分數(shù)導數(shù)型粘彈性地基上矩形板的受荷響應_圖文

1、第19卷2期2011年4月應用基礎與工程科學學報J OURNAL OF B ASI C SC I ENCE AND E NG I N EER I N GVo. l 19, No . 2Ap ril2011文章編號:1005 0930(2011 02 0271 008 中圖分類號:O343; T U 433 文獻標識碼:A do:i 10. 3969/.j iss n . 1005 0930. 2011. 02. 011分數(shù)導數(shù)型粘彈性地基上矩形板的受荷響應朱鴻鵠, 劉林超, 葉肖偉港理工大學土木及結構工程學系, 香港123(1. 南京大學地球科學與工程學院, 江蘇南京210093; 2. 信陽

2、師范學院土木工程學院, 河南信陽464000; 3. 香摘要:地基上板的受荷變形性狀通常具有明顯的時間效應. 本文采用一種分數(shù)導數(shù)型Ke l v in 模型, 對粘彈性地基上均勻受荷的矩形板進行準靜態(tài)分析. 根據(jù)彈性 粘彈性對應原理, 通過拉普拉斯變換將該問題的彈性解推廣到以M ittag Leffler 函數(shù)表示的分數(shù)導數(shù)型粘彈性解. 算例的分析結果表明, 分數(shù)導數(shù)型粘彈性模型具有比經典粘彈性模型更好的適用性. 通過參數(shù)分析研究了該模型的參數(shù)對地基板撓度 時間關系的影響. 結果表明, 通過調整粘滯系數(shù)和分數(shù)階的取值, 地基上板的時效性變形可以用分數(shù)導數(shù)型K elv i n 模型精確模擬.關鍵

3、詞:粘彈性地基; 分數(shù)導數(shù); K e l v i n 模型; 地基板; 拉普拉斯變換地基上薄板的靜態(tài)、動態(tài)響應是道路工程、基礎工程中常見的一個問題. 針對該問題, W i n kler 地基模型是工程中廣泛采用的一個模型. 研究表明, 地基土體在荷載作用下一般1會發(fā)生長期的固結、蠕變, 因而地基上薄板的變形具有明顯的時間效應. 最近十多年來, 國內外很多研究開始從粘彈性角度探討地基上薄板的受荷變形問題. 但由于這些研究中采用的粘彈性模型均基于整數(shù)階微分算子, 因此計算結果常常和實際情況偏差較大, 或者為了提高擬合精度而引入過多的參數(shù).71936年, G e m ent 首先提出了粘彈性材料的分

4、數(shù)導數(shù)型本構模型. 由于數(shù)值解析的8 13復雜性, 直到最近幾年, 該類模型才逐漸應用于一些巖土工程問題. 本文通過引入分數(shù)導數(shù)型Ke l v in 模型, 對粘彈性地基上矩形板在均布荷載作用下產生的時效性變形特性進行了分析. 采用拉普拉斯變換方法, 推出了地基上矩形板的解析解, 并在此基礎上進行了參數(shù)分析.2 61 分數(shù)導數(shù)型K elvi n 模型具有分數(shù)導數(shù)型特征的一般粘彈性本構方程可以用下式表示m (t +b m m (t =E 0 (t +m =1dt14MnE n n (t n =1dtN!(1收稿日期:2009 06 24; 修訂日期:2010 11 16基金項目:國家重點基礎研究

5、發(fā)展計劃( 973 計劃 資助(2011CB710605 作者簡介:朱鴻鵠(1979! , 男, 博士, 副教授. E m ai:l zhuhonghu g m ai. l co m; T e:l 025 83597888272應用基礎與工程科學學報 V o. l 19!m n式中, m 和n 是正整數(shù); m (0< e m ann L i o uv ille 分數(shù)微分m <1 和(0 1000d 時, 板的變形已經不再受時間影響. 而在分數(shù)導數(shù)型K elvin 模型得到計算結果中, 地基板的變形表現(xiàn)出衰減型蠕變特性, 各點撓度隨時間長期發(fā)展. 圖5中地基反力也具有類似的規(guī)律. N

6、 o . 2朱鴻鵠等:分數(shù)導數(shù)型粘彈性地基上矩形板的受荷響應2753. 2 分數(shù)導數(shù)粘彈性模型參數(shù)分析分數(shù)導數(shù)型K elv i n 模型中包含3個參數(shù). 除了彈簧系數(shù)K 僅反映最終變形的大小, 粘滯系數(shù)&和分數(shù)階! 的取值對變形的時間效應都會產生影響.為了研究分數(shù)導數(shù)型K elv i n 模型中粘滯系數(shù)的影響, 保持其它參數(shù)不變化, 將&的取值依次設為5000、10000和15000MPa (d /m,相應的計算結果見圖6. 由圖6可知, 該模型中的&值對地基板撓曲的影響與經典K elvin 模型類似. 在同一時刻, 隨著&的減小, 地基板撓度增大. 考慮到地基

