小學(xué)數(shù)學(xué)中的合情推理(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學(xué)數(shù)學(xué)中的合情推理(2009-07-29 16:35:15) 標(biāo)簽： 分類： 合情推理，是美籍?dāng)?shù)學(xué)家波利亞在30年代提出的概念，它是指“觀察、歸納、類比、實驗、聯(lián)想、猜測、矯正和調(diào)控等方法”。波利亞在致力改變美國數(shù)學(xué)落后狀態(tài)的工作中，大力倡導(dǎo)合情推理的方法，并獲得成功。 在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，我們重視和加強了雙基教學(xué)，但學(xué)生在校所學(xué)到的學(xué)科知識，隨著他們離開學(xué)校，多數(shù)會逐漸忘掉，甚至有的會忘得“一干二凈”。如果說“教育是所有學(xué)會的東西都忘卻以后，仍然留下來的那些東西”（M勞厄），學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得的不僅僅是知識，除此之外，更為重要的是思想與方法。而在研究探究性學(xué)習(xí)的今天，

2、我們的教學(xué)一直在研究如何組織和組織的形式上，對在發(fā)展過程中使用的合情推理等方法沒有予以足夠的重視，而這些恰恰是人的優(yōu)秀文化素質(zhì)的重要組成部分。再聯(lián)想到有關(guān)團體對中外學(xué)生調(diào)查結(jié)果顯示的中國學(xué)生科學(xué)測驗成績較差的信息，不能不使我們感到加強對合情推理能力的培養(yǎng)已是刻不容緩。 一、合情推理在數(shù)學(xué)能力發(fā)展中的功能和作用 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）在課程的具體目標(biāo)中明確提出了“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力”。合情推理，它“是在認知過程中，主體根據(jù)自己在日常生活中積累的知識、經(jīng)驗，經(jīng)過非演繹（或非完全演繹）的思維而得到合乎情理、理想化結(jié)論的一種推理方式”。其主要表現(xiàn)在：“它可能是”（猜測），“做出來看一看”（實

3、驗），“由上所述可得”（歸納），“將人心比自心”（類比），“可以想象”（聯(lián)想）等。 合理推理與通常所說的論證推理是不相同的。論證推理是可靠的；而合情推理是根據(jù)經(jīng)驗、知識、直觀與感覺得到的一種可能性結(jié)論的推理，它推出的結(jié)論不一定都正確，卻和論證推理一樣在數(shù)學(xué)和生活中都有廣泛的應(yīng)用。在社會生活中，醫(yī)生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰(zhàn)爭，人際交往等都應(yīng)用合情推理。一些科學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維，也主要是合情推理：量子力學(xué)方程是猜出來的；球體公式是阿基米德“稱”出來的；而現(xiàn)代仿生學(xué)則是類比推理在科技中應(yīng)用的杰出成果。事實證明，合情推理的這兩種主要推理方式歸納和類比，不受邏輯規(guī)則的約束具有強烈的創(chuàng)造性質(zhì)，它推動

4、了數(shù)學(xué)的進步和發(fā)展。盡管由類比、歸納得出的結(jié)論不一定正確，必須加以論證才能確立，但它在數(shù)學(xué)教學(xué)中突出發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要作用應(yīng)給予充分的重視，因為小學(xué)生的認知能力擅長歸納和類比。 我們在教育實踐中加強合情推理能力的培養(yǎng)，還可以使受教育者將日常事務(wù)中積累的經(jīng)驗、方法用于學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的興趣，提高解決問題的能力。而在其中，又將那自然狀態(tài)下的合情推理，提高到一個更加合理更加科學(xué)的層次，可能成為“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”。 二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理能力的培養(yǎng) 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以根據(jù)兒童的心理特點，結(jié)合教材內(nèi)容，有意識地從以下幾個方面來培養(yǎng)小學(xué)生的合情推理能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。 （一）為學(xué)

