【精品】高中數(shù)學(xué) 3.7《函數(shù)的極值·第一課時(shí)》教案 舊人教版必修

1、3.7函數(shù)的極值課時(shí)安排2課時(shí)從容說課從函數(shù)圖象出發(fā)講述函數(shù)的極大值、極小值、極值、極值點(diǎn)的意義.在教法上，讓學(xué)生從解題過程中概括出利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法.函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值，并且函數(shù)要在這一點(diǎn)處連續(xù).教學(xué)時(shí)，可以安排這樣的例題來加以說明，加深理解.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)要求學(xué)生注意如下幾點(diǎn)：（1）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)（即f（x0）=0），注意這句話中的“可導(dǎo)”兩字是必不可少的.例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處有極小值f（0）=0，可是f（x）在x=0處不可導(dǎo).（2）可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)

2、，也可能不是極值點(diǎn)，例如函數(shù)y=x3的導(dǎo)數(shù)是f（x）=3x2,在點(diǎn)x=0處有f（0）=0，即點(diǎn)x=0是f（x）=x3的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).（3）求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.但是值得注意的是不能忘記定義域的作用.在教學(xué)時(shí)要采用主動(dòng)學(xué)習(xí)模式，讓學(xué)生積極參加，主動(dòng)建構(gòu)，不能被動(dòng)接受.教師的作用就是調(diào)節(jié)、策劃.增加一些新的教學(xué)內(nèi)容，可以讓學(xué)生自主編擬題目，或者分組編題、解題.培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和個(gè)性品質(zhì).第十三課時(shí)課題3.7.1函數(shù)的極值（一）教學(xué)目標(biāo)一,教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.極大值的定義和判別方法.2.極小值的定義和判別方

3、法.3.極值的概念.4.求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟.二,能力訓(xùn)練要求1.理解極大值、極小值的概念.2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值.3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.三,德育滲透目標(biāo)1.加深學(xué)生對(duì)局部與整體之間的理解.2.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.3.培養(yǎng)學(xué)生自己歸納、總結(jié)的能力.教學(xué)重點(diǎn)極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.教學(xué)難點(diǎn)對(duì)極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進(jìn)行說明,并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的.觀察圖象得出判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào).教學(xué)方法建構(gòu)主義觀點(diǎn)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，讓

4、學(xué)生通過觀察圖象，得到極大、極小值的定義，并讓他們比較其與最大、最小值的區(qū)別.讓學(xué)生自己觀察圖象得到判別極大、極小值的方法，并通過例1，自己歸納、總結(jié)解題的步驟.教具準(zhǔn)備幻燈片三張第一張：極大、極小值的定義（記作3.7.1A）1.極大值.一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值=f（x0）,x0是極大值點(diǎn).2.極小值.一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值=f（x0）,x0是極小值點(diǎn).

5、3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.第二張：判別f（x0）是極大、極小值的方法（記作3.7.1 B）當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，判別f（x0）是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵海?）如果在x0附近的左側(cè)f（x）0,右側(cè)f（x）0,那么f（x0）是極大值.（2）如果在x0附近的左側(cè)f（x）0,右側(cè)f（x）0,那么f（x0）是極小值.第三張：求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟（記作3.7.1 C）求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f（x）.（2）求方程f（x）=0的根.（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如

6、果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f（x）在這個(gè)根處無極值.教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師我們上節(jié)課利用學(xué)過的導(dǎo)數(shù)這個(gè)有力工具研究了函數(shù)的一種性質(zhì)單調(diào)性，怎么來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？生先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).如果f（x）0,那么函數(shù)f（x）為增函數(shù)；如果f（x）0,那么函數(shù)f（x）為減函數(shù).師比較一下，以前判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和現(xiàn)在的判斷方法，哪個(gè)比較簡(jiǎn)單？生齊答現(xiàn)在的.師那么，我們?cè)倮脤?dǎo)數(shù)這種先進(jìn)有效的工具，再來研究一下函數(shù)的另一種性質(zhì)函數(shù)的極值.講授新課圖3-17圖3-18師我們觀察一下兩張圖象中，點(diǎn)a和點(diǎn)b處的函數(shù)值與它

