等比數(shù)列知識點并附例題與解析

1、等比數(shù)列知識點并附例題及解析1、 等比數(shù)列的定義：電q q 0 n 2,且n N* , q稱為公比an 12、通項公式：n 1anaga1nqA Bn a1 q0,A B0，首項：a1 ;公比：qq推廣：anmamqqn m 色amq n:m云1 am3、等比中項：(1) 如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，即：A ab或ab注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項 有兩個(4、(2)數(shù)列an是等比數(shù)列an 1 an 1等比數(shù)列的前n項和sn公式:(1) 當(dāng) q 1 時，Sn(2)當(dāng) q 1 時，Sna1A A Bn ABn A ( A, B,A,B為常數(shù))5、等比

2、數(shù)列的判定方法:(1)用定義：對任意的n，都有aman 1qan或anq(q為常數(shù)，an0)an為等比數(shù)列(2)等比中項：an2an 1an 1 (an 1 an1 0)an為等比數(shù)列(3)通項公式:an A Bn A B 0an為等比數(shù)列6等比數(shù)列的證明方法:依據(jù)定義：若anan 1q q 0 n 2,且n N*或an 1 qa“a.為等比數(shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì)：(2) 對任何m, n N*，在等比數(shù)列an中，有a. amqn m。(3) 若 m n s t(m,n,s,t N*)，則 an am as at。特別的，當(dāng) m n 2k 時,2得 anamak注：a1 an a2 an 1 a

3、3an 2(4) 數(shù)列a*，bn為等比數(shù)列，則數(shù)列， ka*，an ， k a*bn，-anbn(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列。(5) 數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔k(k N*)項取出一項(am,am k,am 2k, am 3k,)仍 為等比數(shù)列(6) 如果an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og a an是等差數(shù)列(7) 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn，S2n &，翁，成等比數(shù)列(8)若an為等比數(shù)列，則數(shù)列a1a2an ,an1an2 a2n，a2n1 a2n 2a3n成等比數(shù)列(9)當(dāng)q1 時，;0,貝Wan為遞增數(shù)列 o,貝吒和為遞減數(shù)列a1 0，則an為遞減數(shù)列 當(dāng)00, b0且b，在a

4、, b之間插入n個正數(shù)，x?,xn，使得a, X2，xn, b成等比數(shù)列，求證n x2x2xn V【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(b c)2 + (c a) 2+ (d-b)2= (a d)2.【例6】求數(shù)列的通項公式：(1)a n中，a1 = 2， an+1 = 3an+ 2a中，ai=2，5，且 an+2 3an+1 + 2an= 0【例7】 若實數(shù)a1 a2、a3、a4都不為零，且滿足(a： + a；)a； 2a2 (a1 + a3)a4 + a； + a： = 0求證：a1 a2、a3成等比數(shù)列，且公比為a4.【例8】若a、b、c成等差數(shù)列，且 a+ 1、b、c與a、b、c

5、 + 2都成 等比數(shù)列，求b的值.【例9】已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d,又知1,且 a4=b4， a1O=bio：求a1與d的值；(2)b 16是不是a n中的項?121【例10】 設(shè)an是等差數(shù)列，5=(丄)弘，已知b1 + b2 + b3二勺,281b1b2b3 =丄，求等差數(shù)列的通項.8【例11】三個數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).【例12】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列， 后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是 12，求這四個數(shù)例 13】已知三個數(shù)成等差數(shù)列，

6、其和為 126 ；另外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的對應(yīng)項依次相加， 分別得到 85，76，84求 這兩個數(shù)列例 14】已知在數(shù)列 an 中， a1、a2、a3 成等差數(shù)列， a2、 a3、a4成等比數(shù)列， a3、 a4、 a5 的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明： a1、 a3、 a5 成等比數(shù)列【例 15】 已知 (b c)log mx(c a)log my(a b)log mz=0(1) 設(shè) a，b，c 依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x， y， z 成等比數(shù)列數(shù)列(2) 設(shè)正數(shù) x， y，z 依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證： a，b，c 成等差等比數(shù)列例題解析【例1】 已知Sn是數(shù)列an的

7、前n項和，Sn= pn(p R, n N*)，那么數(shù)列an A. 是等比數(shù)列B. 當(dāng)pz 0時是等比數(shù)列C. 當(dāng)pz 0, pz 1時是等比數(shù)列D. 不是等比數(shù)列分析由 Sn= pn(n N*), 有a =S = p，并且當(dāng)n2時，an=Sn_ Sn-1 = Pn_Pn-1 = (P 1)p n-1p z 0故a2 = (p 1)p，因此數(shù)列a n成等比數(shù)列 p 1 z 0(P 1)pn1P(P 1)(p 2)pn 2p但滿足此條件的實數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選D.說明 數(shù)列an成等比數(shù)列的必要條件是anz 0(n N*)，還要注a意對任n N * , n2,都為同一常數(shù)是其定義規(guī)定的準(zhǔn)確含義

