應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)之假設(shè)檢驗(yàn)(共35頁).ppt

1、本資料來源1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想Chapter 4 假設(shè)檢驗(yàn)定義1 總體的分布類型已知，對(duì)未知參數(shù)作出假設(shè)，用總體中的樣本檢驗(yàn)此項(xiàng)假設(shè)是否成立，就稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。定義2 對(duì)總體分布函數(shù)的形式作出假設(shè)，用總體中的樣本檢驗(yàn)此項(xiàng)假設(shè)是否成立，就稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。例例1 買荔枝。小販說他的荔枝是糯米糍，你信嗎？怎么辦？買荔枝。小販說他的荔枝是糯米糍，你信嗎？怎么辦？吃一個(gè)嘗一嘗！如果真就買，不真就走開。吃一個(gè)嘗一嘗！如果真就買，不真就走開。這一做法這一做法就就。 首首 先，假設(shè)小販所言為真（原假設(shè)）；先，假設(shè)小販所言為真（原假設(shè)）； 第二步，吃一個(gè)（抽取樣本，做檢驗(yàn)）；第二步，吃一個(gè)（抽取樣本，做檢

2、驗(yàn)）； 第三步，買或不買（根據(jù)樣本和統(tǒng)計(jì)理論第三步，買或不買（根據(jù)樣本和統(tǒng)計(jì)理論 作出判斷并采取行動(dòng)）。作出判斷并采取行動(dòng)）。假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)判斷的正確性，取決于樣本的抽取和統(tǒng)計(jì)理論。判斷的正確性，取決于樣本的抽取和統(tǒng)計(jì)理論。一、問題的提出例例2：某地早稻收割前根據(jù)長(zhǎng)勢(shì)估計(jì)平均畝產(chǎn)量為某地早稻收割前根據(jù)長(zhǎng)勢(shì)估計(jì)平均畝產(chǎn)量為310千克，收割千克，收割 時(shí)，隨機(jī)地抽取時(shí)，隨機(jī)地抽取10塊地，測(cè)得每塊的實(shí)際畝產(chǎn)量為塊地，測(cè)得每塊的實(shí)際畝產(chǎn)量為 計(jì)算出計(jì)算出 千克，如果一直早稻產(chǎn)量千克，如果一直早稻產(chǎn)量 服從正態(tài)服從正態(tài) 分布分布 ，試問所估產(chǎn)量是否正確？，試問所估產(chǎn)量是否正確？1210,x xx10

3、1132010iixxX2( ,12 )N解：解：由于畝產(chǎn)量由于畝產(chǎn)量 ，故可產(chǎn)生，故可產(chǎn)生兩個(gè)假設(shè)：兩個(gè)假設(shè)：20( ,12 ),310XN001:310,:310HH如果假設(shè)真，那么如果假設(shè)真，那么212(310,)10XN 我們看到我們看到 與與 相比期望相同，而波動(dòng)程度較小，即相比期望相同，而波動(dòng)程度較小，即 的的取值更加集中在取值更加集中在310附近。這樣，附近。這樣，已知的樣本觀察值的均值已知的樣本觀察值的均值 落在落在310附近的概率附近的概率應(yīng)該是應(yīng)該是比較大的。比較大的。XXXx為了方便衡量，我們事先給定一個(gè)概率值為了方便衡量，我們事先給定一個(gè)概率值 0.05并將并將 標(biāo)準(zhǔn)化

4、，得標(biāo)準(zhǔn)化，得310(0,1)12/10XUNX我們知道我們知道 即即0.05/21.96,1.960.05uP U3103203102.641.9612/ 1012/ 10 xu將將 代入，發(fā)現(xiàn)代入，發(fā)現(xiàn)x這說明，按照假設(shè)，這說明，按照假設(shè)， 落在了落在了 的分布當(dāng)中遠(yuǎn)離的分布當(dāng)中遠(yuǎn)離310的地方。的地方。也就是說，小概率事件發(fā)生了！也就是說，小概率事件發(fā)生了！xX小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中是不太可能發(fā)生的。小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中是不太可能發(fā)生的?，F(xiàn)在，小概率事件卻發(fā)生了，怎么辦？說明了什么？現(xiàn)在，小概率事件卻發(fā)生了，怎么辦？說明了什么？我們認(rèn)為，是假設(shè)錯(cuò)了！或者說：假設(shè)

5、不真。我們認(rèn)為，是假設(shè)錯(cuò)了！或者說：假設(shè)不真。這樣，我們這樣，我們拒絕拒絕 而接受而接受 ，即，即01,310.HH二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想定義定義1：“假設(shè)假設(shè)”是對(duì)總體參數(shù)的一種推斷。是對(duì)總體參數(shù)的一種推斷。 我們稱我們稱 為為原假原假設(shè)設(shè) (null hypothesis)(或零假設(shè)或零假設(shè))；原假設(shè)的反面；原假設(shè)的反面 稱為稱為備擇備擇 假設(shè)假設(shè)(alternative hypothesis).01HH定義定義2：稱稱 為為檢驗(yàn)水平檢驗(yàn)水平，通常取，通常取0.1，0.05，0.01等。用它等。用它 來衡量原假設(shè)與實(shí)際情況的差異的明顯程度。來衡量原假設(shè)與實(shí)際情況的差異的明顯程度。定義定義3

