315

15、8.9 24.615 14.75361.37 25.213 12.699Lena 25625621962.8 29.596 8.44739.46 29.718 8.329Text 1281282517.73 16.331 38.9034.61 16.768 36.9955 結論與傳統(tǒng)的插值放大圖像不同，本文從變分的角度提出一種新的圖像放大算法。該算法用Besov范數(shù)刻畫圖像的正則性構造了一個變分泛函，然后通過最小化變分泛函得到放大圖像。根據(jù)Besov范數(shù)與小波系數(shù)范數(shù)之間的等價關系，可以將該泛函的最小化問題轉化到小波域中用迭代的方法求解，并證明了迭代方法的收斂性。Chambolle基于全變差的

16、圖像放大算法運行時間長、速度慢，而變分模型對放大后的圖像強加了幾何正則性的要求，這就保證了用新算法放大的圖像邊緣的光滑性；新算法是在小波域中進行求解，小波變換后的高頻分量具有豐富的細節(jié)邊緣信息，因而能夠重構出高質量的圖像，小波的引入使得該算法具有運行時間短、速度快的特點，能較快地獲得質量更好的放大圖像。由實驗結果可知，該算法適合處理自然圖像及含豐富細節(jié)的圖像，并且在視覺上可以達到和樣條插值相同的放大效果。參考文獻1 Zhu Ning, Wu Jing and Wang Zhongqian. Image zooming based on partial differential equation

17、s. Journal of computer-aided design and computer graphics. 2005, 17(9):19411945.(朱寧,吳靜, 王忠謙.圖像放大的偏微分方程方法.計算機輔助設計與圖形學學報,2005, 17(9):19411945.)2 Guichard F, Malgouyres F. Total variation based interpolation. Proceeding of the European Signal Processing Conference. Island of Rhodes, Greece, Sept. 8-11,

18、 1998, (3): 17411744.3 Guichard F, Malgouyres F. Edge direction preserving image zooming: a mathematical and numerical analysis. SIAM Journal of Numerical Analysis. 2001, 39(1): 137.4 Chambolle A. An algorithm for total variation minimization and applications. Journal of Mathematical Imaging and Vis

19、ion. 2004, (20): 8997.5 DeVore R A. Nonlinear approximation. Acta Numerica, Cambridge University Press, 1998, 51150.6 Chambolle A, DeVore R A, Lee N. Nonlinear wavelet image processing: variational problem, compression and noise removal through wavelet shrinkage. IEEE Transactions on Image Processin

20、g. 1998, (7): 319335.7 Daubechies I. Wavelet transforms and orthonormal wavelet bases. In Different perspectives on wavelets (San Antonio, TX, 1993), volume 47 of Proc. Sympos. Appl. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, 133.8 Lorenz D A. Solving variational problems in image processing via

21、projections-A common view on TV denoising and wavelet shrinkage. University of Bremen, Preprint No. 52 of the DFG Schwerpunkt-programm 1114, 2004(3).9 Cohen A., DeVore R, Petrushev P et.al. Nonlinear approximation and the space . American Journal of Mathematics, 1999, (121): 587628.Combining variati

22、on and wavelet transform for image zoomingFeng Xiangchu1 Jiang Donghuan2 Xu Guangbao2(1. Department of Mathematics, Xidian University, Xian, Shaanxi, 710071, China;2. College of Info. Sci. Eng., Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong, 266510)Abstract: To improve the image r

23、esolution, a new algorithm for image zooming combining variation and wavelet transform is proposed. We find the zoomed image by minimizing the variational functional in the wavelet domain which uses the Besov norm to measure the regularity of the image. Because the high-frequency subband of the wave

24、let transform keeps most details, the image is reconstructed with high quality. The new algorithm has the advantage of high velocity with the use of wavelet transform. Unlike the traditional image zooming by interpolation, the variation model is incorporated in the new zooming algorithm. Both theore

25、tical analysis and experimental results have verified that our algorithm can achieve the same effect as the interpolation by using spline. Key words: image zoom; variational functional; wavelet transform; 作者簡介：馮象初，男，1962年生，教授，博士生導師，主要研究方向為偏微分方程理論及其應用、小波理論及其在圖像處理中的應用。Feng Xiangchu, male, born in 1962

26、, professor, Ph. D. supervisor. His main research interests include image processing , the theory of PDEs and its application, wavelets and its applications. 姜東煥,女，1981年生，博士，講師，主要研究方向為小波理論與偏微分方程在圖像處理中的應用。Jiang Donghuan, female, born in 1981, Ph. D. candidate, lecturer, Her research interests are the

27、 application of wavelet and PDEs in image processing. 徐光寶，男，1980年生, 碩士，助教，主要研究方向：圖像處理，信息安全。Xu Guangbao, male, born in 1980, master, teaching assistant, His research interest include image processing and information security.聯(lián)系作者：馮象初 電話mail: xcfeng通訊地址：西安電子科技大學245信箱，710071。 BackgroundIma

28、ge zooming is one of the most fundamental problems in the field of image processing. It is a kind of technology which interpolates an image to higher resolution. Zooming in and zooming out play an important role in many digital image processing. To adapt to a special situation or to obtain a better

29、visual effect, for example, to stand out some details of an image, it is common to change the size of the image effectively and the zoomed image are still of high quality. Image interpolation techniques are often used to zoom an image, such as the duplication interpolation、the bilinear interpolation

30、 and the spline interpolation. The interpolation methods have shown superior properties for some classes of images. However, most of the interpolation methods have been introduced with no count on edges. Thus they bring up the smoothing effect in resulting images. Furthermore, when the image is zoom

31、ed by a large factor, the zoomed image looks blocky.Recently, some new nonliear methods have been suggested to overcome the artifacts of linear methods. The new methods are respectively based on wavelet and partial differential equations. Guichard and Maltouyres suggest total variation based interpolation. They define an interpolation method by imposing the interpolation to be reversible, in the sense that the original image can be deduced from its interpolation by a sub-sampling.This imposes some constraints on the Fourier coefficients of th