8、.an 1【例2已知等比數(shù)列1, X1, X2，X2n, 2,求X1 X2 X3 X2n.解/ 1, X1, X2，X2n, 2成等比數(shù)列，公比 q 2= 1 q2n+1x1x2x3x2n= q 2n (1+2 n)q 2n ( 2 n 1)q2n【例3等比數(shù)列a n中，已知a2 =4, a =1寸，求通項公式；(2)已知 a3 a4 a5 = 8, 求 a2a3a4aa6 的值.1解(1)a5 = a2q5 2 q =24(-2)n2 =(2(2) J a3 a5 = a4 a3 = 一n 2 _an = a2q =1、n42 a3 = 8a4 = 2又 32 36 = 34-a2a3a4a

9、5a6 = a4 = 32q2. q3.q2n=q1+2+3+ +2nxn，使得 a, xi，X2，, xn, b成等比數(shù)列，求a b2 .證 n X/2,xn V證明 設(shè)這n+ 2個數(shù)所成數(shù)列的公比為q,則b=aqn+1n 1b- qan 1 n XiX2,Xnn2nn aqaq aqaq 2 a b ab v2【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(b c) 2+ (c=(a d)2.證法一 a、b、c、d成等比數(shù)列 a bcb cd b2= ac,c2= bd, ad= bc左邊=b22bc +c2+ c2 2ac + a2 + d2 2bd + b2a) 2+ (d b)2=2(b

10、2 ac) + 2(c2 bd) + (a2 2bc + d2)=a2 2ad+ d2=(a d) 2=右邊證畢.證法二/ a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則:23b= aq, c = aq , d=aq左邊=(aq aq2) 2+ (aq 2 a) 2 + (aq 3 aq) 2=a2 2a2q3+ a2q6=(a aq3)2=(a d) 2=右邊證畢.了求證式中右邊沒有 b、c的特點，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子.證法二則是把 a、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性.【例6

11、】 求數(shù)列的通項公式：(1)a n中，a1 = 2， an+1 = 3an+ 2a n中，ai=2,5，且 an+2 - 3an+1 + 2an= 0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.解(1)a n+! = 3a n + 2%+! + 1 = 3(a n + 1)a n+ 1是等比數(shù)列 an + 仁3 3n-1 an=3n -1(2)a n+2 - 3an+1 + 2an = 0an+2 an+1=2(a n+1 an ) an+1 an是等比數(shù)列，即an+1 an=(a2 a1) -1 =3 2-1再注意到a? a=3,a3 a2=321, a3=3 22，an an-1 =32n 2 ,這些等式相加，

12、即可以得到n 1 丄2n-221n 1an = 31 + 2 + 22 + 2 = 3 2=3(2 1)說明解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列，即化生疏為已知.(1)中發(fā)現(xiàn)an+1是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn)an+1 an是等比數(shù)列，這也是通常說的化歸思想的一 種體現(xiàn).【例7】 若實數(shù)a1 a2、a3、a4都不為零，且滿足(a： + a2)a2 2a2(a1 + a3)a4 + a； + a： = 0求證：a1 a2、a3成等比數(shù)列，且公比為a4.證 /a2、a3、a4均為不為零的實數(shù)- (a1 + a2)x 2az(a1 +a3)x+a2 + 直=0為實系數(shù)一元二次方程等式(af +a2)a4 2a2

13、+a3)a4 +a2 +云=0說明上述方程有實數(shù)根a 上述方程的判別式0, 即卩2 2 2 2 2-2a2（ai + a3） - 4 + a?）? + &3） =4（a；玄代）20二（a； a3）2 w 0又a、a?、a3為實數(shù) （a； - a）2 0 必有 a2 a1a3 = 0 即 a2 = a1a3因而a、a2、a3成等比數(shù)列又；a42a： （ai2（afa3）OITa2 （ aia3）2ai aia3aai a4即為等比數(shù)列aa2、ag的公比.【例8】 若a、b、c成等差數(shù)列，且 a+ 1、b、c與a、b、c + 2都成等比數(shù) 列，求b的值.解 設(shè) a、b、c 分別為 b d、b、b

14、+ d,由已知 b d + 1、b、b + d 與 b d、 b、b+ d + 2都成等比數(shù)列，有b2 = (b - d + i)(b + d)b2 = (b - d)(b + d+ 2)整理，得222b = b - d + b + d222b = b -d + 2 b- 2d b+ d=2b- 2d 即 b=3d代入，得9d2=(3d d+ 1)(3d + d)9d2=(2d + 1) 4d解之，得d=4或d=0(舍) b=12【例9】已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d,又知1, 且 a4=b4， a10=b10：(1)求a1與d的值;(2)b 16是不是a n中的項?思路：運