5、生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間 波利亞說：“有效地應(yīng)用合情推理是一種實際技能”，“要通過模仿和實踐來學(xué)習(xí)它，在實踐中發(fā)展合情推理能力”，因此，教師要充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)。問題情境的創(chuàng)設(shè)是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的前提。把學(xué)科的內(nèi)容隱入情境，提供給學(xué)生足以探索的數(shù)學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)具有一定合理自由度的思維空間，要突出問題（應(yīng)有一定的難度和開放性），把問題放在“需要”與“認知結(jié)構(gòu)”矛盾的風(fēng)口浪尖，同時也注意對學(xué)生情緒背景的創(chuàng)設(shè)。不僅要創(chuàng)設(shè)引入問題的情境，也要創(chuàng)設(shè)好每個環(huán)節(jié)的情境。情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)滿足：a.可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)；b.一定的趣味性；C.便于學(xué)生參與，但要防止讓學(xué)生看了書上的結(jié)論一語點破。如：我們學(xué)習(xí)“分數(shù)的基

6、本性質(zhì)”時，可以用“猴王分餅”這一童話故事創(chuàng)設(shè)趣味情境；如學(xué)習(xí)“乘法運算定律”時，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運算定律”的知識經(jīng)驗，利用類比推理創(chuàng)設(shè)問題情境；如學(xué)習(xí)“圓的認識”時為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個操作情境：可以提供圖釘、鉛筆、棉線等材料，讓學(xué)生在自主探索如何畫圓時，發(fā)現(xiàn)圓的基本性質(zhì)和概念。 師生感情融洽也是參與教學(xué)的感情保證，而“知識情感”則是學(xué)生參與教學(xué)的“認知內(nèi)驅(qū)力”，教師要把學(xué)生的情感調(diào)整到樂于研究、探索問題上，讓學(xué)生在“尋找回來的世界中”動腦、動手、動口去探索猜測（要積極鼓勵各種猜測，不能只限定在教師的猜想中），在親身經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程中，提高應(yīng)用合情推理的技能。 （二）引導(dǎo)學(xué)生運用合情推理

7、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識 日本的著名教育家米山國藏曾說：“我們搞了這么多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中等接受的數(shù)學(xué)知識，出校不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，惟有深深銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維的方法、研究方法、推理方法卻隨時發(fā)生作用，使他們受益終生”。也正因為如此，我們在不同教學(xué)時如果能注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生也會因此積累一些解決問題的經(jīng)驗。比如，在小學(xué)數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時，我們可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所掌握的信息，對一定條件下可能產(chǎn)生的結(jié)論，用合理推理的方法先進行合理的猜測，形成假說、猜想，然后再予以驗證，從而得出法則、性質(zhì)、公式等知識

8、。 1、發(fā)現(xiàn)規(guī)律性知識時 合情推理的兩種主要推理方式是“類比”和“歸納”。類比是指通過比較兩個對象或兩類事物屬性的相似、相同，從而猜測等待解決的問題或事物與相關(guān)問題或事物的屬性是否相同或相似，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法，如教學(xué)“分數(shù)的基本性質(zhì)”、“商不變性質(zhì)”、“分數(shù)和除法有密切關(guān)系”等常常利用類比推理。而歸納就是對研究對象或問題從一定數(shù)量的特例進行觀察分析，應(yīng)用不完全歸納法得出有關(guān)命題的形式，結(jié)論或方法的猜想，根據(jù)這種推理作出直覺發(fā)現(xiàn)的過程，如著名的歌德巴赫猜想，“三角形的面積等于平行四邊形面積的一半”等。從理論上講，兩種方法是分開的，事實上，我們在實際教學(xué)時，常常是幾種方法互相配合，交叉使用的

9、。 比如說如在小學(xué)數(shù)學(xué)中教學(xué)“長方體的體積公式”時，可以先引導(dǎo)學(xué)生用小木塊擺長方體，獲得有關(guān)長方體的長、寬、高和體積的數(shù)據(jù)。再要求學(xué)生觀察這些數(shù)據(jù)進行合理的猜想，猜想出長方體的體積公式，然后再要求學(xué)生進行論證以確認長方體的體積公式是否正確。最后引導(dǎo)學(xué)生將長方形和長方體作類比，比較長方形、長方體的名稱、圖形及邊的長度名稱，找出相同之處及兩者之間的聯(lián)系（歸納），從而進一步提高學(xué)生的合情推理能力。 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，積累的一些發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的經(jīng)驗，這正是進一步學(xué)習(xí)所需要的能夠持續(xù)發(fā)展的動力之所在，是教學(xué)可供利用的重要資源。也正因為如此，我們應(yīng)該在教學(xué)中加強合情推理能力的培養(yǎng)。 現(xiàn)附具體操作要求如

