第十八講幾何光學(xué)

1、第一講 幾何光學(xué)§ 1.1幾何光學(xué)基礎(chǔ)1、光的直線傳播：光在同一均勻介質(zhì)中沿直線傳播。2、光的獨(dú)立傳播：幾束光在交錯(cuò)時(shí)互不妨礙，仍按原來(lái)各自的方向傳播。3、光的反射定律： 反射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)； 反射光線和入射光線分居法線兩側(cè)； 反射角等于入射角。4、光的折射定律： 折射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)； 折射光線和入射光線分居法線兩側(cè)； 入射角ii與折射角'2滿足ni sinii % sini?； 當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)中傳播，且入射角大于臨界角C時(shí)，將發(fā)生全面反射現(xiàn)象（折射率為ni的光密介質(zhì)對(duì)折射率為門2的光疏介質(zhì)的臨界角sin C0圖 1-2-1

2、67; 1.2光的反射、組合平面鏡成像：1組合平面鏡由兩個(gè)以上的平面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡的光線往 往要在平面鏡之間發(fā)生多次反射，因而會(huì)出現(xiàn)生成 復(fù)像的現(xiàn)象。先看一種較簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，兩面互相垂 直的平面鏡（交于 0點(diǎn)）鏡間放一點(diǎn)光源 S （圖 1-2-1），S發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)兩個(gè)平面鏡反射后形成 了 S,、S2、S3三個(gè)虛像。用幾何的方法不難證明： 這三個(gè)虛像都位于以0為圓心、0S為半徑的圓上，而且S和s、S和£、S1和S3、S2和S3之間都以平面鏡（或它們的延長(zhǎng)線）保持著對(duì) 稱關(guān)系。用這個(gè)方法我們可以容易地確定較 復(fù)雜的情況中復(fù)像的個(gè)數(shù)和位置。兩面平面鏡A0和B

3、0成60o角放置（圖1-2-2），用上述規(guī)律，很容易確定像的位置：S3圖 1-2-2以0為圓心、0S為半徑作圓；過(guò)S做A0和BO的垂線與圓交于Sl和S2 ；過(guò)S和S2作bo和AO的垂線與圓交于S3和S4 ；過(guò)S3和S4作ao和bo的垂線與圓交于S5, Sl S5便是S在兩平面鏡中 的5個(gè)像。雙鏡面反射圖 1-2-3例1.如圖1-2-3，兩鏡面間夾角a=i5o,OA=10cm, A 點(diǎn)發(fā)出的垂直于L2的光線射向Li后在兩鏡間反復(fù)反 射，直到光線平行于某一鏡面射出，則從A點(diǎn)開(kāi)始到最后一次反射點(diǎn)，光線所走的路程是多少？2、全反射全反射光從密度媒質(zhì)1射向光疏媒質(zhì)2，當(dāng)入射角大于臨界角a arcsin匹

4、ni時(shí)，光線發(fā)生全反射。圖 1-2-5全反射現(xiàn)象有重要的實(shí)用意義，如現(xiàn)代通訊的 重要組成部分一一光導(dǎo)纖維，就是利用光的全反射 現(xiàn)象。例2.圖1-2-5是光導(dǎo)纖維的示意圖。AB為其端面, 纖維內(nèi)芯材料的折射率n1=1.3，外層材料的折射率 n2=1.2，試問(wèn)入射角在什么范圍內(nèi)才能確保光在光 導(dǎo)纖維內(nèi)傳播？P1 SP2MbN_AB圖 1-2-6例3、如圖1-2-6所示，AB表示一平直的平面 鏡，RF2是水平放置的米尺（有刻度的一面朝著平 面鏡），MN是屏，三者相互平行，屏 MN上的ab 表示一條豎直的縫（即 ab之間是透光的）。某人 眼睛緊貼米尺上的小孔 S （其位置如圖所示），可 通過(guò)平面鏡看到