6、：由由 確定出的確定出的 稱為稱為臨界值臨界值。|P Ukk 這樣，當(dāng)某個(gè)這樣，當(dāng)某個(gè) 落在落在 的拒絕域內(nèi)時(shí)我們就的拒絕域內(nèi)時(shí)我們就拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)，否則就否則就接受原假設(shè)接受原假設(shè)。0 xH00|U UkHU UkH稱為的拒絕域；稱為的接受域；0臨界值臨界值臨界值臨界值 /2 /2 /2 /2樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕域拒絕域拒絕域拒絕域接受域接受域拒絕域拒絕域 Rejection Regions1 - 定義4 （兩類錯(cuò)誤）實(shí)際情況(未知)H0成立判斷正確犯第類錯(cuò)誤(棄真),P(拒絕H0| H0為真)H0不成立犯第類錯(cuò)誤(納偽)P(接受H0| H0為假)判斷正確10( ,)nxxWH當(dāng)接

7、受10( ,)nxxWH當(dāng)拒絕注：假設(shè)檢驗(yàn)以小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生為依據(jù)，運(yùn)用了反證法的思想。00010100113.1.1 ( ; ), ( ; ),:,:,:FFF xFF xHH 假設(shè)檢驗(yàn)的一般定義定義如果 是一個(gè)參數(shù)分布族則原假設(shè)和備擇假設(shè)表示為注原假設(shè)的設(shè)置要體現(xiàn)保護(hù)原假設(shè)的思想三、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟011.:,.2.:,.3.,.,(|)(|)1- ,HHUP UkP UkkW提出假設(shè) 根據(jù)問題 提出原假設(shè)和備擇假設(shè)找統(tǒng)計(jì)量 根據(jù)假設(shè)內(nèi)容 找出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量及其分布求臨界值 確定拒絕域 給定顯著性水平由或求出 ，確定拒絕域004.5.:,.WHH計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值判斷若統(tǒng)計(jì)

8、量的觀察值落在中就拒絕反之 則接受2似然比檢驗(yàn)將極大似然方法應(yīng)用于假設(shè)檢驗(yàn)中一、單參數(shù)模型下的似然比檢驗(yàn)00100( ; ),: =,:,.f xHH 假設(shè)總體的密度函數(shù)或概率分布為其中 是一維參數(shù)考慮如下假設(shè)檢驗(yàn)問題其中為給定常數(shù)12100,., ( )( ),()()sup ( )( )nniiXXXLf xMLELLLRLL是來自總體X的樣本 似然函數(shù)為若 是 的考慮統(tǒng)計(jì)量稱LR為似然比。:(1)0LR1 (2)P注。10000:CLR|LR (0):C:LR|LR(0),k,PH |H=PLR(1)=C =P|(1)注統(tǒng)計(jì)量則拒絕為真拒絕域?yàn)槎⒍鄥?shù)模型下的似然比檢驗(yàn)10110r01

9、00( ; ),( ,),:=,=,.krrf xH假設(shè)總體的密度函數(shù)或概率分布為其中是k維參數(shù)檢驗(yàn)其中的r個(gè)參數(shù)其中為給定常數(shù)0sup ( )( )sup ( )( )HLLLRLL似然比定義為3大樣本的假設(shè)檢驗(yàn)及樣本容量的確定一、大樣本方法210010001.,E(X)= ,()()n,:,:.=(0,1)/nXXXD XHHXUNn設(shè)是取自總體 的樣本已知足夠大 檢驗(yàn)假設(shè)1-21-2:,|.UuPUu檢驗(yàn)對(duì)于給定顯著性水平查表求出臨界值得到202.=(0,1)/XUNSn未知2111122201211222223.,(,Y ,(,X,Y,:,:.XHH 設(shè)已知檢驗(yàn)假設(shè)為001111011

10、110112211-210|/|/ n=()()XPHHPuHnXPuHnnuunuuuu接受為真 為真為真因此又有2.總體方差未知時(shí),正態(tài)總體均值的右邊檢驗(yàn)2200110N( ,),:,:.XHH 設(shè)未知檢驗(yàn)假設(shè)為3.總體期望未知時(shí),正態(tài)總體方差的右邊檢驗(yàn)22222200110N( ,),:,:.XHH 設(shè)未知檢驗(yàn)假設(shè)為4 非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)一、分布的擬合檢驗(yàn)n密度函數(shù)估計(jì)方法直方圖(histogram)1.K-檢驗(yàn)法設(shè)總體分布為F(x),對(duì)一個(gè)給定的的分布F0(x),考慮如下假設(shè) H0: F(x)=F0(x),由格列汶科定理(th1.2.3)若Fn(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),則有l(wèi)im sup |(

11、 )( )| 01nnxPF xF x 因此,當(dāng)H0為真時(shí),Fn(x)和F0(x)的偏差應(yīng)該很小引入科爾莫果洛夫統(tǒng)計(jì)量0sup |( )( )|nnxDF xF x 10k22k=-03.4.1.XF(x),lim ( )0,0( )=(-1) exp 2,0:1)F (x), 2)nnnXXXHP Dknkk定理設(shè)總體 的分布函數(shù)連續(xù)是取自總體 的樣本 則當(dāng)為真時(shí) 有其中注漸近分布函數(shù)k( )與無關(guān) 稱為分布無關(guān)性不適用與離散總體22、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)1010010X,:( ):( ) :( )( ),:( )( )nXXXHXxHXxHF xF x HF xF x00設(shè)總體 的分布未知根據(jù)樣本檢驗(yàn)總體 的分布假設(shè)總體 的分布函數(shù)為F總體 的分布函數(shù)不是F即221212221()1 ()( ,)-1()lim()( ;1)kiiiikkxiiniinnpnpppnnnpPxt kdtnp定義稱為皮爾遜(K.Pearson)統(tǒng)計(jì)量。定理3.4.2 皮爾遜定理當(dāng)是總體的真