第八章-多元函數(shù)微分自測題及答案

1、第八章 多元函數(shù)微分學(xué)自測題及解答 一、選擇題1若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則( C) （A）必不存在； （B）必不存在； （C）在點(diǎn)必不可微；（D）、必不存在。2考慮二元函數(shù)的下面4 條性質(zhì)： 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)； 函數(shù)在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)； 函數(shù)在點(diǎn)處可微； 函數(shù)在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。 則下面結(jié)論正確的是（ A ） （A）；（B）；（C）； D）。3設(shè)函數(shù)，則在點(diǎn)處（ C ） （A）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在； （B）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在； （C）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在； （D）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。解：取，, 在點(diǎn)處不連續(xù)，而。故應(yīng)選（C）4設(shè)，則（ C ） （A）； （B）； （C）； （D）。5若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具

2、有二階偏導(dǎo)數(shù)：， 則（ D ） （A）必有； （B）在內(nèi)必連續(xù)； （C）在內(nèi)必可微； （D）以上結(jié)論都不對。6設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且，則（C） （A）； （B）曲面在點(diǎn)的法向量為； （C）曲線在點(diǎn)的切向量為； （D）曲線在點(diǎn)的切向量為。解：僅在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，因而在點(diǎn)不一定可微。故（A）不正確。 曲面在點(diǎn)的法向量為應(yīng)為，即，故（B）不對。 曲線在點(diǎn)的切向量為 ，故（C）正確?；蚯€可看作以x為參數(shù)的空間曲線，它在點(diǎn)的切向量為。7函數(shù)的極小值點(diǎn)是（B） （A）（0，0）； （B）（2，2）； （C）（0，2）； （D）（2，0）。解：，得駐點(diǎn)：（極大值點(diǎn)）；（非極值點(diǎn)）；（非極值點(diǎn)）；（極小值點(diǎn)

3、）。 8在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（B）（A）只有一條；（B）只有兩條；（C）至少有三條；（D）不存在。解：該曲線在任意一點(diǎn)的切向量，它與平面的法向量垂直，即，而每一個(gè)t對應(yīng)于曲線上一點(diǎn)，應(yīng)選（B）。二、填空題1，、具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則。解：， 。2設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則。解： 。3設(shè)函數(shù)由方程確定，其中連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則， .解法1：設(shè)，。解法2：方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)得，。方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)得，。解法3：，。4設(shè)，其中是由方程所確定的隱函數(shù)，則。解：設(shè)，則， ， 。5若函數(shù)可微，且，則當(dāng)時(shí)，.6函數(shù)在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值為.7.曲面點(diǎn)處的切平面方程為。解：設(shè)， 切平面方程為，即。

4、8.函數(shù)在點(diǎn)處沿A點(diǎn)指向點(diǎn)的方向?qū)?shù)為，在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值為，最小值為。解：， 。，。9曲線在點(diǎn)處的切線方程為， 法平面方程為。解：兩曲面在點(diǎn)的切平面的法向量為 ，切線的方向向量，切線方程為,法平面方程為，即。三、解答題1.討論函數(shù)在點(diǎn)（1）是否連續(xù)？（2）偏導(dǎo)是否存在？（3）是否可微？證：(1)由于即 可見在點(diǎn)處連續(xù);(2).（3）該極限與k有關(guān)，可見，即故在點(diǎn)處不可微. 2設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且由方程所確定，求。解法1：設(shè)，則 ， 故；。 而；， 。解法2：在兩邊全微分，得 ，故。由，得， 故。3設(shè)變換，可把方程化簡為(其中z有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，求常數(shù)。解：視，則，從而， 變換將化簡

5、為，有。4設(shè)函數(shù)由方程組確定，其中可微，且，求。解法1：， 對微分，得， ， ， 故。解法2：后兩個(gè)方程對，得，由(2)得，代入(1)得， 故。5.過曲線在第一象限部分中哪一點(diǎn)作的切線與原曲線及坐標(biāo)軸 之間所圍成的圖形面積最??？解：設(shè)切點(diǎn)為，這是長半軸為，短半軸為的橢圓。切線方程為，化為截距式：，設(shè)切線與原曲線及坐標(biāo)軸所圍成的面積為S，則 ，即。求條件極值問題：，令，代入(3)，得 ，得唯一駐點(diǎn)，函數(shù)S必有最小值，且S在定義域內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，在點(diǎn)處面積S有最小值。6求中心在原點(diǎn)的橢圓的長半軸與短半軸的長度。解：設(shè)為橢圓上的任一點(diǎn)，點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離，d的最大值即為長半軸a，d的最小值即為短半軸b。設(shè)，令由(1)得，代入(2)化簡得，.把，即，.把，即，.由于最值必存在，故長半軸，短半軸。7.求曲面的一張切平面，使其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之積為最大。解：曲面在第一卦限的點(diǎn)處的法向量為，切平面方程為，即， 切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為求條件極值問題：，設(shè)函數(shù)：，代入(4)得。函數(shù)A必有最大值，且在定義域內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，曲面在點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之積為最大，該切平面方程為。8當(dāng)時(shí),（1）求在球面上的最大值，（2）證明對任何正數(shù)，有.（1）解： 設(shè)，代入(4)得。根據(jù)實(shí)際問題