【蘇明強1】魅力數學：讓課堂煥發(fā)應有的味道

1、魅力數學：讓課堂煥發(fā)應有的味道泉州師范學院蘇明強摘要：數學是有魅力的，課堂也是有魅力的，魅力數學呼喚魅力 課堂，魅力課堂具有思想的味道、思維的味道和思考的味道，教師應 該學會從數學思想、數學推理和數學思考的角度，分析教材、設計教 學，讓數學煥發(fā)應有的魅力，讓課堂煥發(fā)應有的味道，讓生命煥發(fā)應 有的活力。關鍵詞：魅力數學；魅力課堂；教學主張；核心素養(yǎng)數學是什么？數學是研究數量關系和空間形式的科學，它是科學的語言和工具。數學是現實世界中數關系和空間形式的一種抽象，它依賴邏輯推理建構知識體系，在現實世界中有著廣泛的應用，因此， 數學具有一般性、嚴謹性和應用的廣泛性。數學知識蘊含著豐富的數學思想，數學學

2、習的歷程就是培養(yǎng)思 維、促進思考和啟迪智慧的過程，數學“冰冷”的外表蘊含著豐富的 內涵和獨特的“魅力”，當知識遺忘了、技能退化了，數學思想、思 維方式和思考方法依然在我們的學習、 生活和工作中發(fā)揮著不可替代 的重要作用，這就是數學的魅力之所在。魅力數學呼喚魅力課堂，那么，魅力課堂是什么味？筆者主張： 魅力課堂應該有思想的味道、思維的味道和思考的味道，魅力課堂煥 發(fā)生命的活力，成就學生的精彩，讓學生在數學學習歷程中，在掌握 知識技能的基礎上，感悟數學思想，積累思維經驗，啟發(fā)數學思考， 感受數學魅力，激發(fā)學習興趣，逐步學會用數學的眼光觀察事物，學會用數學的思維分析問題，學會用數學的語言表達思考，形

3、成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)。一、魅力課堂應該有思想的味道思想是數學的靈魂，數學思想是數學知識和方法在更高層次上的 抽象與概括，數學思想是課堂教學的精髓，它將在學生后續(xù)學習、未 來發(fā)展和社會生活中發(fā)揮著不可替代的重要作用。義務教育數學課程標準（2011年版）（以下簡稱“2011版課標”）在課程總目標中明 確提出“數學四基”的目標要求，強調數學教學應該讓學生獲得基礎 知識和基本技能的同時，感悟數學的基本思想，積累基本活動經驗， 因此，魅力課堂要有思想的味道。然而，如何才能讓課堂有思想的味道呢？第一， 教師要明確數學 思想有哪些？ 一般認為，數學知識的產生離不開抽象，數學知識的發(fā) 展離不開推理，數學知識的

4、應用離不開建模，因此，抽象思想、推理 思想和建模思想是數學的三類基本思想。抽象思想還包括集合思想、 分類思想、對應思想、符號表示思想、變中不變思想、極限思想等， 推理思想還包括歸納思想、演繹思想、轉化思想、類比思想等，建模 思想還包括簡化思想、量化思想、方程思想、函數思想、優(yōu)化思想、 隨機思想、統計思想等。第二，教師要明確數學思想在哪里？數學思 想不是游離于數學知識之外，它師蘊涵在數學知識之中，蘊涵在數學 知識的形成、發(fā)展和應用過程。第三，教師要學會從數學思想的角度 分析教材。數學知識是現實世界數量關系和空間形式抽象的結果，數 學知識的發(fā)展是推理的結果，數學知識的應用依賴的是建模，因此， 數學

