中考數(shù)學(xué)思維方法講義：第9講二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用(I)

1、研亂文檔狀 元 廊 數(shù) 學(xué) 思 維 方 法 講 義 之 九年級(jí)：九年級(jí)20192020年中考數(shù)學(xué)思維方法講義：第9講 二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用（I）【今日目標(biāo)】1、學(xué)會(huì)建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（與方程、分段函數(shù)、最值相結(jié)合）：2、能在限制條件下求出符合題意的最值?！揪手R(shí)】【引例】求下列二次函數(shù)的最值：（1）求函數(shù)的最值.（2）求函數(shù)的最值.方法歸納：如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在 處取得最大值（或最小值）.如果自變量的取值范圍是，分兩種情況：頂點(diǎn)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，以為例，最大值是:最小值是頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性專題一應(yīng)用之利潤(rùn)最值問(wèn)題

2、【例1】某種商品的進(jìn)價(jià)為每件50元，售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣出200件：如果 每件商品的售價(jià)上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于72元），設(shè)每件商品的 售價(jià)上漲x元（x為整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量才的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少時(shí)每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少？變式練習(xí)：某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件30,每個(gè)月可買出180件：如果每件商品的售 價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月就會(huì)少賣出10件，但每件售價(jià)不能高于35元，設(shè)每件商品的售價(jià) 上漲元（為整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為的取值范圍為元。（1）求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫

3、出自變量的取值范圍：（2）每件商品的售價(jià)為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰好是1920元？解題回顧：總利潤(rùn)= * ：找出價(jià)格和銷售量之間的關(guān)系，注意 結(jié)合自變量的取值求得相應(yīng)的售價(jià).【例2】某電子商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過(guò)程發(fā)現(xiàn)，每 月銷量），（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)尸一2x+100.（利潤(rùn)= 售價(jià)一制造成本）（1）寫出每月的利潤(rùn)z （萬(wàn)元）與銷售單價(jià)x（元）之間函數(shù)解析式：（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能夠獲得350萬(wàn)元的利潤(rùn)？當(dāng)銷售單價(jià)為多少 元時(shí)，廠商每月能夠獲

4、得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（3）根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不得高于32元.如果廠商要獲得每 月不低于350萬(wàn)元的利潤(rùn)，那么制造這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬(wàn)元？解題回顧：先利用“成本不高于多少，利潤(rùn)不低于多少''等條件求得自變量的,然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象求最值.【例3】某科技開(kāi)發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價(jià)定 為3000元.在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購(gòu)買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一 次購(gòu)買這種新型產(chǎn)品不超過(guò)10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次購(gòu)買該種產(chǎn)品超過(guò)10件 時(shí)，每多購(gòu)買一件，所購(gòu)買的全部產(chǎn)品的銷售

5、單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600 元.（1）商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品多少件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元？（2）設(shè)商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品x件，開(kāi)發(fā)公司所獲的利潤(rùn)為y元，求y（元）與x（件）之間 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購(gòu)買產(chǎn)品的件數(shù)超過(guò)某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著 一次購(gòu)買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤(rùn)反而減少這一情況.為使商家一次購(gòu)買的數(shù)量越多, 公司所獲的利潤(rùn)越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元？（其它銷售條件不變）解題回顧：分段函數(shù)求最值時(shí)，要根據(jù)各段函數(shù)自變量的 求相應(yīng)的最值。專題二 應(yīng)用之面積最值問(wèn)題【例4】把一邊長(zhǎng)為40cm的正方

6、形硬紙板，進(jìn)行適當(dāng)?shù)募舨?，折成一個(gè)長(zhǎng)方形盒子（紙 板的厚度忽略不計(jì)）。（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一 個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形盒子。要使折成的長(zhǎng)方形盒子的底面積為484cm2,那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？折成的長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的正 方形的邊長(zhǎng)：如果沒(méi)有，說(shuō)明理由。（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙 板的邊上），將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形盒子，若折成的一個(gè)長(zhǎng)方形盒子的表而積為 550cm2,求此時(shí)長(zhǎng)方形盒子的長(zhǎng)、寬、高（只需求出符合要求的一種情況），變式練習(xí)：如圖

7、，在邊長(zhǎng)為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直 角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒（A. B. C. D四個(gè)頂點(diǎn)正 好重合于上底而上一點(diǎn)）.己知E、F在AB邊上，是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的 兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=x （cm）.（1）若折成的包裝盒恰好是個(gè)正方體，試求這個(gè)包裝盒的體積V：（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底而）面積S最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值?層;E鎏一晟專題三實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例5】如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)0處練習(xí)發(fā)球，將球從。點(diǎn)正上方2 s的片處發(fā)出， 把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x（加滿足關(guān)系式產(chǎn)a（

