自動(dòng)化車床管理-數(shù)學(xué)建模

1、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練論文訓(xùn)練題目：自動(dòng)化車床管理目錄前言3摘要4關(guān)鍵詞:41 問題的提出52 問題的分析53模型的假設(shè)64 模型的建立與求解6問題一.6問題二7問題三85 模型的檢驗(yàn)與改正86 模型優(yōu)缺點(diǎn)9總結(jié)9參考文獻(xiàn)103 07500129 王芳玲10年春數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練前言隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已由傳統(tǒng)的工程技術(shù)領(lǐng)域擴(kuò)展?jié)B透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)許多領(lǐng)域，并形成了許多交叉科學(xué)，如數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、生物數(shù)學(xué)等。而應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，首要的和關(guān)鍵的一步就是建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，因此掌握數(shù)學(xué)建模方法也就顯得非常重要。計(jì)算機(jī)技術(shù)及數(shù)學(xué)軟件的飛速發(fā)展

2、和普及為數(shù)學(xué)模型的求解帶來了極大的方便，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更加廣泛和實(shí)際可行。一年一度的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已成為規(guī)模最大的大學(xué)生課外科技活動(dòng)。真正投入數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)和競賽的同學(xué)，在如何應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理實(shí)際問題與利用數(shù)學(xué)軟件求解方面肯定有不少收獲，在如何查找資料如何撰寫論文等方面也會(huì)得到鍛煉和提高，這對他們以后的學(xué)習(xí)和工作將是非常有益的。數(shù)學(xué)建模是一門內(nèi)容活潑、信息量大、涉及數(shù)學(xué)多個(gè)分支的課程。在實(shí)際應(yīng)用中，不但需要掌握相關(guān)數(shù)學(xué)分支的原理和方法，還要有實(shí)際問題的背景知識，無論是對從事數(shù)學(xué)建模教學(xué)的老師還是對學(xué)生都是挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)。與一門技術(shù)大致有章可循不同，藝術(shù)在某

3、種意義下無法歸納出若干條普遍適用的準(zhǔn)則或方法。盡管如此，還是有一些比較常用的基本的技術(shù)手段和方法。摘要 研究自動(dòng)化車床管理的優(yōu)化問題，首先假設(shè)車床出現(xiàn)故障時(shí)已完成的零件數(shù)作為參數(shù)，其服從正態(tài)分布，在此基礎(chǔ)上，以更換刀具為決策變量，以生產(chǎn)零件的總費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，利用計(jì)算機(jī)程序?qū)z查問題逐一選取進(jìn)行嘗試，選取最優(yōu)的檢查間隔使得總費(fèi)用最少，最后通過計(jì)算機(jī)彷真模擬結(jié)果吻合很好。關(guān)鍵詞:自動(dòng)化車床管理; 正態(tài)分布; 動(dòng)態(tài)規(guī)劃; 計(jì)算機(jī)仿真1 問題的提出一道工序用自動(dòng)化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會(huì)出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%，其他故障僅占 5%。工序出現(xiàn)故障是完全

4、隨機(jī)的，假定在生產(chǎn)任一零件時(shí)出現(xiàn)故障的機(jī)會(huì)均相同. 如何通 過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障. 現(xiàn)積累有 100 次故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的零件數(shù)的記錄，怎樣計(jì)劃在刀 具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具. 已知生產(chǎn)工序的費(fèi)用參數(shù)如下:故障時(shí)產(chǎn)出的零件損失費(fèi)用 f = 200 元/件;進(jìn)行檢查的費(fèi)用 t = 10 元/次;發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用 d = 3000 元/次 (包括刀具費(fèi)) ;未發(fā)現(xiàn)故障時(shí)更換一把新刀具的費(fèi)用 i = 1000 元/次.(1) 假定工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時(shí)產(chǎn)出的零件均為合格證品，試對該工序設(shè)計(jì)效益最 好的檢查間隔 (生產(chǎn)多少零件檢查一次) 和刀