5、知識的產生過程通常蘊涵著抽象思想， 數學知識的發(fā)展過程通常 蘊含著推理思想，數學知識的應用過程通常蘊涵著建模思想。下面，以分數的知識為例進行說明。分數的整體知識大致可以分 為分數的概念、分數的運算和分數的應用三個主要階段， 我們可以從 數學思想的角度去分析教材，深入挖掘分數知識深沉所蘊涵的數學思 想，為設計出富有思想味道的數學課奠定重要思想基礎。第一，分數概念的形成過程主要蘊含抽象思想。分數的概念主要 包括分數的定義、名稱、符號、大小、意義和性質等，當我們從抽象 思想的角度分析教學內容時，我們就能更好把握分數知識的本質， 分 數是一種數，從“量”的角度看，分數和自然數一樣，都是量的一種 抽象，

6、都是可以數的，分數單位是比“ 1”小的計數單位，是比“ 1” 小的量的一種抽象，一種分數單位的累加就產生了新的分數；從“關 系”的角度看，分數和自然數不同，分數是一個整體中“部分”與“整 體”之間的關系的一種抽象，這就是分數與自然數不同的意義。因此, 在分數概念的教學中，我們應該滲透抽象思想，讓數學課有思想的味 道，我們可以充分利用“數線”“圖形”等直觀圖，把“數”一一分 數的概念與“形”一一直觀圖形緊密結合起來，幫助學生理解分數的 定義、大小、意義和性質等，讓學生在理解的基礎上，掌握分數的概 念，同時感悟抽象思想中數形結合思想，感受數學的魅力，學會用數 學的眼光觀察世界，形成和發(fā)展數學核心素

7、養(yǎng)。第二，分數的運算主要蘊涵推理思想。分數的運算主要包括同分 母分數加減法、異分母分數加減法、分數乘法和分數除法等內容，同分母分數加減法的本質是計算分數單位的個數， 可以轉化為數分數單 位的累加，異分母分數加減法問題可以轉化成同分母分數加減法問 題，整數乘分數的本質是乘法的意義（即幾個幾），可以把整數乘分 數的問題轉化成同分母分數加法問題，分數除法運算問題可以轉化為 分數乘法運算的問題（除以一個數等于乘這個數的倒數）。因此，在分數四則運算的教學中，教師應該明確分數運算的本質和內在的聯 系，通過巧妙設計教學活動，融入推理思想，讓學生獲得運算技能的 基礎上，感悟推理思想中的轉化思想，感受數學的奇妙

8、，學會用數學 的思維分析問題，形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)。第三，分數的應用過程中主要蘊含建模思想。 分數的應用主要包 括分數概念的應用和分數運算的應用， 在分數概念的應用過程中，由 于分數可以表示“量”，因此，在分數概念的應用過程中常常蘊涵建 模思想中的量化思想，在分數運算的應用過程中，常常需要歸結為相 應的運算模型，加法模型、減法模型、乘法模型和除法模型，蘊含著 建模思想中的簡化思想和優(yōu)化思想等。因此，在分數應用的教學中， 教師應該通過巧妙設計教學活動，讓學生提高數學知識的應用技能和 解決問題能力的基礎上，感悟建模思想，感受數學的魅力，學會用數 學的語言解決問題，形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)。二、魅力

9、課堂應該有思維的味道思維是人腦對事物本質的反應，是探索和發(fā)現客觀事物內部本質 聯系與規(guī)律的一種高級認知過程。數學是思維的體操，思維是教學的 核心，推理是數學的基本思維方式，2011版課標在實施建議中明確指出：推理應貫穿于數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一 個長期的、循序漸進的過程，因此，魅力課堂應該有思維的味道。數學中的推理主要包括合情推理和演繹推理。 合情推理是從已有 的基本事實出發(fā)，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比的方式推斷結果 的一種思維過程，歸納推理和類比推理都是合情推理的重要方式，通過合情推理推斷的結果可能是對的，也可能是錯的，但是，借助合情 推理得到的結論，常常有新的發(fā)現，具

