流形上的散公式證明和數(shù)值模型分析和說明

1、附件1流形上的散度公式證明和數(shù)值模型 分析和說明楊科中國 成都 610017E-mail: 證明和數(shù)值模型部分,以符號 / 為首者為分析說明(紅色痕跡)摘 要:散度公式(又稱-Gauss公式) 是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理體系的核心公式之一.傳統(tǒng)的散度公式證明邏輯體系,建立了基于空間直角坐標(biāo)系投影法 (簡稱投影法) 的曲面積分與三重積分的公式關(guān)聯(lián),確立了投影法為曲面積分的根本方法. 但是投影法存在諸多明顯的缺陷(例如計算過程繁瑣,不適用于不對稱、不規(guī)則曲面等),以致于物理、工程領(lǐng)域的許多重要問題(例如電磁學(xué)領(lǐng)域的Maxwell方程組實例化和流體力學(xué)領(lǐng)域的任意不規(guī)則控制面積分)的解決途徑,均建立在直角坐標(biāo)系

2、或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組求解基礎(chǔ)上.一個多世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)、物理和工程實踐已經(jīng)證明,通過投影法、直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組,難于甚至不能獲得關(guān)于復(fù)雜幾何對象流形的解析解、數(shù)值解;傳統(tǒng)的流形微積分學(xué), 用外微分形式推導(dǎo)出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至關(guān)于n維空間積分的廣義Stokes公式20,即但是這類用外微分形式推導(dǎo)出的公式只具有抽象的理論意義,并沒有揭示積分的具體實現(xiàn)過程,更無具體數(shù)值模型可言;本稿件通過建立與具體幾何對象(流形)匹配的個性化坐標(biāo)系(即有什么樣的幾何形體,就建立什么樣幾何形體的坐標(biāo)系,使用什么樣幾何形體的微元系數(shù); 而不再依賴于已有的少數(shù)

3、幾個直角坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、 柱面坐標(biāo)系、 廣義球面坐標(biāo)系及其相關(guān)微元系數(shù)等),用積分以及和式極限的方法,證明散度公式在無窮多個任意參數(shù)曲面(流形)坐標(biāo)系 包括單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系(基于Poincare猜想)和復(fù)連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系(環(huán)面坐標(biāo)系)的存在, 使散度公式超越傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系框架, 建立基于參數(shù)化空間點積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三重積分之間的新公式關(guān)聯(lián), 并且在無限豐富、 絢麗的公式數(shù)值模型運算中實現(xiàn)兩種類型積分相互驗證,確立兩種新型的積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型.證明流形上的散度公式本身不是唯一目的,建立基于參數(shù)化空間點積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三

4、重積分之間的新公式關(guān)聯(lián),確立兩種新型的積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型是根本目的.本系列稿件相關(guān)的數(shù)值模型表明, 使用基于參數(shù)化空間點積法的曲面積分以及基于個性化微元系數(shù)的三重積分,能夠獲得關(guān)于復(fù)雜幾何形體(流形,尤其是不對稱、不規(guī)則曲面及其包含空間區(qū)域)的解析積分值或任意精度浮點積分值;實現(xiàn)任意曲面積分以及任意空間區(qū)域三重積分,實現(xiàn)向量場(電場、磁場、流體場、引力場等)和數(shù)量場(電位場、溫度場、密度場等)在任意自由曲面及其包含空間區(qū)域的精確積分計算, 確立兩種類型積分的邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系,實現(xiàn)流形上的散度公式和工程意義上的流形積分.關(guān)鍵詞:微積分學(xué) 拓?fù)鋵W(xué) 物理學(xué) Poincare猜想 向量場 數(shù)

5、量場 自由參數(shù)曲面坐標(biāo)系單連通可定向閉合參數(shù)曲面坐標(biāo)系 復(fù)連通可定向閉合參數(shù)曲面坐標(biāo)系基于參數(shù)化空間點積法的曲面積分 基于個性化微元系數(shù)的三重積分 流形上的散度公式 證明 數(shù)值模型 和式極限 兩種類型積分的新公式關(guān)聯(lián)工程意義上的流形積分 解析積分值 任意精度浮點數(shù)積分值中圖分類號：O17/O412.3目錄引言 證明的前提條件-單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系的建立. 31.1流形上的散度公式證明 . 91.2 環(huán)面(復(fù)連通可定向閉合曲面)坐標(biāo)系散度公式證明.152.流形上的散度公式數(shù)值模型 .18 數(shù)值模型2.1 . .18 數(shù)值模型2.2 . .223.環(huán)面坐標(biāo)系散度公式數(shù)值模型.364. 流形上