5、米尺的一部分刻度。試在本題圖上 用三角板作圖求出可看到的部位，并在 RF2上把這 部分涂以標(biāo)志。例4、兩個(gè)平面鏡之間的夾角為45o、60o、120o。而物體總是放在平面鏡的 角等分線上。試分別求出像的個(gè)數(shù)。0A圖 1-2-11E圖 1-2-14例5、要在一張照片上同時(shí)拍攝物體正面和 幾個(gè)不同側(cè)面的像，可以在物體的后面放兩個(gè)直 立的大平面鏡AO和B0,使物體和它對(duì)兩個(gè)平面 鏡所成的像都攝入照像機(jī)，如圖1-2-11所示。圖 中帶箭頭的圓圈P代表一個(gè)人的頭部（其尺寸遠(yuǎn) 小于0C的長(zhǎng)度），白色半圓代表人的臉部，此 人正面對(duì)著照相機(jī)的鏡頭；有斜線的半圓代表腦 后的頭發(fā)；箭頭表示頭頂上的帽子，圖1-2-1

6、1為 俯視圖，若兩平面鏡的夾角/ AOB=72o,設(shè)人頭 的中心恰好位于角平分線0C上，且照相機(jī)到人 的距離遠(yuǎn)大于人到平面鏡的距離。1、試在圖1-2-11中標(biāo)出P的所有像的方位 示意圖。2、在方框中畫出照片上得到的所有的像 （分 別用空白和斜線表示臉和頭發(fā)，用箭頭表示頭頂 上的帽子）。本題只要求畫出示意圖，但須力求準(zhǔn)確。例6五角棱鏡是光學(xué)儀器中常用的一種元件， 如圖1-2-14所示。棱鏡用玻璃制成，BC、CD兩平面 高度拋光，AB、DE兩平面高度拋光后鍍銀。試證明： 經(jīng)BC面入射的光線，不管其方向如何，只要它能經(jīng) 歷兩次反射（在AB與DE面上），與之相應(yīng)的由CD 面出射的光線，必與入射光線垂直

7、。例7、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2-16所示的形狀， 一束平行光垂直地射入平表面 A上。試確定通過(guò)表面 A進(jìn)入的 光全部從表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射為1.5。圖 1-2-16例8.普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯A圖 1-2-18和包層B組成，B的折射率小于A的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由 一端面射入的光在很長(zhǎng)的光纖中傳播時(shí)，在纖芯 A和包層B的分界面上發(fā)生多 次全反射?，F(xiàn)在利用普通光纖測(cè)量流體 F的折射率。實(shí)驗(yàn)方法如下：讓光纖的 一端（出射端）浸在流體F中。令與光 纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折 射后會(huì)聚在光纖入射端面的中心 0。

8、經(jīng) 端面折射進(jìn)入光纖，在光纖中傳播。由 于0點(diǎn)出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊 緣光線和軸的夾角為ao，如圖1-2-18所示。最后光從另一端面出射進(jìn)入流體 F 在距出射端面h1處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏 D，在D上出現(xiàn)一圓形光斑， 測(cè)出其直徑為d1，然后移動(dòng)光屏D至距光纖出射端面h2處，再測(cè)出圓形光斑 的直徑d2，如圖1-2-19所示。圖 1-2-19參考答案例1.如圖1-2-4所示，光線經(jīng)Li第一次反射的反射線為BC,根據(jù)平面反射 的對(duì)稱性，BC BC，且/ BOC a。上述 A,B,C,D均在同一直線上，因此光線在 Li、L2之 間的反復(fù)反射就跟光線沿 ABC直線傳播等效。設(shè) N是光線第n

9、次反射的入射點(diǎn)，且該次反射線不再 射到另一個(gè)鏡面上，則n值應(yīng)滿足的關(guān)系是na<900o (n 1)a， n 6。取 n=5，Z N OA 75 ， a總路程 AN OAtg 537.3cm。例2.圖1-2-5中的r表示光第一次折射的折 射角，B表示光第二次的入射角，只要B大于臨界角，光在內(nèi)外兩種材料的界面 上發(fā)生全反射，光即可一直保持在纖維內(nèi)芯里傳播。sin 1 n211 “2 1 1.20sin sin67.4 r 90°67.4°22.6°n11.32sin i/si nr1.3/1只要 sini 0.50,i30° 即可。例3.分析：本題考查