5、具更換策略.(2) 如果該工序正常時(shí)產(chǎn)出的零件不全是合格品，有 2% 為不合格品; 而工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件有 40% 為合格品，60%為不合格品. 工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為 1500 元/次.對該工序設(shè)計(jì)效益最好 的檢查間隔和刀具更換策略.。(3) 在 (2) 的情況，可否改進(jìn)檢查方式獲得更高的效益.附：100次刀具故障記錄（完成的零件數(shù)）4593626245425095844337488155056124524349826407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659

6、7758597556496975156289547716094029608856102928374736773586386996345555708441660610624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108512 問題的分析該問題是車床管理的最優(yōu)化問題，經(jīng)初步分析題意可知，我們利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃建立模型. 首先假定車床出現(xiàn) 故障時(shí)已完成的最大的零件數(shù) 1200 個(gè)作為一個(gè)生產(chǎn)過程，機(jī)床生產(chǎn) x 件零件就檢查一次，則整個(gè)過程可分為1200/x(當(dāng)1200

7、/x為整數(shù)) 或1200/x+ 1 (當(dāng) 1200/x不為整數(shù)) 個(gè)階段. 由于 x 是任意的，階段數(shù)很難確定，根據(jù)假設(shè)，我們自行編制了 C 語言程序，可迅速搜索到最優(yōu)零件數(shù)選取方式，從而得到最優(yōu)階段數(shù)，以及在此階段數(shù)下采取什么樣的策略得到最優(yōu)結(jié)果.3模型的假設(shè)（1）車床出現(xiàn)故障時(shí)已完成的零件數(shù)作為隨機(jī)變量 y ，y 服從正態(tài)分布，即 yN(,2)。(2) 因刀具損壞故障占 95%，其他故障占 5%，即假設(shè)車床出故障是由刀具損壞引起;；(3) 相鄰兩次檢查之間出現(xiàn)故障可以認(rèn)為是均勻分布且刀具在第 1 階段初是新刀具；(4) 所給的 100 次刀具故障記錄是準(zhǔn)確的.。符號說明:：y : 車床出現(xiàn)

8、故障時(shí)已完成的零件數(shù);f : 故障時(shí)生產(chǎn)的零件損失費(fèi)用;t: 進(jìn)行檢查的費(fèi)用;d : 發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用;i: 未發(fā)現(xiàn)故障時(shí)更換一把新刀具的費(fèi)用;b: 工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用;p (y ) : y 正態(tài)分布密度函數(shù).d 1: 換的損失費(fèi)d 2: 不換的損失費(fèi)4 模型的建立與求解自動(dòng)化車床在加工零件時(shí)，由于刀具損壞等原因使該工序出現(xiàn)故障，因此，要計(jì)劃在刀具加工一定件數(shù)后 定期更換新刀具，以避免巨大的損失. 由所給 100 次刀具故障記錄中以計(jì)算可知，零件參數(shù)的數(shù)學(xué)期望 N =600，方差 2= 38663104，則有 y N (600，38663104).問題一

9、： 假定工序故障時(shí)產(chǎn)生的零件均為不合格品，正常時(shí)產(chǎn)生的零件均為合格品，設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換策略.階段變量 k =1，2，1200x，modx，1200=0 1，2，1200X+1，mod(x，1200)0狀態(tài)變量 b k : b k 為第 k 階段初的刀具使用的周期數(shù)，由于已知刀具在第 1 階段初是新刀具，因此第 1 階段初只有 b 1 = 1一種狀態(tài)，即第 1 階段初狀態(tài)集合為 b 1 = 1 在第 2 階段初，因第 1 階段初的新刀具已用 了 1 個(gè)周期即 b 1 = 1，在第 3 階段初，可以是第 1 階段的新刀具用了 2 個(gè)周期，也可以是第 2 階段初更新的刀具用了1個(gè)周期

