一階擬線性偏微分方程的增解與遺解問題

1、代數(shù)方程、部分一階常微分方程和一階擬線性偏微分方程的增解與遺解問題田 云（西北師范大學 數(shù)學與信息科學學院, 甘肅 蘭州 730070）摘 要：討論代數(shù)方程、部分一階常微分方程和一階擬線性偏微分方程的增解與遺解問題.關(guān)鍵詞: 方程; 增解; 遺解中圖分類號:O175.1Extraneous solution and of algebraic equations，parts of the first order differential equations and the first order quasi-linear partial differential equationsTIAN Yu

2、n(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu, China)Abstract: Extraneous solution and problems have been discussed for algebraic equations, parts of the first order differential equations and the first order quasi-linear partial differential eq

3、uations Key words: Equation; extraneous solution; Decreasing root在解代數(shù)方程、部分一階常微分方程和一階擬線性偏微分方程時，由于方程要進行某些非恒等變形，導(dǎo)致未知函數(shù)（變量）的取值范圍擴大或縮小，從而產(chǎn)生增解和遺解的問題. 在本文中，通過歸納總結(jié)并舉例的形式，討論這些方程的增解與遺解現(xiàn)象，并對其原因進行了分析探討.一、 代數(shù)方程的增解與遺解的問題當一個代數(shù)方程確定以后, 未知量的取值范圍也就確定了. 在方程變形中若新方程的未知量取值范圍擴大了就可能引起增解, 反之引起遺解. 方程兩邊同乘以含有未知量的因式時, 會使原方程產(chǎn)生增解;

4、 方程兩邊同除以含有未知量的因式時,會使原方程產(chǎn)生遺解. 為此, 當方程兩邊不得不乘以或除以一個含有未知量的因式時, 就必須驗根. 使所乘因式為零的未知量可能為增解, 使所除因式為零的未知量可能為遺解.熟知代數(shù)方程包括整式方程，分式方程和無理方程6，下面分別對這幾類方程討論其增解或遺解現(xiàn)象，并分析導(dǎo)致這些現(xiàn)象的原因.1 整式方程整式方程分為三類，一元一次方程、一元二次方程和高次方程.我們知道一元一次方程、一元二次方程不存在增解與遺解，而解高次方程的一般指導(dǎo)思想是轉(zhuǎn)化思想，即通過因式分解或換元，把高次方程轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次方程求解. 因此，高此方程也不存在增解與遺解. 進而整式方程不存在增

5、解與遺解.2 分式方程解分式方程的一般方法是去分母, 在分式方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母(即兩邊乘以含未知量的因式)約去分母, 使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程. 因為當最簡公分母等于零時, 這種變形不符合方程的同解原理(方程的兩邊都乘以或除以同一個不等于零的量, 所得方程與原方程同解), 這時得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 因此,解分式方程時, 必須將整式方程得到的解代入原方程進行檢驗. 為了簡便, 可把解得的根直接代入最簡公分母中檢驗, 如果最簡公分母不等于零, 它就是原方程的根; 如果最簡公分母等于, 它就是原方程的增解, 必須舍去.【例1】 解方程 .解原方程等價于 .方程兩邊同

6、乘以最簡公分母，得，整理, 得，解得, .檢驗，把代入最簡公分母，即當時， ；而當時最簡公分母為0, 所以，是原方程的根，而是增解.結(jié)論：分式方程只存在遺解問題，而無增解問題.3 無理方程解無理方程的一般解法是適當移項, 兩邊同次乘方; 化去根號最后使無理方理轉(zhuǎn)化為有理方程. 因為兩邊乘方相當于兩邊同乘以含有未知量的因式, 故可能使未知量取值范圍擴大, 故有產(chǎn)生增解的可能, 所以解無理方程要驗根.【例2】 解方程 .解 原方程可變形為，即，用十字相乘法, 得，此方程可化為兩個簡單方程 , （1.1）, （1.2）由方程（1.1）可得，由方程（1.2）可得.檢驗, 把 代入原方程, 左邊=0,