7、板各點的最終撓曲即為彈性解(圖4中實心線, 可以知道, 粘滯系數(shù)&主要影響地基板變形速率的大小. 如果&減小, 則地基板變形速率增大, 達到最終撓度的時間大大縮短.為了研究分數(shù)導數(shù)型K elv i n 模型中分數(shù)階! 的影響, 保持其它參數(shù)不變化, 將! 的取值依次設為0, 0. 1, , 1. 0, 相應的計算結果見圖7. 可以看到, ! 的取值大小對地基板撓曲隨時間發(fā)展的形態(tài)有較大的影響. 當! =0時, 加荷瞬時地基板即發(fā)生永久變形. 當! 取較小值時, 地基板的瞬時變形明顯, 粘性相對削弱. 在t =150d 時, 根據(jù)不同的! 值算出, .276 應用基礎 與工程科學

8、學報 V o.l 19 根據(jù)圖 7中各曲線匯交的特征點, 可以把地基板的變形分為 2個階段: 在第 階段, 隨著 !的減小, 地基板撓度值增大; 在第 +階段, 隨著 !的減小, 地基板撓度值減小. 由圖 7可 知, 經典 Kelv in 模型 ( != 1 圖 7中虛線 表現(xiàn)出較小的初期變形和迅速收斂的后期變形, , 基于該模型進行地基板分析可能會得出與實際情況有較大偏差的結果. 與此相比, 分數(shù)導 數(shù)型 Ke lv in模型雖然只多了 1個模型參數(shù), 但由此得到的地基板撓曲隨時間的變化曲線 具備了較好的適應性. 同時, 用該模型模擬的地基板變形隨時間的發(fā)展要平穩(wěn)得多, 可以 用于描述地基基

9、礎中長期作用的非線性粘彈性效應. 4 結語 從以上分析與計算可以得出以下結論: ( 1 本文通過拉普拉斯變換, 導出了分數(shù)導數(shù)型 Kelv in 粘彈性地基上矩形板的解答. 該解法可推廣到分數(shù)導數(shù)型粘彈性地基上其它形式的梁、 板和殼等問題; ( 2 與經典粘彈性模型相比, 分數(shù)導數(shù)型模型能更好反映變形速率的非線性漸變過 程, 具有更好的適用性, 能夠比較真實地描述粘彈性地基上薄板變形的長期發(fā)展特性; ( 3 為了更好地預測粘彈性地基上薄板的長期變形, 可以通過改變分數(shù)導數(shù)型 Ke lv in 模型中分數(shù)階和粘滯系數(shù)的取值, 對現(xiàn)場的實測數(shù)據(jù)進行曲線擬合, 充分發(fā)揮分數(shù)導數(shù)型 模型具有的適用性強

10、的特點. 需要說明的是, 本文僅就分數(shù)導數(shù)型模型的參數(shù)進行了初步分析, 在實際工程中應該 總結針對各種的地基土類型的模型參數(shù)變化規(guī)律, 確定相應的取值范圍, 這還有待于進一 步的研究. 參考文獻 1 陳曉平, 朱 鴻 鵠, 張芳 枝, 等. 軟 土 變 形 時效 特 性 的 試 驗研 究 J . 巖 石 力 學與 工 程 學 報, 2005 24 ( 12 : , 2142 2147 . Chen X iaop ing, Zhu H onghu Zhang Fangzh , et a. Experi en tal study on ti e depend ent defor at ion of

11、 soft soil J . , i l m m m Ch inese Journal of R ock M echan ics and Eng ineering, 2005 24( 12 : 2142 2147 , 2 Zam an M, TaheriM R, A lvapp il lal A. D ynam ic response of a th ick p late on viscoelast ic foundation tom oving loads J . No 2 . 朱鴻鵠等: 分數(shù)導數(shù)型粘彈性地基上矩形板的受荷響應 International Jou rnal for N um

12、 erical A nalys is and M ethod in G eom echn ics 1991, 15 627 647 , : 277 3 祝彥知, 薛保亮, 王廣國. 粘彈性地基上粘彈性地基板的自由振動解析 J . 巖石力學與工程學報, 2002, 21 ( 1 : 112 118 Zhu Y anzh,i X ue B aoliang, W ang G uangguo. Free vibrat ion analys is of v iscoelast ic found tion p late on v iscoelast ic foundation J . Ch inese J

13、ournal of R ock M echan ics and Eng ineering, 2002 21( 1 : 112 118 , 4 何芳社, 鐘光珞. 粘彈性地基上矩形板的準靜態(tài)彎曲 J . 西安建筑科技大 學學報 ( 自然科 學版 , 2004 36 ( 3 : , 353 359 H e Fangshe Zhong Gu angluo. Q uasistat ic bend ing of rectangular p lates on m erchan t viscoelast ic foundations J . X i an , , U n ivers ity of A rch