6、的散度公式的反例: 關(guān)于Klein瓶的曲面積分和三重積分 4.1 流形上的散度公式與Klein瓶. .39 4.2 Klein瓶的曲面積分和三重積分?jǐn)?shù)值模型. .45總結(jié) . 52參考書籍. 53引言 證明的前提條件單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系的建立 (一)考察證明的對象-散度公式:“散度公式 設(shè)空間閉區(qū)域是由光滑或分片光滑的閉曲面S圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 構(gòu)成向量場A 及其偏導(dǎo)數(shù)在空間閉區(qū)域上連續(xù),則 (1)其中曲面S為空間閉區(qū)域的整個邊界曲面外側(cè), n為曲面S的單位外法向量, divA為向量場A的散度”.在公式的定義中,強調(diào)空間閉區(qū)域的邊界閉合曲面S必

7、須是能夠區(qū)分其”內(nèi)側(cè)”、”外側(cè)”的可定向曲面.在傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系-Gauss公式證明中,”抽象可定向閉合曲面”是這樣定義的:抽象可定向閉合曲面由三個子曲面 分片包圍而成,其中曲面皆為抽象二元函數(shù).(參見高等數(shù)學(xué)(第六版)(下冊) 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等教育版 2007 P168-170) 也就是說,散度公式客觀上要求,不論在空間直角坐標(biāo)系,或者在其它坐標(biāo)系,被證明的相關(guān)曲面S必須具有兩種屬性:(1)閉合性;(2)可定向性. 離開傳統(tǒng)的空間直角坐標(biāo)系,怎樣刻畫抽象的、具有普遍意義的”可定向閉合曲面”并且進一步建立”可定向閉合曲面坐標(biāo)系”? 并沒有現(xiàn)成的答案.Poincare猜想19斷定任何與n維球

8、面同倫的n維閉合流形必定同胚于n維球面,在散度或旋度公式涉及的三維歐氏空間, 其對應(yīng)的判斷為 任何單連通、可定向2維閉合流形必定同胚于2維球面.也就是說, 根據(jù)Poincare 猜想, 在散度或旋度公式涉及的三維歐氏空間, 任何單連通、可定向的閉合曲面(雖然僅僅是單連通),不論其幾何外觀如何千變?nèi)f化,必定有同胚于”球面”這一普遍屬性.進一步的問題自然是”在三維歐氏空間,能否根據(jù)Poincare 猜想這一普遍屬性,定義單連通、可定向的閉合曲面的抽象的、普遍意義的表達式?” 這也正是本 ”引言2” 討論的中心內(nèi)容.在空間解析幾何學(xué)中,上述2維球面的參數(shù)表達式為sin(u)cos(v),sin(u)

9、sin(v),cos(u),其中參數(shù)u的變化范圍0,Pi,參數(shù)v的變化范圍0,2*Pi(在嚴(yán)格意義上, 該參數(shù)表達式是 ”2維球面” 在 ”空間直角坐標(biāo)系”和”球面坐標(biāo)系”之間的轉(zhuǎn)換式; ”二維球面” 在球面坐標(biāo)系的表達式是常數(shù)1). 在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域,同胚的定義為兩個流形,如果可以通過彎曲、延展、剪切等操作把其中一個變?yōu)榱硪粋€，則認(rèn)為兩者是同胚的.從解析幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)的角度再理解Poincare猜想,既然2維球面的參數(shù)方程為sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),其中參數(shù)變化范圍u0,Pi,v0,2*Pi,則其變形a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v

10、),c*cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系數(shù)a,b,c為任意非零常數(shù)) 即為任意橢球面的參數(shù)方程. 在三維歐氏空間,任意橢球面皆同胚于球面,這是拓?fù)鋵W(xué)的常識,無需討論;如果a,b,c為任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù),可能出現(xiàn)怎樣的情況? 參見下列圖例:圖例1:假設(shè)任意待定系數(shù)a=sin(u)+cos(v), b=cos(u),c=cos(v/2),則目標(biāo)參數(shù)曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0, v0,2)為(sin(u)+cos(v)*sin(u)*cos(v),cos(u)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*co