7、右邊=, 左邊右邊；把代入原方程式, 左邊=, 右邊=2, 左邊=右邊. 所以，=1是原方程的根, 是增解. 有些無理方程還可用某些特殊方法, 如當經(jīng)過整理的方程滿足的形式時, 即可使用合分比定理推出成立, 從而得到一個較為簡單的無理方程求解, 故可能使未知量取值范圍縮小, 就可能有遺解產(chǎn)生.【例3 】 解方程 .解 由合分比定理, 得, 故，解得.在原方程中可以等于2, 但使用合分比定理后所得方程中, 因此方程可能會遺解, 要檢驗. 當時, 原方程左邊, 右邊, 左邊右邊, 因此也是原方程的根.形如 的方程的一般解法是, 兩邊同時開方. 因為兩邊開方相當于兩邊同除以含有未知量的因式, 故可能

8、使未知量取值范圍縮小, 故有可能產(chǎn)生遺解, 所以解此類方程必須驗根.【例4】 解方程 .解 原方程兩邊開方得，解得.因為 , 也是原方程的一個根, 因此原方程的根應(yīng)該為 , .結(jié)論：無理方程既存在遺解問題，也存在增解問題.由于代數(shù)方程的主要問題之一是求方程的根, 與此類似, 常微分方程1的主要問題之一是求方程的解. 在2中，我們知道解常微分方程的最基本最常用的方法是初等積分法, 但是在用初等積分法求常微分方程的解時, 經(jīng)常要進行乘、除某些因子的變換, 因此可能產(chǎn)生增解或遺解.初等積分法包括變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程和全微分方程的解法. 4 一階微分方程 (1)當 時, 稱為全微分方

9、程, 即可解, 不存在增解與遺解.(2)當 時, 若存在連續(xù)可微函數(shù)或時, 使得, 則方程為全微分方程, 即可解. 一般而論, 當時, 原方程產(chǎn)生增解; 當時, 原方程會產(chǎn)生遺解.例11 解方程 .解把方程改寫為 , 前一組有積分因子和通積分, 因而它有更一般的積分因子; 后一組有積分因子和通積分, 因而有更一般的積分因子. 為使關(guān)系式成立, 可取, . 于是即得原方程的積分因子.，積分, 即得 ，此外, 和也是原方程的根，由于原方程兩端同乘了積分因子而遺失了.注: 此題求積分因子的方法在3中講過.例12 解方程 . 解方程兩端同乘以積分因子 ，得 ， 即 ，兩端積分得. 由于積分因子使得原方

10、程產(chǎn)生了增解.綜合上述兩種情況，在求解過程中，當時，會導(dǎo)致原方程產(chǎn)生增解；當時，會導(dǎo)致原方程產(chǎn)生遺解.三 一階擬線性偏微分方程的增解與遺解問題在2中講到, 從理論上看, 求解一階線性或擬線性偏微分方程完全等價于求解一階常微分方程組.下面我們來看一階擬線性偏微分方程（限于兩個自變量） (6)的求解方法以及它的遺解問題. 為此,我們試求(6)的隱函數(shù)形式的解, 根據(jù)隱函數(shù)求微商的法則, 如果是所確定的的隱函數(shù), 則有: , , 但又是(6)的解, 故以上列兩式代入(6), 就得到所應(yīng)滿足的, 以為自變量的一階線性偏微分方程: .設(shè)是方程的兩個獨立的首次積分.則是的通解, 從而所確定的的函數(shù)是(6)

11、的解. 可以證明: 當、有一階連續(xù)微商且它們不同時等于零時, (6)的一切解都可由給出,證明參考4.但是如果、不滿足這個條件,則除了外, 方程(6)還可能有其他的解. 因為可能出現(xiàn): 滿足(6), 而僅在條件之下才滿足(6), 而不是關(guān)于恒等地滿足（6）. 如:例13 解方程 .解對應(yīng)的線性齊次方程是，而相應(yīng)的常微分方程組是,首先, 由可得首次積分其次, 由積分, 可得.因此, 原方程的通解是由所確定的隱函數(shù), 但是現(xiàn)在原方程還有一個特解, 它不能由得到, 這是由于的偏微商在時不連續(xù)之故. 僅在條件之下才滿足方程, 故不能算做它的解.關(guān)于齊次方程和一階線性偏微分方程的增解問題，本文還沒有涉及研究到，希望老師多給予意見，我將在以后的研究中進一步完善.參考文獻:1 Coddington, E,A. and Levinson, N., Theory of ordinary differential equations M. MC Graw