10、有創(chuàng)新性。比如，通過以下三 個等式的觀察：1+2=2+1, 2+3=3+2, 3+4=4+3,推斷出在加法運算中 交換兩個加數的位置和不變（加法交換律），這是合情推理的結果， 這個思維過程就是歸納推理，結論是正確的，如果在此基礎上推斷減 法、乘法和除法也滿足交換律，這也是合情推理的結果，這個思維過 程是類比推理，結論有的是正確的，有的是錯誤的，發(fā)現了新的運算 定律一一乘法交換律。演繹推理是從已有的基本事實出發(fā)，按照邏輯推理的法則推斷結 果的一種思維過程，演繹推理的價值主要在于保持了思維的嚴謹性和 一貫性，通過演繹推理推斷的結論是正確的，它能確保結論的正確性， 不是推理的內容，而是推理的形式，但

11、是，通過演繹推理不可能有新 的發(fā)現，缺乏創(chuàng)新性，這是演繹推理的特點。亞里士多德是主張研究 演繹推理的第一人，演繹推理的主要方式是三段論，包括大前提一一 已知的基本事實，小前提一一研究的特殊對象，結論一一根據已知的 基本事實對特殊對象做出推斷，比如，三角形內角和 180度，直角三 角形是三角形，由此推斷：直角三角形內角和也是180度，這個思維過程就是演繹推理，其結論正確無疑。歐幾里德將亞里士多德的三段 論演繹法用于構建數學知識體系，創(chuàng)立了歐幾里德幾何（歐氏幾何）， 這是一部演繹推理的經典著作，它從為數不多的5個公理出發(fā)，推導 出幾何學的眾多定理，創(chuàng)立了一個完整的幾何體系。正因為合情推理和演繹推理

12、 兩種不同的思維方式，功能不同，各 有特點，因此，在數學知識體系的形成或解決問題過程中，兩種推理 方式相輔相成，常常運用合情推理獲得猜想或探索思路， 再運用演繹 推理證明結論。數學知識主要包括由定義、性質、公式、法則、定律 和定理等，一般地，在小學數學中涉及到的性質、公式、法則、定律 等數學基本事實，都可以通過合情推理的思維方式得到相應的結論， 而這些數學結論的具體應用就是一個從一般結論到特殊對象的演繹 推理過程。那么，如何才能讓課堂有思維的味道呢？教師應該學會從數學推 理的角度分析教材、設計教學，比如，在分數基本性質一課的教 學中，教師可以通過三個相同的圓形卡片，分別平均分成 2份、4份 和

13、8份，分別涂出1份、2份和4份，然后讓學生觀察發(fā)現，涂色部 分一樣多，由此得出這三個分數一樣大 1=2=4,在這里傳統教學是2 4 8引導學生從左到右和從右到左分別進行觀察，概括出分數的基本性質，這樣的教學設計，推理的味道不夠。我們可以在得出= 4這2 4 8一基本事實的基礎上，分別寫出三個等式 =21=4 2 =4，讓學生觀 2 4 2 8 4 8察等式，通過歸納推理得到初步的猜想（分數的基本性質） ，再讓學 生進行舉例驗證，這樣就讓學生經歷了一個歸納推理的完整過程，這 樣的教學設計就有比較濃厚的推理的味道。再如，在平行四邊形面積一課的教學中，教材倡導運用演繹推理得出面積公式S=ah ,在公

14、式推導過程中僅用一個平行四邊形為例，用長方形面積公式做為已 有的基本事實，然后通過平行四邊形的“底”與轉化而成的長方形的“長”做比較，再用平行四邊形的“高”與轉化而成的長方形的“寬” 做比較，由此推斷平行四邊形的面積=底高，這是一個演繹推理的過 程。在這里，我們也可以從歸納推理的思維路徑設計教學，首先利用 透明的方格紙設計出三個不同的平行四邊形， 列出一張表格，讓學生 通過數方格和拼方格的方式數出相應平行四邊形的面積，把底、高和面積的數據分別填寫在表格相應的位置，再引導學生觀察這三組數 據，從中發(fā)現規(guī)律并獲得初步猜想：平行四邊形的面積與底和高的關 系，最后讓學生在方格紙中再找出一個平行四邊形進