10、下： 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)形式對教師要求 1、積極思維，大膽猜測，形成假說（猜想）； 2、合情推理的方法得到訓(xùn)練。 假說、猜想形成過程及其運用。一般是學(xué)生觀察，獨立思考，輔以二、三人的討論、研究，也可以是全班的“七嘴八舌”。1、心理換位，用一個普通學(xué)生的角色參與探討；2、在觀察、歸納、類比等的難點上給學(xué)生以點撥；3、要給學(xué)習(xí)的后進生以特別的關(guān)注，給他們的提示可直接些、具體些；4、要引導(dǎo)學(xué)生積極地運用其自身所擁有的合情推理方法，教師本人也要進行較高層次的合情推理方法的示范，以此逐步提高學(xué)生的合情推理的能力，提高猜想的可靠性。 2、預(yù)測可能性問題時 “體驗事件發(fā)生的可能性，游戲規(guī)則的公平性，計算一

11、些簡單事件發(fā)生的可能性?！边@是標(biāo)準(zhǔn)的具體目標(biāo)之一。學(xué)生在日常生活、游戲中，的確需要對一些可能發(fā)生的事件，作出判斷和合情推理。比如：在兩方球隊比賽時，預(yù)測此場比賽誰獲勝的可能性大，并闡述理由，學(xué)生必然會根據(jù)兩支球隊以往比賽的勝負情況或當(dāng)時賽場的情況等方面作出猜想。這種預(yù)測結(jié)論的形成是學(xué)生利用類比、歸納等多種進行合情推理的結(jié)果。又如：一刀能把西瓜切成兩塊、兩刀能切成四塊，那么3刀能切成多少塊西瓜？n刀呢？這個問題我們就可以利用操作、實驗等合情推理的方法去解決，可以推進學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)。 3、實驗探究問題時 當(dāng)對要探究的問題，初步形成假說、猜想后，學(xué)生對知識的理解僅停留在猜測階段，沒有真正的內(nèi)

12、化，根據(jù)小學(xué)生年齡特征和認識規(guī)律（動作感知建立表象形成概念），我們應(yīng)積極創(chuàng)造條件，要求學(xué)生“做出來看一看”，這也是數(shù)學(xué)課在對猜想進行推理證明前所進行的必要步驟。如學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”時，當(dāng)學(xué)生提出“被除數(shù)變大后，除數(shù)不變，商也變大”等猜想，可以引導(dǎo)學(xué)生驗征“你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是不是在除法運算中真的成立呢？”學(xué)生通過舉例、驗證，有些表示贊同，有些甚至?xí)翢o疑問，但當(dāng)有一個學(xué)生發(fā)現(xiàn)93=3 103=31商并沒有變時，引起了激烈爭論：當(dāng)場就有一名學(xué)生提出反駁，“有了余數(shù)，就說明結(jié)果變大了”。學(xué)生在爭論操作感知時，對商不變性質(zhì)有了更深刻的體驗，合情推理能力也得到了培養(yǎng)。教師在實驗的過程中，應(yīng)起到畫龍點睛的作

13、用，幫助學(xué)生用類比、特殊化等合性推理的方法選擇特例或設(shè)計實驗來檢驗猜想，并引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)科規(guī)范的語言表達結(jié)論；同意時還要注意保護得出“不同”猜想的同學(xué)的積極性。在逐步形成結(jié)論的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生真正暴露出合情推理的思維過程，并使之得到優(yōu)化。當(dāng)然不同年齡段要求也不相同，標(biāo)準(zhǔn)明確指出：第一學(xué)段（13年級）：在教師的幫助下，初步學(xué)會選擇有用信息進行簡單的歸納與類比。第二學(xué)段（46年級）：能根據(jù)解決問題的需要，收集有用的信息，進行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力。第三學(xué)段（79年級）：能收集、選擇、處理數(shù)學(xué)信息，并作出合理的推斷或大膽的猜測；能用實例對一些數(shù)學(xué)猜想作出檢驗，從而增加猜想的可信