7、們附近點(diǎn)的函數(shù)值有什么關(guān)系？生從圖3-17可以看出，點(diǎn)a處的函數(shù)值f（a）比點(diǎn)a附近的點(diǎn)的函數(shù)值大；而從圖3-18可以看出，點(diǎn)b處的函數(shù)值f（b）比點(diǎn)b附近的點(diǎn)的函數(shù)值小.師我們把如圖3-17情況的點(diǎn)a的函數(shù)值f（a）稱極大值，把如圖3-18情況的點(diǎn)b的函數(shù)值f（b）稱極小值，那么能給極大值,極小值下個(gè)定義嗎？生如果對(duì)點(diǎn)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）f（x0）,那么f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值.如果對(duì)點(diǎn)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）f（x0），那么f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值.師下定義時(shí)，要更準(zhǔn)確一點(diǎn)，有f（x0）存在，且與附近點(diǎn)的函數(shù)值比較.那么首先f（x）在點(diǎn)x0附近有

8、定義，把極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.（打出幻燈片3.7.1 A）師我們看一下極大值、極小值的概念和學(xué)過的最大值、最小值的概念有什么區(qū)別？生極大、極小值是對(duì)于點(diǎn)x0附近的點(diǎn)而言的，而最大、最小值是對(duì)于整個(gè)定義區(qū)間上的點(diǎn)而言的.師最大、最小值可以有幾個(gè)？極大、極小值呢？生最大、最小值只有1個(gè)，極大、極小值可以有多個(gè).（板書）（一）函數(shù)的極值1.函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值，并且函數(shù)要在這點(diǎn)處連續(xù).師我們繼續(xù)觀察圖3-17和圖3-18，點(diǎn)a、b處的切線與點(diǎn)a、b附近的點(diǎn)處的切線有什么特點(diǎn)？生點(diǎn)a、b處的切線都與x軸平行，所以點(diǎn)a、b處的切

9、線的斜率為0，即f（a）=0,f（b）=0.在點(diǎn)a的左側(cè)的點(diǎn)處的切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；而在點(diǎn)b的左側(cè)的點(diǎn)處的切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正.（一開始畫圖,f（a）=0,f（b）=0,f（x）0,f（x）0，可不必標(biāo)上去，等學(xué)生回答后再在圖上標(biāo)出）師那么如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，是否可以總結(jié)一下判別f（x0）是極大或極小值的方法.生如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f（x）0,右側(cè)f（x）0,那么f（x0）是極大值.如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f（x）0,右側(cè)f（x）0,那么f（x0）是極小值.（打開幻燈片3.7.1 B）師我們知道，可導(dǎo)函數(shù)如果x0是極值點(diǎn)，那么f（x0）=0，所以可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，

10、那么反過來，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？生不是.師舉個(gè)例子.（學(xué)生舉例，老師板書）（板書）y=x3,在x=0處.y=（x3）=3x2,yx=0=0,當(dāng)x0時(shí)，y0,當(dāng)x0時(shí)，y0,由極大、極小值的定義知,x=0不是極值點(diǎn).師再來看一個(gè)例子.（板書）y=x,在x=0處.y=x在x=0處不可導(dǎo).當(dāng)x0時(shí)y0,當(dāng)x0時(shí)y0,x=0是y=x的極小值點(diǎn).2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，而一點(diǎn)是極值點(diǎn)的充分條件是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，即可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)，且對(duì)于一般的函數(shù)，函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).（二）課本例題例1求y=x3-4x+4