10、平面鏡成像規(guī)律及成像作圖。人眼通過(guò)小孔看見(jiàn)的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，反射光線 進(jìn)入人的眼睛，人才會(huì)看到米尺刻度的像?？梢酝ㄟ^(guò)兩種方法來(lái)解這個(gè)問(wèn)題。:?Ma b1 N冶-SRP2圖 1-2-7圖 1-2-8SP2 R SM b NM a_/N A ； C D B A CD ：B解法一：相對(duì)于平面鏡AB作 出人眼S的像S。連接Sa并延長(zhǎng) 交平面鏡于點(diǎn)C,連接S與點(diǎn)C并 延長(zhǎng)交米尺RP2于點(diǎn)E，點(diǎn)E就是 人眼看到的米尺刻度的最左端；連 接Sb并延長(zhǎng)交米尺P1P2于點(diǎn)F,且 Sb與平面鏡交于D，連接S與點(diǎn)D， 則點(diǎn)F就是人眼看到的米尺刻度的 最右端。E與F之間的米

11、尺刻度就是人眼可看到部分，如圖1-2-7所示。解法二：根據(jù)平面鏡成像的對(duì)稱性,作米尺RB及屏MN的像，分別是P P2及M N ， a、b的像分別為a，b，如圖1-2-8所示。連接Sa交AB于點(diǎn)C,延長(zhǎng)并交P1 P2于點(diǎn)E ,過(guò)點(diǎn)E作P1P2(AB)的垂線，交于點(diǎn)E,此點(diǎn)就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接Sb交AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)并交P P2于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作pip2(AB)的垂線交于點(diǎn)F，點(diǎn)F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分 就是人眼通過(guò)平面鏡可看見(jiàn)的米尺部分。點(diǎn)評(píng)：平面鏡成像的特點(diǎn)是物與像具有對(duì)稱性。在涉及到平面鏡的問(wèn)題中, 利用這一特點(diǎn)常能使問(wèn)題得以簡(jiǎn)潔明晰的解決。例4.分析：由第一面

12、 鏡生成的像，構(gòu)成第二面鏡 的物，這個(gè)物由第二面鏡所 成的像，又成為第一面鏡的 物，如此反復(fù)下去以至無(wú)窮。 在特定條件下經(jīng)過(guò)有限次循 環(huán)，兩鏡所成像重合，像的 數(shù)目不再增多，就有確定的 像的個(gè)數(shù)。解：設(shè)兩平面鏡A和B 的夾角為2B，物P處在他 們的角等分線上，如圖1-2-9 (a)所示。以兩鏡交線經(jīng)過(guò) 的0點(diǎn)為圓心，0P為半徑 作一輔助圓，所有像點(diǎn)都在 此圓周上。由平面鏡A成的 像用P,PsL表示，由平面鏡1A001045oP2P6PBP5P4P2P0oOB(c)(d)圖 1-2-9B成的像用巳,P4L表示。由圖不難得出:R，R 在圓弧上的角位置為(2k 1) ,P2,P4在圓弧上的角位置為2

13、(2k1)。其中k的取值為k=1，2,若經(jīng)過(guò)k次反射，A成的像與B成的像重合,則(2k1)2(2k 1)k即2當(dāng)245o時(shí)，k=4,有7個(gè)像，如圖1-2-9 (a)所示;4當(dāng)260°時(shí)，k=3，有5個(gè)像，如圖1-2-9 (b)所示；32當(dāng)2120° 一時(shí)，k=1.5，不是整數(shù)，從圖1-2-9 (d)可直接看出，物P3經(jīng)鏡A成的像在鏡B面上，經(jīng)鏡B成的像則在鏡A面上，所以有兩個(gè)像。APB圖 1-2-12圖 1-2-13例5解：本題的答案如圖1-2-13所示例6.解：如圖1-2-15所示，以i表示入射角,i表示反射角，r表示折射角，次序則以下標(biāo)注明。光線自透明表面的a點(diǎn)入射，在

14、棱鏡內(nèi)反射兩次，由CD面的e點(diǎn)出射?？梢钥吹贸?，在 DE面的b點(diǎn);入射角為i2 r122.5°于是，i3 i3 90°22.5° r在厶cdb中FY 4圖 1-2-15反射角為i2 i2 r1 22.5在四邊形bEAC中，a 90o i290o r122.5o 67.5。r1而360°2 112.5° a 1350(67.5° rjo= 67.5 r1/ cdb=180° (i2 i2) (i3 i3)=180 °2(r122.5°) 2(22.5° r1)90°這就證明了：進(jìn)入棱鏡內(nèi)