14、程度或推翻猜想。 4、選擇數(shù)學(xué)解題途徑時 猜測和檢驗是問題解決的一種策略，也是一種有效的策略。當(dāng)我們面對一個全新問題時，可能會有很多種解題方法，我們也常常會進行一些嘗試性的猜測，再根據(jù)不同的猜測結(jié)果進行修正。 例如：有100位和尚，吃100個饅頭，大和尚每人吃3個，小和尚每3人吃一個。問大小和尚各幾人？ 首先指導(dǎo)學(xué)生作出一個猜測：小和尚有90個，則大和尚有10個，一共吃饅頭60個。猜測有誤，指導(dǎo)學(xué)生修正猜測。所作猜測饅頭數(shù)較少，故小和尚數(shù)過多，第二次猜測時小和尚人數(shù)應(yīng)適當(dāng)減少，如下表格 次數(shù) 小和尚人數(shù) 大和尚人數(shù) 所吃饅頭個數(shù) 第一次90 1060 第二次60 30110 第三次75 251

15、00經(jīng)過上述的猜測、檢驗、修正等過程后問題得了解決。不難看出，即使學(xué)生不會列方程解應(yīng)用題，不會假設(shè)法來解決這個問題，通過合情推理，學(xué)生也能找到解決問題的線索。（三）在反思、評價和引申中培養(yǎng)合情推理能力對學(xué)生合情推理的能力的培養(yǎng)與提高離不開學(xué)生對其“提出猜想檢驗”；“修正猜想驗證、證明”這一學(xué)習(xí)過程的反思。無論是提出猜想的過程、修正猜想還是驗證猜想的過程都必須進行適當(dāng)?shù)姆此?，通過反思可以讓學(xué)生更好地認識猜想的提出必須要有合理性且充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受驗證和證明的必要。反思也是提高學(xué)生提出猜想的質(zhì)量，修正猜想的能力和驗證猜想的能力必不可少的重要一環(huán)，同時也是學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考的必要條件。平常我們

16、應(yīng)多要求學(xué)生在形成結(jié)論后，及時回顧和重新審視解決問題的全過程，如：在得出“能被3整除的數(shù)的特征”后，教師可適當(dāng)反思：剛才我們是怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？學(xué)生可能會說出探究問題時的過程“先再”；也可能說出自己在學(xué)習(xí)過程中聽取了哪些同學(xué)的意見，受到了哪些啟發(fā)；聰明的學(xué)生也會能就會根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容進行質(zhì)疑，尋找新的思路、方法。在引導(dǎo)學(xué)生自我認知的過程中，重建學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，使其與原有知識的邏輯聯(lián)系更明晰，使某些“技巧”上升為“方法”，使一些有意義的經(jīng)驗、方法、思想得到及時的提取。同時，在學(xué)生進行合情推理的過程中教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者和指導(dǎo)者，必須對學(xué)生的合情推理進行積極地評價，尤其對學(xué)生的認識體會教師要進行

17、及時的、有效的分析和概括，幫助學(xué)生對解決問題的方法進行提煉和哲學(xué)思考。而引申則是在形成結(jié)論后，在可能的條件下，要對其進行變換條件擴展結(jié)論（可稱先證后猜）。結(jié)論和條件的變通和應(yīng)用，可能提出新的挑戰(zhàn)性問題，對于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造能力有利。三、關(guān)于合理推理的幾個問題1、合情推理的適用性在數(shù)學(xué)學(xué)科的課堂教學(xué)中，并非所有內(nèi)容都需要合情推理。例如：四則運算順序純屬人為規(guī)定的知識，沒有需要推理的必要（如果課外讓學(xué)生探究，自己定又一種新的運算順序，那是另外一回事了）又如：學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，讓學(xué)生根據(jù)自己原有的分類概念推測自然數(shù)可以分成幾類。學(xué)生可以想到各種各樣的分類，卻極少有人想到按照自然數(shù)所含約數(shù)的個數(shù)來分，而且要分成“只有一個約數(shù)”、“只含有兩個約數(shù)”、“含有三個或三個以上約數(shù)”這樣的三類。一再啟發(fā)、提示，到頭來還是要看課本的，聽老師的，在學(xué)生心底是始終不明白為什么要分成這三類（事實上，直到學(xué)完“數(shù)的整除”，大多數(shù)學(xué)生對此還是不勝了解）。也就是說，這樣的概念缺少有意義猜想的可能性。所以，確定合情推理的內(nèi)容、要求，還是條件制宜為好。2、合情推理與邏輯推理、演繹推理等在知識