10、數(shù).因此，b 3 = 1，2，由此可推知，第 H 階段的狀態(tài)集合 b k = 1，2，k .決策變量UK第 k 年初繼續(xù)使用原刀具，還是更新原設(shè)備，用 K表示繼續(xù)使用，用 R表示更新，則對第 k 階段任何狀態(tài) b k 決策變量 UK均為 :UK=KR狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 :bk=bk-1+1，UK= K 1， UK = R階段指標(biāo)Vk(b k ，UK) 為第 H 階段狀態(tài)為 b k ，決策為UK 時(shí)刀具運(yùn)行1個(gè)階段時(shí)費(fèi)用，由假4知:Vk(bk，Uk)= t+i+12fX +d，UK= Rt+i+(12fX +d) ， UK =K基本遞推方程: fX (b k ) 表示從第 K階段初開始，使用了 bk

11、的刀具，并按最優(yōu)更新策略到第 1200/ x或1200/x+ 1 階段末的費(fèi)用.fk(bk)=min t+i+0.5×f×x+d-bkxp(t)dt+fX+1bk，UK=R t+(0.5f×x+d) -bkxp(t)dt+fX +1(bk)，UK=K我們來考慮第 k 階段的情況，若第 k - 1 階段已經(jīng)換刀，那么本階段有兩種情況，即換刀與不換刀.并且假定在這階段中刀壞和不壞是呈均勻分布的. 若檢查結(jié)果為換刀，則該刀在1/2階段時(shí)已經(jīng)損失，于是損失費(fèi)用d1=t+k+0.5×f×x-bk-1xp(t)dt，(bk-1=1)，若檢查結(jié)果的不換刀，則

12、損失費(fèi)就是d2=t+0.5×f×x-(bk-1+1)xp(t)dt，(bk-1=1)并且換或不換看 d 1 - d 2 是否大于零，即k>0.5×f×xbk-1xbk-1+1p(t)dt ， 則不換刀.現(xiàn)在再來考慮若第 k - 1階段沒有換刀，本階段還是有兩種情況: 換刀和不換刀，同樣假定在這階段 中刀壞與不壞是呈均勻分布的，則檢驗(yàn)結(jié)果若為換刀損失費(fèi)為d1=t+k+0.5×f×x×-bk-1xptdt, (bk-11)若為不換，則d2=t+0.5×f×x×-bk-i+1xptdt， (bk

13、-11)并且當(dāng) d 1 > d 2 時(shí)不換刀，對此算法利用 C 語言編程對 x 進(jìn)行搜索得到最優(yōu)決策，當(dāng)生產(chǎn) 48 個(gè)零件檢查一次刀 具，最少費(fèi)用為 13221.6552 元. 生產(chǎn)過程中共分為 25 個(gè)階段，分別在 1，8，15，22 階段初更換新刀具，其余的階 段不換刀具.問題二: 由于工序正常時(shí)產(chǎn)生有 2%不合格品，而工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件有 40%為合格品，而且工序正常 而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為 1500 元/次 故可用問題一所用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理來求解. 而且階段變量 K ，狀態(tài)變量 b k ，決策變量Uk 不發(fā)生改變，而只改變階段指標(biāo) V k (b k ，U k ) 和 f

14、k (b k ) ，則有對模型二，同樣采用計(jì)算機(jī)來尋找最佳階段數(shù)，仿照模型一分析方法得到同樣的流程過程. 當(dāng)?shù)?k - 1階段換，判斷條件為i>0，5×0，6×fx×b k- 1 (b k- 1 + 1) xp tdt + dxb k- 1 b k- 1 + 1xp tdt， (b k - 1 = 1)若換則損失費(fèi)d 1 = t + i + 1500 1-(b k- 1 xp tdt +0，5×0，6×fx×-x b k- 1 p tdt + d-xb k- 1 p tdt 不換則損失費(fèi)d 2 = t + 015 ×0

15、16 ×f x×-2xp ( t) dt + d-2xp ( t) dt當(dāng)?shù)?k - 1 階段不換判斷條件為1500 + i > 1500-x b k- 1 p tdt + d-xb k- 1 p tdt + 0，5×0，6×fx×b k- 1 (b k- 1 + 1) xp tdt +dxb k- 1 b k- 1 + 1xp tdt換，則d 1 =10+1000+1500 1-(b k- 1 xp tdt +0.5×0.6×200x×b k- 1 (b k- 1 + 1) xp tdt ×300