11、的極值.解：y=（x3-4x+4）=x2-4=（x+2）（x-2）,令y=0,解得x1=-2,x2=2.當(dāng)x變化時(shí)，y、y的變化情況如下表：x（-,-2）-2（-2,2）2（2,+）y+0-0+y極大值極小值-當(dāng)x=-2時(shí)，y有極大值且y極大值=；當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值且y極小值=-.例2求y=（x2-1）3+1的極值.解：y=6x（x2-1）2=6x（x+1）2（x-1）2，令y=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1.當(dāng)x變化時(shí)，y、y的變化情況如下表：x（-,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,+）y-0-0+0+y無極值極小值0無極值當(dāng)x=0時(shí)，y有極小值且y極小值=0.師這就是

12、我們解極值問題的一般解法，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，能否總結(jié)一下，求極值的具體步驟呢？生第一，求導(dǎo)數(shù)f（x）.第二，令f（x）=0求方程的根.第三，列表,檢查f（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右都是正，或者左右都是負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處無極值.師這位同學(xué)回答得很好，他把無極值的情況也總結(jié)了一下.而書本上的總結(jié)只是針對(duì)例1的情況，我們可以根據(jù)例1、例2，把所有的情況都總結(jié)一下.但這個(gè)解法的前提是對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言的.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn).（打出幻燈片3.7.1 C）（三

13、）精選例題例1已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10,求f（2）的值.解:f（x）=3x2+2ax+b,又在x=1處有極值為10,兩式相減得a2-a-12=0,a=4,a=-3.當(dāng)a=4時(shí),b=-11;當(dāng)a=-3時(shí),b=3.當(dāng)f（x）=x3+4x2-11x+16時(shí),f（2）=8+4×4-11×2+16=18;當(dāng)f（x）=x3-3x2+3x+9時(shí),f（2）=8-3×4+3×2+9=11.例2已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:f（x）=3x2+2ax+a+6,令f（x）=0,3

14、x2+2ax+a+6=0有兩個(gè)不同的解.0.4a2-12（a+6）0.a2-3a-180.a6或a-3,即所求a的取值范圍是（-,-3）（6,+）.課堂練習(xí)求下列函數(shù)的極值.（1）y=x2-7x+6;（2）y=x3-27x.解：（1）y=（x2-7x+6）=2x-7,令y=0，解得x=.當(dāng)x變化時(shí)，y,y的變化情況如下表:x（-,）（,+）y-0+y極小值-當(dāng)x=時(shí)，y有極小值，且y極小值=-.（2）y=（x3-27x）=3x2-27=3（x+3）（x-3）,令y=0,解得x1=-3,x2=3.當(dāng)x變化時(shí)，y,y的變化情況如下表:x（-,-3）-3（-3,3）3（3,+）y+0-0+y極大值5

15、4極小值-54當(dāng)x=-3時(shí)，y有極大值，且y極大值=54;當(dāng)x=3時(shí)，y有極小值，且y極小值=-54.課時(shí)小結(jié)學(xué)生總結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法，求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的三個(gè)步驟，還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在整個(gè)定義區(qū)間可能有多個(gè)極值，且要在這點(diǎn)處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要看這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號(hào).函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn).課后作業(yè)（一）課本P130習(xí)題3.71.（二）復(fù)習(xí)并總結(jié)這節(jié)的內(nèi)容.板書設(shè)計(jì)3.7.1函數(shù)的極值（一）畫圖舉例:y=x3,在x=0處.y=x,在x=0處.課本例題例1.求y

16、=x3-4x+4的極值.例2.求y=（x2-1）3+1的極值.1.函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大（極?。┲?，且函數(shù)要在這點(diǎn)處連續(xù).2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，充分條件是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào).精選例題例1.例2.課堂練習(xí)求下列函數(shù)的極值:（1）y=x2-7x+6;（2）y=x3-27x.課時(shí)小結(jié)課后作業(yè)備課資料關(guān)于9sinx+16cscx值域的研究王思儉第五屆“希望杯”高二第二試二4:函數(shù)y=9sinx+16cscx,x（0, ,則函數(shù)的最小值為_.1.挖掘多種解法，揭示解題思想思路1:本題不能直接使用均值不等式求最小