15、用通項公式列方程3a4 = b4ai + 3d = aid解由9aio = bio a1 + 9d = a1da1(1-d3) = - 3dai(1- d9)= - 9dd6 + d3 - 2 = 0di1(舍)或 d23 2 aid 3 2 d 3 2(2) v bi6=bi d15=-32b1且印=a1 + 3d = 22 = b4b4 = bi d3 = - 2b1 = - 23 2 b1 = a1 =垃 2 b6= 32b = 32a，如果b6是a門中的第k項，則32a i =ai + (k 1)d (k 1)d= 33a1=33d k=34即b16是an中的第34項.121【例10】

16、 設(shè)an是等差數(shù)列，bn =(-)an，已知b1 + b2 + b3二一,281 bib2b3 =1，求等差數(shù)列的通項.8解 設(shè)等差數(shù)列a n的公差為d,貝U an=ai+ (n 1)d1 -bn = (?)ai(n 1)d1 abib3 = (-) 1-(丄嚴(yán)(丄嚴(yán)+(2丿111由b1b2 b3 = 1,解得b；二1 ,解得b2 =,代入已知條件8 8 2bib2b3b1 b2-8b3bib3J理得bi + b3178解這個方程組，得1 、 1b1 =2，b3 = 8或b1 =8，b3 = 2 a= 1, d=2 或 ai=3, d= 2當(dāng) a = 1, d=2 時，an=a + (n 1)

17、d=2n 3當(dāng) ai=3, d=2 時，an=a + (n 1)d=5 2n4就成等差數(shù)列，再把這個等【例11】 三個數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加 差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).解法一按等比數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為aq, aq2由已知：a, aq+ 4, aq2成等差數(shù)列即：2(aq + 4)=a + aq2a, aq+ 4, aq2 + 32成等比數(shù)列即：(aq + 4) 2=a(aq 2 + 32)aq+ 2 = 4a，兩式聯(lián)立解得:這三數(shù)為：2, 6,18 或 9,2a=-9 q = 5 109509解法二按等差數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為 由已知：三個數(shù)成等比數(shù)列b 4, b

18、 + d即：(b 4)2=(b d)(b + d)8b d2 = 16b d, b, b+ d + 32成等比數(shù)列即 b2=(b d)(b + d + 32)232b d 32d = 0、兩式聯(lián)立,解得:26b =-98d =-3或 d=802三數(shù)為2 ,9io950 或 2, 6 ,918 解法三任意設(shè)三個未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1,a2，a3由已知:ai，a2，a3成等比數(shù)列得: a2=aia3ai， a2 + 4, ag成等差數(shù)列得：2(a 2 + 4)=a i + a3ai, a2 + 4, a3 + 32成等比數(shù)列得：(a 2+ 4) 2=ai(a3+ 32)、式聯(lián)立，解得:說明將三個成

19、等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為29i0950a3 =-39aia?3i = 2 a? = 6a3 = i8a d, a,a+ d;將三個成aq）是一種常用技巧，可起到等比數(shù)列的數(shù)設(shè)為a, aq, aq2（或-,a,q簡化計算過程的作用.【例i2】 有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是i6,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是i2,求這四個數(shù).分析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一 設(shè)前三個數(shù)為a d, a, a + d,則第四個數(shù)由已知條件可推得:(a d)2a方法二 設(shè)后三個數(shù)為b, bq, bq2，則第一個數(shù)由已知條件推得為2b bq .方法三 設(shè)第一個數(shù)與第二個數(shù)分別為

20、x, y,則第三、第四個數(shù)依次為 12- y, 16 x.由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求 的四個數(shù)，解法一 設(shè)前三個數(shù)為a d, a, a+ d,則第四個數(shù)為吐.a,(a d)2“依題意，有a d+=16aa+ (a+ d) = 12解方程組得:a1 = 4a2 = 91或2d1 = 4d2 = 6所求四個數(shù)為：0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.解法二 設(shè)后三個數(shù)為：b, bq, bq2，則第一個數(shù)為：2b bq依題意有：2b bq + bq2 = 16b+ bq = 12解方程組得：b2 = 9S =4C或1q1=2q2 =3所求四個數(shù)為

21、：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1. 解法三設(shè)四個數(shù)依次為x, y, 12 y, 16 x.x+ (12 y) = 2y依題意有2y (16 x) = (12 y)2解方程組得：X1 = 0 亠 x2 = 15 或y1 = 4y2 = 9這四個數(shù)為0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.【例13】已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為 126;另外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的對應(yīng)項依次相加，分別得到85, 76, 84.求這兩個數(shù)列.解 設(shè)成等差數(shù)列的三個數(shù)為b d, b, b+ d，由已知，bd + b + b+ d=126 b=42這三個數(shù)可寫成 42 d, 42, 42 + d.再設(shè)另三個數(shù)為 a, aq, aq2.由題設(shè)，得a+ 42 d = 85ap+ 42 = 762aq + 42 + d = 84整理，得a d = 43aq = 342aq + d = 42解這個方程組，得ai=17 或 a2=68當(dāng) a=17 時，q=2, d= 261當(dāng) a= 68時，q 二