第三節(jié)__三重積分計(jì)算(2)

1、第三節(jié)第三節(jié) 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算一、三重積分的定義一、三重積分的定義二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域 上的有界上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域函數(shù)，將閉區(qū)域 任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1V ，2V , ,nV ，其中，其中iV 表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積表示它的體積, ,在每個(gè)在每個(gè)iV 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 作乘積作乘積iiiiVf ),(，), 2 , 1

2、(ni ， 并作和， 并作和, , 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上的上的三重積分三重積分，記為，記為 Vzyxfd),(, , 一、三重積分的定義一、三重積分的定義即即 Vzyxfd),(iiiniivf ),(lim10 . .d叫叫做做體體積積元元素素其其中中 V, 的平面來(lái)劃分的平面來(lái)劃分用平行于坐標(biāo)面用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果在直角坐標(biāo)系中，如果.lkjizyxV 則則三三重重積積分分記記為為 zyxzyxfddd),

3、(iiiniivf ),(lim10 . .ddd積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的體體其其中中zyx(1) 三重積分的存在性：三重積分的存在性：當(dāng)當(dāng)),(zyxf在在 閉閉 區(qū)區(qū) 域域 上上 連連 續(xù)續(xù) 時(shí)時(shí) ， 則則),(zyxf在在 上上的的三三重重積積分分一一定定存存在在. (2) 三重積分沒(méi)有幾何意義，但有物理意義三重積分沒(méi)有幾何意義，但有物理意義. 設(shè)設(shè)),(zyxf表示表示某某物體物體在在點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處的處的體體密密度度， 是是該物體該物體所所占有占有的的空間空間區(qū)域區(qū)域， ),(zyxf在在 上連續(xù)，上連續(xù)，則則該該物體物體的質(zhì)量的質(zhì)量 M 為為： Vzyxf

4、Md),(性質(zhì)性質(zhì) (線性性質(zhì)線性性質(zhì)) Vzyxgzyxfd),(),(性質(zhì)性質(zhì)2 (對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性)21 設(shè)設(shè) VzyxgVzyxfd),(d),( 21d),(d),(d),( VzyxfVzyxfVzyxf性質(zhì)性質(zhì)3.d1 VV性質(zhì)性質(zhì)4, 0),( zyxf. 0d),( Vzyxf則有則有若在若在D上有上有(3) 絕對(duì)可積性絕對(duì)可積性.d| ),(|d),( VzyxfVzyxf若在若在D上有上有),(),(zyxgzyxf .d),(d),( VzyxgVzyxf則有則有(2) (2) 單調(diào)性單調(diào)性(1) (1) 正性正性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉

5、區(qū)域 上連續(xù)，上連續(xù)，V為為 的面積，則在的面積，則在 上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)),( 使得使得 性質(zhì)性質(zhì)5（三重積分中值定理）（三重積分中值定理）VfVzyxf ),(d),( .d),(1lim,),(,),( ,),(30000000 rVzyxfrrzyxzyxzyxfrr 試求極限試求極限為半徑的閉球體為半徑的閉球體心以心以為中為中是以是以的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)是是上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)例例直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分1、坐標(biāo)面投影法、坐標(biāo)面投影法xyzo D1z2z2S1S),(

6、1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,xyDxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)xyDyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zz),( , ),(),(| ),(21xyDyxyxzzyxzzyx 函函數(shù)數(shù)，則則的的只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF上的二重積分上的二重積分在閉區(qū)間在閉區(qū)間計(jì)算計(jì)算xyDyxF),(.dd),(d),(),(),(21 Dyxzyx

7、zDzzyxfyxF , )()(| ),(21bxaxyyxyyxD 得得 Vzyxfd),(.d),(dd)()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzzzyxfyx注意注意于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)情情形形相相交交不不多多的的邊邊界界曲曲面面直直線線與與閉閉區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部的的軸軸且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域這這是是平平行行于于Sz 這種方法稱為坐標(biāo)面投影法這種方法稱為坐標(biāo)面投影法. .型型空空間間區(qū)區(qū)域域稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域xy ),( , ),(),(| ),(21xyDyxyxzzyxzzyx 例例 1 1 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中積分區(qū)域次積分