17、值,因?yàn)殡m然有9sinx+16cscx2=24,但等號(hào)成立的充要條件是9sinx=16cscx,即sinx=（0,1,但可借助函數(shù)y=9t+,t（0,1的單調(diào)性來求解.解：令sinx=t（0,1,則y=9t+,易證函數(shù)y在（0,1上是單調(diào)遞減的，所以當(dāng)t=1，即x=時(shí),ymin=25.思路2：雖然不能直接使用均值不等式求最小值，但只要對(duì)進(jìn)行分析就可以利用了.解：y=9（sinx+）+9·2+=18+18+=25，兩處不等式中等號(hào)成立的充要條件都是sinx=1.故ymin=25.思路3：令sinx=t（0,1,于是問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程9t2-yt+16=0在（0,1中至少有一

18、個(gè)根時(shí)，求參數(shù)y的取值范圍，利用二次函數(shù)圖象就可求得.解：令sinx=t,原式化為9t2-yt+16=0, t（0,1，（*）此方程在（0,1內(nèi)至少有一個(gè)解.首先應(yīng)有0,即y24.由于二次函數(shù)f（t）=9t2-yt+16的對(duì)稱軸t=1,所以有解得y25.思路4：可從原式中解出sinx，再利用正弦sinx（0,1求解.解：原式化為9（sinx）2-ysinx+16=0,當(dāng)0,即y24時(shí)，sinx=.而y24,0sinx1,所以01.解得y25,故ymin=25.2.挖掘試題內(nèi)涵，培養(yǎng)揭示能力引申1：函數(shù)y=ax+的性質(zhì)（ab0）.（如下表） 條件圖象與性質(zhì)項(xiàng)目圖象奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)極

19、值y極大=-2ab,y極小=2ab無極值y極大=-2ab,y極小=2ab無極值圖象極值點(diǎn)極大值點(diǎn)：（-,-2）極小值點(diǎn)：（,2）無極大值點(diǎn)：（,-2）極小值點(diǎn)：（-,2）無漸近線方程x=0及y=axx=0及y=axx=0及y=axx=0及y=ax遞增區(qū)間（-,-和,+）無-,0）和（0,（-,0）和（0,+）遞減區(qū)間（-,0）和（0，）（-,0）和（0,+）（-,-）和（,+）無引申2：函數(shù)y=（a0,b0,m、nN,0x）.（1）若abnm，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1時(shí)，有最小值ymin=+b.（2）若abnm,當(dāng)且僅當(dāng)sinx=時(shí)，有最小值ymin=（m+n）.證明：（1）y=+（ab+1），因

20、為abn-m0,而1,所以ymin=（ab+1）=+b.取等號(hào)的充要條件為sinx=1.（2）y=+（m+n）=（m+n）.3.挖掘應(yīng)用功能，提高解題能力賽題及引申給出了這類問題的一般圖象和性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這些性質(zhì)解題，尤其是高考和競(jìng)賽題，可以培養(yǎng)靈活解題的能力.例1（1988年全國(guó)高考,文6）解不等式lg（x-）0.解：原不等式為0x-1,由函數(shù)y=x-的圖象（如圖3-19），知不等式解集為（-1,x1）（1,x2）（x1,x2為方程x-=1的兩個(gè)根,即）.圖3-19例2（1986年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）設(shè)a1,a、均為實(shí)數(shù)，求當(dāng)變化時(shí)，函數(shù)的最小值.解：令1+sin=t（0,2，則y=t+2+a,a1,a-10.故u=t+（a1,0t2）的圖象是位于第一象限的曲線段（如圖3-20）.圖3-20根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，極小值點(diǎn)為（,）.于是當(dāng)02,即1a時(shí)，ymin=+a+2.當(dāng)2,即a時(shí)，函數(shù)y在（0,2上是減函數(shù)，