數(shù)量積與向量積

1、數(shù)量積與向量積、兩向量的數(shù)量積1、數(shù)量積的物理背景：設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M移動到點(diǎn)M以s表示位移M1M2由物理學(xué)知道，力F所作的功為W|F|s|cos其中為F與s的夾角2、數(shù)量積對于兩個向量a和b,它們的模 |a|、|b|及它們的夾角的余弦的乘積稱為向量 a和b的數(shù)量積，記作a b,即ab|a|b|cos3、數(shù)量積與投影當(dāng)a 。時，| b| cos( a, b)是向量人由于|b|cos|b|cos(a,b),b在向量a的方向上的投影，于是a,b|a|Prjab同理，當(dāng)b0時，a-b|b|Prjba4、數(shù)量積的性質(zhì)(1) a-a|a|2(2) 對于兩個非零向量a、b,如果a-b0,則

2、ab;反之，如果ab,則ab0如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直5、數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律a-bb-a;(2)分配律(ab)cacbc(a)ba(b)(ab),(a) ( b)(a - b),、為數(shù)例1試用向量證明三角形的余弦定理6、數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),貝Uabaxbxaybyabz7、兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示設(shè)（a,Ab）,則當(dāng)a0、b0時，有cosaxbxaybyazbz2ay硒byb21,2),求 AMB例2已知三點(diǎn)M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,解從M到A的向量記為a,從M到B的向量記為b,則AMB就是向量a與b的夾角a1,1

3、,0,b1,0,1因?yàn)閍b1110011,|a|,121202.2,|b|,120212.2所以cos AMB|a|b| .2 .2 2從而AMB 3例3設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個區(qū)域液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量v設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖7-25（a）,計算單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P（液體的密度為p）二、兩向量的向量積1、向量積設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出c的模|c|a|b|sin,其中為a與b間的夾角；c的方向垂直于a與b所決定的平面，c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定那么，向量c叫做向量a與b的向量積，記作ab,即根據(jù)向量積的定義，力矩

4、M等于OP與F的向量積，即MOPF2、向量積的性質(zhì)(2)對于兩個非零向量a、b,如果ab0,則a/b反之，如果a/b,如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行則a/3、向量積的運(yùn)算律交換律ab(2)分配律(ab)(a)bb)(ab)為數(shù))4、向量積的坐標(biāo)表不axiayjazk,byjbzk(axiayjazk)byjbzk)axbxiiaxbyijaxabxjaybyjayazbxkazbykOzbzkk(aybazby)i(axbz)jaybx)k為了邦助記憶，利用三階行列式符號上式可寫成axaybxbyaybz設(shè)a(2,1,1),aybziazbxjaxbykaybxkaxhjazbyi2iby)(

5、1,已知三角形ABC勺頂點(diǎn)分別是三角形ABC勺面積解根據(jù)向量積的定義，由于AB(2,2,2),azbxaxbz)j(axbyaybx)k1,2),2kkA(1,計算ab4j2,ii5j3)、B(3,可知三角形ABC勺面積_1_1_Sabc1|AB|AC|sinA-1|ABAC|AC(1,2,4),因此ABAC3k4,5)、C(2,4,7),4i6j2kSabc2|4i6j2k|2.,42(6)222.14例6設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn)，計算剛體上一點(diǎn)M的線速度解剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時，我們可以用在l軸上的一個向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則定出即以右手握住l軸，當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時，大姆指的指向就是的方向設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a,再在l軸上任取一點(diǎn)O乍向量rOM,并以表示與r的夾角，那么a|r|sin設(shè)線速度為v,那么由物