16、0×-b k- 1 p tdt不換，則d 2 = f + 0.5 ×0.6 ×f x-x(b k- 1+1)p tdt+d-x(b k- 1+1)p tdt在這種策略下編程運(yùn)算結(jié)果為生產(chǎn)241個(gè)零件檢查一次，最少費(fèi)用為13515174，共分5個(gè)階段，第1，2，3，4階段是換刀的，第5階段不換刀.。問題三: 在第二問的假設(shè)下，我們已知每生產(chǎn)241次檢查一次所花的費(fèi)用是最少的. 在這種策略下，更換刀 具所花費(fèi)的刀具費(fèi)很高. 例如在第2階段更換刀具在第三階段其損壞的概率很少，可能不換比換花錢更少. 于是 我們這樣做對每一階段都來判斷換的花費(fèi)多還是不換的花費(fèi)多，哪個(gè)花費(fèi)少

17、采取哪個(gè)方案.。若 k 階段換的花費(fèi)應(yīng)該是d1=t+i+0,5×fx-x b k- 1 p tdt + d-xb k- 1 p tdt + 15001-d-xb k- 1p tdt若不換, 則d 2 = t+ 0.5 ×0.6 ×f x-x(b k- 1+1)p tdt+d-x(b k- 1+1)p tdt若d 1 > d 2 則換.5 模型的檢驗(yàn)與改正檢驗(yàn) y 服從正態(tài)分布，用 x 2 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)：假設(shè)H0:Fx=F0x，H 1: F(x)F0x 計(jì)算得 x =6002 = 38663104因?yàn)?F0x為正態(tài)分布 N (600，38663.04)的分布函數(shù)

18、. 在所給100次刀具故障記錄數(shù)據(jù)中,最小數(shù)為 84，最大數(shù)為 1153，可取 83.5 為下界，1200 為上界，將 (83.5，1200) 按等間距 89 劃分為 12 個(gè)小區(qū)間，發(fā)現(xiàn)前三個(gè)小 區(qū)間的 Vi 值與后三個(gè)小區(qū)間的 Vi 值都太小，應(yīng)適當(dāng)合并小區(qū)間，于是可列于表 1:表格 1小區(qū)間ViVi2Vi/npi 83.5, 350.5 8646.65 350.5, 439.5 9817.78 439.5, 528.5 1522521.69 528.5, 617.5 2352929.97 617.5, 706.5 1832419.11 706.5, 795.5 1326912.66 79

19、5.5, 884.5 7495.6 884.5, 1200 7495.6n從而得 xn2 的觀測值為i=18Vi2npi-n=108.98-100=8.98對顯著性水平 =0.05，查 x 2 分布表得自由度為 5 所對應(yīng)的臨界值 x 0.952(5) = 11.071，由于 x 0.952(5) > 8.98， 所以不否定 H 0 ，即認(rèn)為 y N (600，38663.04)。在確定階段數(shù)時(shí)，我們假設(shè)從生產(chǎn) 1 個(gè)零件時(shí)就開始檢驗(yàn)，從而階段數(shù)為 1200 次，而生產(chǎn) 1 個(gè)就出現(xiàn)刀具 損壞的事情發(fā)生的可能性很小，可見這步運(yùn)算是沒有必要的，有待改正，我們提出的改正方法如下: 若出現(xiàn)故障 造成損失比檢查和維修的費(fèi)用還要少，則不必檢驗(yàn). 通過編程，得出 34 次以前是不必檢驗(yàn)的。6 模型優(yōu)缺點(diǎn)(1) 本模型巧妙地運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理來求解，并采取逐次選取進(jìn)行嘗試，借助計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行搜索，得到 每生產(chǎn) x 個(gè)零件需檢查一次使得總費(fèi)用最小的最優(yōu)結(jié)果.(2) 在問題三中通過對問題二進(jìn)行改進(jìn)檢查方式，得到比較好的經(jīng)濟(jì)效益.(3) 本模型具有較高的應(yīng)用價(jià)值，特別在大工廠里，為避免造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失應(yīng)該決定設(shè)備生產(chǎn)零件就 檢查一次，何時(shí)更換設(shè)備，利用此模型便得到很