15、行驗證，這樣， 就可以讓學生經歷一個觀察操作， 發(fā)現規(guī)律，獲得猜想和舉例驗證的 過程，這樣的教學設計就更有思維的味道， 有效培養(yǎng)了學生的合情推 理能力。因此，我們應該明確思維對于數學學習的重要價值， 銘記推理能 力的發(fā)展應貫穿數學教學的始終，培養(yǎng)學生的數學思維是數學教學的 重要任務。在教學中，學會從推理的角度分析教材，通過巧妙設計教 學活動，讓課堂更有思維的味道，讓學生經歷合情推理和演繹推理的 過程，不斷提高學生的數學思維能力。三、魅力課堂應該有思考的味道鄭毓信教授在數學教育視角下的“核心素養(yǎng)”一文中指出：從“數學核心素養(yǎng)”的角度提出判斷一堂數學課的成功與否的基本標準：無論教學中采取了什么樣的

16、教學方法或模式，應更加關注自己的教學是否真正促進了學生更為積極地去進行思考，并能逐步學會想得 更清晰、更全面、更深刻、更合理。與此相對照，這顯然又正是當前 應當努力糾正的一個現象，即學生一直在做，一直在算，一直在動手， 但就是不想！這樣的現象無論如何不應再繼續(xù)了！在這里，我們可以看出思考對于數學課的重要性和嚴峻性，也可以意識到當前數學課堂存在的普遍問題。數學思考是運用數學的方式 思考問題，它與問題解決共同構成數學課程的過程目標，2011年版課標強調數學教學應該結果目標和過程目標并重，同時指出：創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程 中，獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心，

17、因此，魅力課堂應該有思考 的味道。那么，如何才能更為有效啟發(fā)學生進行數學思考，讓課堂有思考 的味道呢？問題是數學的心臟，是驅動數學思考的重要載體，因此， 教學時，教師應該學會從問題的角度分析教材，梳理知識脈絡，重構 教學的邏輯路徑，從教學內容中提煉出一個核心問題， 設計一些富有 邏輯性或關聯性的問題串，以核心問題為統領，以問題串為線索，驅 動數學思考，引導學生由淺入深進行思考，獨立思考，學會思考，逐 步推進數學學習的進程，讓學生在問題解決過程中，掌握基礎知識， 獲得基本技能，經歷一個不斷思考的過程，并能逐步學會想得更清晰、 更全面、更深刻、更合理，感悟數學基本思想，積累思維活動經驗。F面，以分

18、數的初步認識一課為例進行說明，分數的初步認識是一節(jié)經典概念課，傳統概念課的教學，“聽講”的味道很濃，“思 考”的味道很淡，那么，如何讓數學概念課的教學有思考的味道？教 師應該學會從數學思考和問題解決的角度深入分析教材，提煉出一個核心問題，設計出一串富有啟發(fā)性和引導性的問題串， 通過精心設計 教學活動，讓概念的學習在問題解決中得以實現，潤物細無聲，讓課 堂活起來了，讓思考火起來！從本質上看，分數是一種數，分數的第一層含義是量的抽象結果， 它和自然數一樣表示事物的量，分數初步認識先認識分數單位，分數 單位是比1小的量的一種抽象，因此，我們可以讓學生在原有自然數 認識的基礎上，借組數線，先找到 0、1、2、3的“家”（位置），然 后讓學生觀察數線，并提出本節(jié)課的核心問題：0和1之間“有沒有” 其他數？這樣的問題顯得很神秘，富有啟發(fā)性，學生未曾想過，普遍 感到好奇，這樣不僅能夠有效驅動學生的思考， 而且可以引領分數概 念的學習。接著，設計一系列的問題串：如果有，那又是什么？它們 都住在哪里？分數的概念學習之后， 再次提出問題：