8、，其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域 , 1:22 yxDxy.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI),( ,22| ),(222xyDyxxzyxzyx 故故 ：11,11| ),(22 xxyxyxDxy例例2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為由曲面為由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所圍所圍成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域. 1101222),(yxxdzzyxf

9、dydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，),( , ),(),(| ),(21yzDzyzyxxzyxzyx :,yzDyozSx平平面面得得投投影影區(qū)區(qū)域域投投影影到到把把相相交交不不多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊界界曲曲面面與與內(nèi)內(nèi)部部的的直直線線軸軸且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域若若平平行行于于 .型型空空間間區(qū)區(qū)域域稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域yz Vzyxfd),(.dd),(),(),(21 yzDzyxzyxxzyxf ),( , ),(),(| ),(21zxDxzxzyyxzyzyx :,zxDzoxSy平平面面得得投投影影區(qū)區(qū)域域投投影影到到把把相相交交不不多多于于

10、兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊界界曲曲面面與與內(nèi)內(nèi)部部的的直直線線軸軸且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域若若平平行行于于 .型型空空間間區(qū)區(qū)域域稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域zx Vzyxfd),(.dd),(),(),(21 zxDxzyxzyyzyxf 例例 3 3 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲面由曲面221zxy ，122 zx，1 y所所圍成圍成. 先先對(duì)對(duì)y積積分分， 再再求求zxD上上二二重重積積分分, 解解如圖如圖, 11222ddd1zxDyyzxxzx原原式式dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxx

11、x.4528 2、坐標(biāo)軸投影法、坐標(biāo)軸投影法(截面法截面法) , ,qpz 軸軸作作投投影影得得投投影影區(qū)區(qū)間間向向?qū)⒖湛臻g間區(qū)區(qū)域域 ,), 0 , 0(,所所得得的的平平面面區(qū)區(qū)域域面面的的平平面面截截于于且且平平行行表表示示過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)用用時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xoyzDqzpz :可表示為可表示為若若 ,),( | ),(qzpDyxzyxz .型型空空間間區(qū)區(qū)域域稱稱為為則則閉閉區(qū)區(qū)域域z .,型區(qū)域型區(qū)域型區(qū)域與型區(qū)域與可定義可定義類似地類似地yx(1) 把把積積分分區(qū)區(qū)域域 向向某某軸軸（例例如如 z軸軸）投投影影，得得投投影影區(qū)區(qū)間間 ,qp； (3) 計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分 zDyxzy

12、xfdd),( 其其結(jié)結(jié)果果為為 z的的函函數(shù)數(shù))(zF； (2) 對(duì)對(duì),qpz 用用過(guò)過(guò)z軸軸且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD; (4) 最最后后計(jì)計(jì)算算單單積積分分 qpzzFd)(即即得得三三重重積積分分值值. 坐標(biāo)軸投影法坐標(biāo)軸投影法(截面法截面法)的一般步驟的一般步驟: zpq例例 4 4 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 zyxzddd，其其中中 為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解（一一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)

13、1(21dzzz241 .xozy111解解（二二）xozy111 zdxdydz,10 zDdxdyzdz zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .例例 5 5 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由橢橢球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),

14、(yxDz 1222222czbyax 原式原式法：法：下列情形可考慮用截面下列情形可考慮用截面;,)1型型的的恰恰是是型型的的不不是是積積分分區(qū)區(qū)域域zxy .dd),(,)2易易于于計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)或或的的函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)表表達(dá)達(dá)為為的的面面積積容容易易且且無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)被被積積函函數(shù)數(shù)與與 zDzyxzyxfzDxy例例 6 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中 是是曲曲線線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的曲曲面面與與平平面面8 z所所圍圍的的立立體體. 解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)得得， 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面方方程程為為 ,222zyx

