復變函數(shù)與積分變換經(jīng)典—復變函數(shù)ppt課件

1、x xy yz zS SN NP P復變函數(shù)與積分變換復變函數(shù)與積分變換第四章第四章 級數(shù)級數(shù)1. 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)2. 冪級數(shù)冪級數(shù)3. 泰勒泰勒級數(shù)級數(shù)4. 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)5. 第四章小結與習題第四章小結與習題0zRr2R.z1K2K1R. 1R2R.0z第四節(jié)第四節(jié) 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)問題的引入問題的引入1洛朗級數(shù)的概念洛朗級數(shù)的概念2小結與思考小結與思考5典型例題典型例題4函數(shù)的洛朗展開式函數(shù)的洛朗展開式3 . , )( 00的冪級數(shù)的冪級數(shù)是否能表示為是否能表示為不解析不解析在在如果如果zzzzf 一、問題的引入一、問題的引入問題問題:nnnzzc)(. 10 雙雙邊邊冪冪級級數(shù)

2、數(shù)負冪項部分負冪項部分正冪項部分正冪項部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時收斂同時收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑收收斂斂時時,R 101RRzz 收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑2R20Rzz 收斂域收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201RzzR R結論結論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓圓環(huán)環(huán)域域1R2R.0z常

3、見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z:10 內(nèi)內(nèi)在在圓圓環(huán)環(huán)域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是解析的內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2. 問題問題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級數(shù)成級數(shù)?,111zz 所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z內(nèi)可以展開成級數(shù)內(nèi)可以展開成級數(shù).內(nèi)內(nèi)，在在圓圓環(huán)環(huán)域域110 z也可以展開成級數(shù)：也可以展開成

4、級數(shù)：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz二、洛朗級數(shù)的概念二、洛朗級數(shù)的概念定理定理內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設設 )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其其中中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)在在那那末末Dzf )( d21d21)(12 KKzfizfizf證證)()(1100zzzz 因因為為對于第一個積分對于第一個

5、積分: 00001nnzzzz 111100000zzzzzzzz 0zRr2R.z1K2K1R. ,)()(0100 nnnzzz nnnzzc)(00 d)(212 Kzfi所所以以對于第二個積分對于第二個積分: d)(211 Kzfi)()(11 00zzzz 因因為為 100zzz nnKnzzzfi)(d)()(2100102 000111zzzzz 1010)()(nnnzzz ,)()(10110nnnzzz d)(211 Kzfi則則其中其中 )(zRN d)()()(211010 KNnnnzzfzi)()(d)()(21011101zRzzzfiNnNnKn 下面證明下面證

6、明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令. 10, q無無關關與與積積分分變變量量 )()( 的連續(xù)性決定的連續(xù)性決定由由因為因為又又zfMf szzzzfzRKNnnNd)(21)(1000 rqrMnNn 221.1qMqN ,)(01nnnzzc . 0)(lim zRNN所所以以 d)(21 1 Kzfi于于是是nnKnzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 KKzfizfizf那么那么nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc ), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 如果如

7、果C為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡單的任何一條正向簡單0znncc 與與閉曲線閉曲線 . 那么那么可用一個式子表示為可用一個式子表示為: 證畢證畢 nnnzzczf)()(0 說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù)級數(shù). 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，冪項的級數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一

8、般方法的一般方法. .三、函數(shù)的洛朗展開式三、函數(shù)的洛朗展開式常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 缺點缺點: 計算往往很麻煩計算往往很麻煩.根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性，可根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性，可用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開 .優(yōu)點優(yōu)點 : 簡捷簡捷 , 快速快速 .2. 間接展開法間接展開法四、典型例題四、典型例題例例1

9、1, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)將將zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzC , 3 時時當當 n0 nc, 2在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析zez故由柯西故由柯西古薩基本定理知古薩基本定理知:, 2 時時當當 n由高階導數(shù)公式知由高階導數(shù)公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 Cnneic另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzz

10、zez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負冪項的奇點既是各負冪項的奇點,. 2的的奇奇點點也也是是函函數(shù)數(shù)zez例例2 2 : )2)(1(1)( 在在圓圓環(huán)環(huán)域域函函數(shù)數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處處解析的內(nèi)是處處解析的,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解解,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 zoxy1,1 z由于由于 nzzzz2111則則2112121zz )( zf所所以以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z從而

11、從而 nnzzz22212122 , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122)( zf于于是是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn, 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z2oxy2 z由由12 z此時此時zzz211121 24211zzz, 121 zz此時此時仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz注意注意:0 z奇點但卻不是函數(shù)奇點但卻不是函數(shù))2)(1(1)( zzzf的

12、奇點的奇點 .本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心是各負冪項的是各負冪項的說明說明:1. 函數(shù)函數(shù))(zf在以在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有數(shù)中盡管含有0zz 的負冪項的負冪項, 而且而且0z又是這些又是這些項的奇點項的奇點, 但是但是0z可能是函數(shù)可能是函數(shù))(zf的奇點的奇點,也可能也可能)(zf的奇點的奇點.不是不是2. 給定了函數(shù)給定了函數(shù))(zf與復平面內(nèi)的一點與復平面內(nèi)的一點0z以后以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式式 (包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例).回答：不矛盾回

13、答：不矛盾 .朗展開式是唯一的朗展開式是唯一的)問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛. 0 sin 0洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成的去心鄰域內(nèi)展開成在在將函數(shù)將函數(shù) zzz解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3 3 )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn例例4 4. 2 )2( 01展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在將將函函數(shù)數(shù) zzz解解 , 220 內(nèi)內(nèi)在在 z ) 2(1)(zzzf

14、22112121zz 011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz例例5 5: )1)(2(52)( 22在以下圓環(huán)域在以下圓環(huán)域求求 zzzzzf內(nèi)的洛朗展開式內(nèi)的洛朗展開式. ; 21 )1( z520)2( z解解 1221)(2 zzzf, 21 )1時時當當 z 221121221)(zzzzf 22111221121zzznnnnnzzz 20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnnzz, 520 )2內(nèi)內(nèi)在在 z1221)(2 zzzf iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz iziiziiz221)2(1221)2(121 0022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110 nnnnnnziiiz 110)2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz五、小結與思考五、小結與思考 在這節(jié)課中，我們學習了洛朗展開定理和函在這節(jié)課中，我們學習了洛朗展開定理和函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法. . 將函數(shù)展開成洛朗級將函數(shù)展開成洛朗級數(shù)是本節(jié)的重點和難點數(shù)是本節(jié)的重點和難點.