8、.L6"+力.已知球 網(wǎng)與。點(diǎn)的水平距離為9出 高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距。點(diǎn)的水平距離為18匹（1）當(dāng)斤2.6時(shí)，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）：（2）當(dāng)斤2. 6時(shí)，球能否越過(guò)球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說(shuō)明理由：（3）若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，求方的取值范圍?！纠?】盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1 ： 11000的比例圖上, 跨度AB=5 cm,拱高0ao. 9 cm,線段正表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DE/AB如圖（1）.在比例圖 上，以直線相為X軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，以1曲作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度，建立平面直 角坐標(biāo)系，如圖（2）.（2）（1

9、）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出自變量的取值范闈:（2）如果應(yīng)與弱的距離。仁0.45 cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)（備用數(shù)據(jù)：，實(shí)用文檔研亂文檔計(jì)算結(jié)果精確到1米）.變式練習(xí)：如圖，小明在一次高爾夫球爭(zhēng)衢賽中，從山坡下。點(diǎn)打出一球向球洞月點(diǎn)飛去，球的飛 行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球達(dá)到最大水平高度12米時(shí)，球移動(dòng)的水平距 離為9米.已知山坡）與水平方向3的夾角為30°, 0、月兩點(diǎn)相距8米.（1）求出點(diǎn)月的坐標(biāo)及直線）的解析式；（2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式：（3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從。點(diǎn)直接打入球洞A點(diǎn).實(shí)用文檔【課后測(cè)試】（

10、成都各區(qū)、縣20110年度期末調(diào)研試卷26小題選編）1、（青羊區(qū)26）近年來(lái)，我市為了增強(qiáng)市民環(huán)保意識(shí)，政府決定對(duì)購(gòu)買太陽(yáng)能熱水器的市 民實(shí)行政府補(bǔ)貼。規(guī)定每購(gòu)買一臺(tái)熱水器，政府補(bǔ)貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場(chǎng)銷售太陽(yáng)能 熱水器臺(tái)數(shù)y （臺(tái)）與每分補(bǔ)貼款額x （元）之間大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.隨 著補(bǔ)貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺(tái)彩電的收益Z （元）會(huì)相應(yīng)降低， 且Z與x之間也大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.（1）在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前，該商場(chǎng)銷售太陽(yáng)能熱水器的總收益額為多少元？（2）在政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，分別求出該商場(chǎng)銷售太陽(yáng)能熱水器臺(tái)數(shù)y和每臺(tái)太陽(yáng)能熱 水器的 收益z與政府補(bǔ)貼

11、款額x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使該商場(chǎng)銷售太陽(yáng)能熱水器的總收益w （元）最大，政府應(yīng)將每臺(tái)補(bǔ)貼款額x定 為多少并求出總收益W的最大值.2、（金牛區(qū)26）某地區(qū)準(zhǔn)備籌辦特色小商品展銷會(huì)，芙蓉工藝廠設(shè)計(jì)一款成本為10元/件 的工藝品投放市.場(chǎng)進(jìn)行試銷，經(jīng)過(guò)調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：消售單價(jià)X（元/件）2030405060 每天消售里牛） 500400300200100（1）已知y與x之間是一次函數(shù)關(guān)系，求出此函數(shù)關(guān)系式：（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少?（利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）3、（高新區(qū)26）政府大力支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)。大學(xué)畢業(yè)生小明在政府的扶持下投資

12、銷售一種進(jìn)價(jià)為每 件30元的學(xué)生臺(tái)燈。銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):=T0+700.（1）小明每月獲得的利潤(rùn)為近元），試問(wèn)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？ 最大利潤(rùn)是多少？（2）如果小明想要每月獲得3000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？4、某汽車租賃公司擁有20輛同類汽車.據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為400元時(shí)，可全部租 出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項(xiàng)支出 共4800元.設(shè)公司每日租出輛車時(shí)，日收益為y元.（日收益二日租金收入一平均每日 各項(xiàng)支出）（1）公司每日租出x輛車時(shí)，每輛車