15、的第一條光線ab總是與第三條光線ce互相垂直。由于棱鏡的C角是直角，r1 =360°-270°-n，/ dec=90°- / dec=i1。設(shè)棱鏡的折射率為根據(jù)折射定律有sinh nsinnsinr4n si n i4ri 4 il總是成立的，而與棱鏡折射率的大小及入射角il的大小無(wú)關(guān)。只要光路符合上面的要求，由 BC面的法線與CD面的法線垂直，又有ii r4，出 射光線總是與入射光線垂直，或者說(shuō)，光線經(jīng)過(guò)這種棱鏡，有恒點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)角一一90o。例7.分析：如圖1-2-17所示，從A外側(cè)入射的光線在外側(cè)圓界面上的入 射角較從A內(nèi)側(cè)入射的光線入射角要大，最內(nèi)側(cè)的入射光在

16、外側(cè)圓界面上的入 射角a最小。如果最內(nèi)側(cè)光在界面上恰好發(fā)生全反射， 并且反射光線又剛好與內(nèi) 側(cè)圓相切，則其余的光都能保證不僅在外側(cè)圓界面上，而且在后續(xù)過(guò)程中都能夠 發(fā)生全反射，并且不與內(nèi)側(cè)圓相交。因此，抓住最內(nèi)側(cè)光線進(jìn)行分析，使其滿足 相應(yīng)條件即可。解：當(dāng)最內(nèi)側(cè)光的入射角a大于或等于反射臨界角時(shí)，入射光線可全部從B表面射出而沒(méi)有光線從其他地方透出即要求而所以即1sin a nRsin aR dR 1R d nR 1+ d*Ab圖 1-2-17min11.5 1點(diǎn)評(píng) 對(duì)全反射問(wèn)題，掌握全反射產(chǎn)生的條件是基礎(chǔ)，而具體分析臨界條件即“邊界光線”的表現(xiàn)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。例8.分析 光線在光纖中傳播

17、時(shí)，只有在纖芯A與包層B的分界面上發(fā)生 全反射的光線才能射出光纖的端面， 據(jù)此我們可以作出相應(yīng)的光路圖，根據(jù)光的 折射定律及幾何關(guān)系，最后可求出nF。解：（1）由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的 O點(diǎn)出發(fā)，在光纖中傳播的光線 都與軸相交，位于通過(guò)軸的縱剖面內(nèi)，圖 1-2-20為縱面內(nèi)的光路圖。設(shè)由 O點(diǎn) 發(fā)出的與軸的夾角為a的光線，射至 A、B分界面的入射角為i，反射角也為i， 該光線在光纖中多次反射時(shí)的入射角均為 i，射至出射端面時(shí)的入射角為a。若該光線折射后的折射角為i a 90onAsina nF sin,則由幾何關(guān)系和折射定可得當(dāng)i大于全反射臨界角ic時(shí)將發(fā)生全反射，沒(méi)有光能損失，相應(yīng)的光線

18、將以不變的光強(qiáng)射向出射端面。而i ic的光線則因在發(fā)生反射時(shí)有部分光線通過(guò)折 射進(jìn)入B，反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增大而越來(lái)越弱， 以致在未到達(dá)出射端面之 前就已經(jīng)衰減為零了。因而能射向出射端面的光線的i的數(shù)值一定大于或等于ic，ic的值由下式?jīng)Q定:nA sin icnB與ic對(duì)應(yīng)的a值為c 900Bo圖 1-2-20ao ac1 （巧.-22nA 時(shí)，或 nA sin ao pnA nB 時(shí),由O發(fā)出的光束中，只有a ac的光線才滿足i ic的條件下，才能射向端面，此時(shí)出射端面處a的最大值為a max ac 90icsin aosinac cosic.1 sin2 icac- 2 2若a。 ac，即nAsi na0 ：nA nB時(shí)，則由O發(fā)出的光線都能滿足I ic的 條件，因而都能射向端面，此時(shí)出射端面處a的最大值為B也達(dá)最大值，設(shè)為max，由式可知a maxa 0nF Sin maxnA sin amax由、式可得，當(dāng)a0ac時(shí)，nA sin a°nFsin max由至式可得，當(dāng)a0ac時(shí)，端面處入射角a最大時(shí)，折射角nFnACOsicsin max2 2nAnBsin maxmax的數(shù)值可由圖 系求得為1-2-21上的幾何關(guān)sin maxd22d1(d2 dJ/22 (h2 hj2圖 1-2-21于是nF的表達(dá)式應(yīng)為nF