15、.,2,22故故可可用用截截面面法法計(jì)計(jì)算算圓圓域域截截面面為為軸軸的的平平面面去去截截它它用用垂垂直直于于zyxz 80222dd )(d22yxyxzIzyx80,),( | ),( zDyxzyxz 2| ),(22zyxyxDz 其其中中 zz2028020ddd 802d4412zz 3823 .31024 3、利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算、利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性的奇偶性則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為

16、為面對(duì)稱的有界閉區(qū)域面對(duì)稱的有界閉區(qū)域中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(,3 zyxfxoyR.1面上方的部分面上方的部分在在為為其中其中xoy ;0d),(,),(Vzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng)z 1d),(d),(,),( VzyxfVzyxfzyxf為為偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng)z2例例 6 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域1| ),(222 zyxzyx. 解解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 01)1ln(222222

17、dxdydzzyxzyxz例例7 7. 1:d222 zyxVez ，計(jì)計(jì)算算 解解法法，故故采采用用先先二二后后一一為為圓圓域域的的函函數(shù)數(shù)，截截面面被被積積函函數(shù)數(shù)僅僅為為2221)(zyxzDz 上上 VeVezzd2d 10)(ddd2zeyxzzD 102d)1(2zezz .2 ,0 ,20 . z三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),( P .,si

18、n,coszzyx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),( P zxyzo zyxzyxfddd),(.ddd),sin,cos( zzf d xyzozd d d如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,ddddzV 坐坐標(biāo)標(biāo)：下下列列情情形形可可考考慮慮用用柱柱面面;)1是是圓圓域域或或圓圓域域的的一一部部分分的的投投影影區(qū)區(qū)域域D ;)3旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面的的邊邊界界曲曲面面為為圓圓柱柱面面或或 .)(,)(,

19、)(,)()22222等等被被積積函函數(shù)數(shù)為為xyfxyfyxfyxf 的的次次序序進(jìn)進(jìn)行行積積分分一一般般按按 , z例例 1 計(jì)算計(jì)算 zyxyxIddd22，其中，其中 由由 22yxz 與與1 z 所圍的立體所圍的立體. 例例 2 計(jì)算計(jì)算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體. 解解由由 .,sin,coszzyx zz34222 , 3, 1 z知交線為知交線為 23242030ddd zzI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)區(qū)域域xoy .20, 3043:22 ，z例例3.d),(dd0

20、02202坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的三三次次積積分分化化為為柱柱面面將將 xxxzzyxfyx例例 4 計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是曲線是曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與兩平面的曲面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體. 解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 z :1D,1622 yx,824020:21 z 所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(212222

21、21 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821dddDzfI ,345 22222dddDzfI ,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022 dzdd 22202022ddd z解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 5 5 計(jì)計(jì)算算 dxdydzzyx2)(其其中中 是是由由拋拋物物面面 22yxz 和和球球面面2222 zyx所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對(duì)對(duì)稱稱, 0d)(Vyzxy, 同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)于關(guān)于yoz

22、面對(duì)稱面對(duì)稱, 0d Vxz由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知 VyVxdd22, 則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下：,20 , 10 ,222 z, 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xyD： 2222222010d)cos2(dd zzI).89290(60 注：注：.此題不宜采用球面坐標(biāo)此題不宜采用球面坐標(biāo)四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來(lái)看自軸來(lái)看自為從正為

23、從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來(lái)確定，其中來(lái)確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(SrM yz x0r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面S動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , )球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面 r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面S半平面半平面P動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , )M yz x0 =常數(shù)常數(shù):錐面錐面C.,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為為常常數(shù)數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別

24、為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxM r zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點(diǎn)點(diǎn)，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 r drd rsin xz y0圓錐面圓錐面 rd 球面r圓錐面圓錐面 +d 球面球面r+d r元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d