13、的日租金為 元（用含x的代數(shù)式表示，要求填寫化簡(jiǎn)后的結(jié)果）；（2）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司的日收益不盈也不虧？（3）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司日收益最大？最大是多少元？【部分答案】例1變式解析：（1）銷售利潤(rùn);每件商品的利潤(rùn)X （180 10X上漲的錢數(shù)），根據(jù)每件售 價(jià)不能高于35元，可得自變量的取值：（2）利用公式法結(jié)合（1）得到的函數(shù)解析式可得二次函數(shù)的最值，結(jié)合實(shí)際意義，求得整 數(shù)解即可；（3）讓（1）中的產(chǎn)1920求得合適的x的解即可.解答：解：（1）尸（30 -20+a-） （180 -IO.y） =-10Y+80aH-1800 （0WxW5,且 x 為整數(shù)）；（2）當(dāng)2時(shí),

14、y*大=1960元；.每件商品的售價(jià)為34元.答：每件商品的售價(jià)為34元時(shí)，商品的利潤(rùn)最大，為1960元；(3) ) 1920=-10x+80aH-1800,丁一8/12=0, 即 (*一2) (*6)=0,解得在2或 產(chǎn)6,0Wx<5,，v2,，售價(jià)為32元時(shí)，利潤(rùn)為1920元.【例 2】解：(1) z=(x - 18)=(.¥ -18)( -2x+100).Z與X之間的函數(shù)解析式為.(2)由 z=35O,得 350二,解此方程，得.,銷售單價(jià)應(yīng)定為25元或43元.因此，每月的最低制造成本需要648萬(wàn)元.【例3】解：(1)設(shè)件數(shù)為x,依題意，得3000 10 (x-10) =

15、2600,解得x=50, 答：商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品50件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元。(2)當(dāng)OWxWlO時(shí)，y= (3000-2400) x=600x：當(dāng) 10VxW50時(shí)，y=x,即尸一 10x4700x：當(dāng)x>50時(shí)，y= (2600-2400) x=200x.600x(0<x<10, ILx為整數(shù))y = pl0x2+ 700x(10<x<50, lix為整數(shù)).200x(x>50,旦x為整數(shù)) *(3)由y二一 10x斗700x可知拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)y有最大值,此時(shí)，銷售單價(jià)為3000 10 (x-10)=2750元，答：公司應(yīng)將最低銷售單

16、價(jià)調(diào)整為2750元?！纠?】解：(1)設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm。則(402x) 2=484,解得(不合題意，舍去)，.剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為9cm。側(cè)面積有最大值。設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm,盒子的側(cè)而積為ycm2, 則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y = 4(40-2x)x = -8x2 +160x= -8(x-10)2 +800 ,/ x= 10 時(shí)，y 餐大=800 °即當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為10cm時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為800cm2 o(2)在如圖的一種剪裁圖中，設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm。則 2(40 - 2x)(2。一 x) + 2x(20-x) + 2x(40 一 2

17、x) = 550 ,解得：(不合題意，舍去),。.剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為15cm“此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為15cm,寬為10cm,高為5cm0【例4變式】解：(1)根據(jù)題意，知這個(gè)正方體的底面邊長(zhǎng)a=x, EF=a=2x,，x+2x+x=24,解得：x=6o 則 a=6,AV=a3= (6) 3=432 (cm3)；(2)設(shè)包裝盒的底而邊長(zhǎng)為acm,高為hen】，貝ija=x.24-2xV2= V2(12-x),/. S=4ah+a2=4>/2x-V2(12-x) + (V2x)2 =-6x2+96x=-6(x-8)2 +238 0V0<x<12, 二當(dāng) x=8 時(shí)，S 取得最大值

18、 384cm20【例5】解：(1)把芹0,產(chǎn)，及爾2.6代入到產(chǎn)乳廠6尸+力，即2r(0 6尸+2.6,，當(dāng)52.6時(shí)，y與x的關(guān)系式為產(chǎn)(*一6尸+2. 6(2)當(dāng)爐2.6時(shí)，產(chǎn) (*一6尸+26:當(dāng)產(chǎn)9時(shí)，產(chǎn)(9-6)>2. 6=2.45>2, 43,，球能越過(guò)網(wǎng)。,當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，即(18 - 工尸+2. 6=0,解得一>18,，球會(huì)過(guò)界。(3)把0,尸2,代入到產(chǎn)a (a-6)=+A得。行9 時(shí)，產(chǎn)(9-6)=+A>2.43 行18時(shí)，產(chǎn)(18-6尸+5W0由解得方2。若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，方的取值范圍為方2。變式解：(1)在Rt月人中，9：ZA0C3Q° , 614=8,：.AC=OA sin3003X 二， O