14、itecture and Technology( N atu ral Science Ed ition , 2004, 36( 3 : 353 359 5 蔣建群, 周華飛, 張土喬. 移動荷載下 K elv in地基上無限大板的穩(wěn)態(tài)響應 J . 浙江大學學報 ( 工學版 , 2005, 39 ( 1 : 27 32 Jiang J ianqun Zhou H uafe, Zhang Tuqiao. S teady state response of inf in ite p late on K elv in foundat ion sub jected to , i m ov ing loa

15、ds J . Journal of Zhejiang U n iversity( E ngineering S cien ce , 2005, 39( 1 : 27 32 6 7 8 Sun L. D yn am ic response of k irchhoff p late on a v iscoelastic foundation to har mon ic circu lar loads J . Journa l of A pp lied M ech an ics 2003 70 ( 4 : 595 600 , , G em ant A. A m ethod of analyz ing

16、 experi ental resu lts ob tained from elasto viscou s bod ies J . Journal of A ppl ied m Phys ics 1936 7 311 317 , , : 劉林超, 張 衛(wèi). 具有分數(shù) K elv in模型 的粘彈性 巖體中水 平圓形硐 室的變 形特性 J . 巖 土力學, 2005 26 ( 2 : , 287 289 L iu L inchao Zhang W e.i D efor ation propert ies of horizontal round ad its in viscoelastic roc

17、k s w ith fract ional K elvin , m m odel J . R ock and Soil M echan ics 2005, 26 ( 2 : 287 289 , 9 孫海忠, 張 衛(wèi). 一種分析軟土黏彈性的分數(shù)導數(shù)開爾文模型 J . 巖土力學, 2007 28 ( 9 : 1983 1986 , Sun H aizhong, Zhang W e. A nalys is of soft so il w ith viscoelast ic fractional derivat ive K elvin m odel J . R ock and S oil i M ec

18、han ics 2007, 28( 9 : 1983 1986 , 10 殷德順, 任俊娟, 和成亮, 等. 一種新的巖土流變模型元件 J . 巖石力學與工程學報, 2007 26( 9 : 1899 1903 , Y in D eshun R en Jun ju an H eC hengliang, et a.l A n ew rh eologicalm odel elem ent for geom aterialsl J . Ch inese Jou rnal , , of R ock M echan ics and Eng ineering, 2007 26( 9 : 1899 1903

19、 , 11 劉林超, 楊 驍. 豎向集中力作用下分數(shù)導數(shù)型半無限體粘彈性地基變形分析 J. 工程力學, 2009, 26( 1 : 13 17 L iu L inchao, Y ang X iao. A nalys is on sett lem en t of sem i inf in ite viscoelas tic ground b ased on fract ion al d erivative model J . E ngineering M echanics 2009, 26 ( 1 : 13 17 , 12 劉林超, 楊 驍. 基于分數(shù)導數(shù)模型的粘彈性樁振動分析 J . 應用基礎

20、與工程學報, 2009, 17 ( 2 : 303 308 L iu L inchao, Y ang X iao. D ynam ic analys is of viscoelast ic p iles based on fract ional derivat ivem odel J. Jou rnal of Bas ic S cience and Eng ineering, 2009 17( 2 : 303 308 , 13 14 15 16 D ikm en . M odeling of seis ic w ave at tenuat ion in so il structu res u

21、sing fract ional derivative schem e J . Jou rnal of m Balkan G eophys ics Society, 2005, 8( 4 : 175 188 Padovan J C om pu tational algorithm s for FE for lations involving fract ion al op erators J . Com putat ional M ech an ics . mu , 1987 2( 4 : 271 287 , M illerK S, R oss B. A n in trodu ct ion t

22、o th e fractional ca lcu lus and fractional d ifferent ial equ at ion s M . W iley 1993 , W elch S W J R orrerR A L, D uren R G. A pp licat ion of t i e based fractional calcu lus m ethods to viscoelast ic creep and , m stress relaxation of m aterials J . M echan ics of T i e D ependent M aterials 1

23、999, 3 ( 3 : 279 303 m , 278 應用基礎 與工程科學學報 V o.l 19 R esponse of a Loaded R ectangular Plate on Fractional Derivative V iscoelastic Foundation ZHU H onghu , 1 L IU L in chao , 2 YE X ia ow ei 2 ( 1 S chool of Earth Sciences and Engineering, N an jing U n iversity, N an jing 210093, Ch in a 2. C olleg

24、e of C ivil . ; Eng ineering, X inyangN or al U n iversity X inyang 464000 Ch ina; 3. D epartm ent of C ivi l and Stru ctural Engineering, Th e m , , H ong K ong Polytechn icU n ivers ity, H ong K ong, Ch ina Abstract Defor a tio n of a loaded p late on so il foundation w ill nor ally exhib it consi

25、derab le t i e m m m dependent behav iour In th is paper a fractional deriv at iv e K elv in m ode l is proposed to study the . , quasi static prob lem of a rectangular plate rested on a viscoe last ic foundation wh ich is , subjected to unifor d istribu ted loads. According to the correspondence princ ip le o f elastic ity m and v isco