25、球面坐標(biāo)下的體積元素r drd xz y0 d rd 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：rsin d 球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素.半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d dVdV = .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf zyxzyxfddd),( .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,dddsind2 rrV drxyzodr dsinr r

26、d d d sinr如圖，如圖，坐標(biāo)：坐標(biāo)：下列情形可考慮用球面下列情形可考慮用球面的立體；的立體；由球面，圓錐面所圍成由球面，圓錐面所圍成積分區(qū)域積分區(qū)域 )1.,的的次次序序進(jìn)進(jìn)行行積積分分一一般般按按 r).()2222zyxf 被被積積函函數(shù)數(shù)為為例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體. 解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar zyxyxIddd)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51si

27、n255403 .105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo) ,:222ayxD zyxyxIddd)(22 arazddd2020 aa03d)(2 54254aaa .105a 222zyx , z,20,0,: aaz例例 2 2 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積. 解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采用球面坐標(biāo)，采用球面坐標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, a202020drsinrddV4 403d3)a2(sin2.)12(

28、343a 另另解解：采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)例例3.d),(dd2222222222222次積分次積分化為球面坐標(biāo)系下的三化為球面坐標(biāo)系下的三將將 yxayxxaxaaazzyxfyx.)(lim,d)()(,)(302222222ttFtzyxVzyxftFuft 求求：其其中中連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè) 例例4例例5. )(,d)()(,)(2222222tFtzyxVzyxftFuf 求求：其其中中連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè) rR 對(duì)對(duì)r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)任取球體內(nèi)一點(diǎn).z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 例例zy

29、xzyxfIddd ),( 求求0 xz y0 xz yMr R對(duì)對(duì) : 從從0 積分，積分，.例例zyxzyxfIddd ),( 求求2.z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 對(duì)對(duì)r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)任取球體內(nèi)一點(diǎn) R對(duì)對(duì) : 從從0 積分，掃遍球體積分，掃遍球體 .例例zyxzyxfIddd ),( 求求2得錐面得錐面.z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 0 xz y對(duì)對(duì)r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)

30、任取球體內(nèi)一點(diǎn)對(duì)對(duì) : 從從0 積分，積分，20 xz yR . 0I=V當(dāng)當(dāng) f =1,.例例zyxzyxfIddd ),( 求求rrrrrfIRdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020 .z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 對(duì)對(duì)r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)任取球體內(nèi)一點(diǎn)得錐面得錐面對(duì)對(duì) : 從從0 積分，積分，2對(duì)對(duì) : 從從0 積分，掃遍球體積分，掃遍球體2.ddd ),(的的三三次次積積分分化化為為球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下例例、將將zyxzyxfI 1. 為全球體為全球體

31、2222Rzyx rrrFIRdsin),(dd02 02 0 2. 為上半球體為上半球體.0,2222 zRzyxrrrFIRdsin),(dd022 02 0 3. 為下半球體為下半球體.0,2222 zRzyxrrrFIRdsin),(dd02 22 0 5. 為球體的第一、二卦限部分為球體的第一、二卦限部分rrrFIRdsin),(dd022 0 0 6. 為空心球體為空心球體.22222Rzyxa rrrFIRadsin),(dd2 02 0 4. 為右半球體為右半球體rrrFIRdsin),(dd02 0 0 三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐

32、標(biāo)系下的體積元素zyxVdddd （計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）五、小結(jié)（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dzzyx ddddd （2） 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素（3） 對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) dddsinddd2rrzyx 思考題思考題 為為六六個(gè)個(gè)平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次次積積分分_ dvzyxf),(.選擇題選擇題:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一一、 填填空空題題: :1 1、 若若 由由曲曲面面22yxz 及及平平面面1 z所所圍圍成成, , 則則三三重重積積分分 dxdydzzyxf),(化化為為三三次次積積分分是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 若若 是