11、s(u)(其中u0, v0,2) 其實際參數(shù)圖形為:圖例1 由待定系數(shù)a,b,c輸入任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù),輸出參數(shù)曲面呈非單連通、非閉合狀態(tài),與”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”討論的內(nèi)容無關(guān)圖例2:假設(shè)任意待定系數(shù)a=sin(u+v)+cos(v), b=cos(v),c=cos(v/2),則目標(biāo)參數(shù)曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0, v0,2)為(sin(u+v)+cos(v)*sin(u)*cos(v),cos(v)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其實際參

12、數(shù)圖形為:圖例2 由待定系數(shù)a,b,c輸入任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù),輸出參數(shù)曲面呈非單連通、不可定向狀態(tài),與”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”討論的內(nèi)容無關(guān)圖例3:假設(shè)任意待定系數(shù)a=sin(u),b=cos(u)+cos(u+3*v)/3,c= cos(u),則目標(biāo)參數(shù)曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0,v0,2)為sin(u)*sin(u)*cos(v),(cos(u)+cos(u+3*v)/3)*sin(u)*sin(v),cos(u)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其實際參數(shù)圖形為:圖例3 由待定系數(shù)a,

13、b,c輸入任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù),輸出曲面呈單連通可定向閉合狀態(tài) 可以作為”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”討論的對象實驗數(shù)據(jù)從原始現(xiàn)象表明, 同樣屬于參數(shù)曲面 a sin(u)cos(v), b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi, 因待定系數(shù)a,b,c的不同取值, 一部份曲面屬于單連通、可定向閉合曲面,一部分曲面則例外.也就是說,參數(shù)曲面a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi存在兩種情況: (1)在待定系數(shù)a,b,c為任意非零常數(shù)的情況下,參數(shù)曲面為橢球面(自然同胚于球

14、面);(2)在待定系數(shù)a,b,c為任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)的情況下,參數(shù)曲面可以為單連通可定向閉合曲面(同胚于球面),也可以為非單連通可定向閉合曲面(不同胚于球面).進一步的問題自然是“在參數(shù)曲面a sin(u)cos(v), b sin(u)sin(v), c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi模式中, 能否通過某種定義將非單連通可定向閉合曲面(不同胚于球面)的情況排除?” (二)設(shè)定“任意曲面”為一集合,則“任意單連通、可定向閉合曲面” 是前者的子集合. Poincare猜想是這一子集合的屬性,本論文“流形上的散度或旋度公式證明”則討論散度或旋度公式是否適用于這一子集合. Poinca

15、re猜想為用參數(shù)方程方法描述“任意單連通、可定向閉合曲面”的某種屬性(即“同胚于2維球面”這一屬性)提供了實現(xiàn)途徑. 參考丘成桐院士2006年觀點: 龐加萊猜想和三維空間幾何化的問題是幾何領(lǐng)域的主流，它的證明將會對流形性質(zhì)的認(rèn)識，甚至用數(shù)學(xué)語言描述宇宙空間產(chǎn)生重要影響.基于上述情況,將無數(shù)具體的單連通、可定向閉合曲面抽象化為一個統(tǒng)一的表達式:a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系數(shù)a,b,c不能任意指定, 而必須服從于曲面的 ”單連通、可定向閉合” 的拓?fù)鋵W(xué)屬性)也就是說, 如果待定系數(shù)a,b,c能夠任意指定, 則

16、目標(biāo)曲面 a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v), c*cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi 可能是”單連通、可定向閉合曲面”,也可能不是; 如果預(yù)先設(shè)定目標(biāo)曲面 a sin(u)cos(v), b sin(u) sin(v), c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 本身就是”單連通、可定向閉合曲面”, 則待定系數(shù)a,b,c就不能任意指定了.從幾何意義解釋上述現(xiàn)象 - 在空間直角坐標(biāo)系, 球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi) 沿x,y,z軸三個方向任意連續(xù)變化(即a sin(u)cos(v),

17、b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi,其中 待定系數(shù)a,b,c為任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)),不一定產(chǎn)生單連通、可定向閉合曲面;反過來,在空間直角坐標(biāo)系,任一單連通、可定向閉合曲面-必定由球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變化而成(也必定能夠沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變回球面)- Poincare 猜想為依據(jù).例如,正六面體(即正方體)表面也可以被視為單連通、可定向閉合曲面-但是正六面體表面難于甚至不能用參數(shù)方程描述-但是不能否認(rèn),根據(jù)Poincare猜想, 正六面

18、體表面必定同胚于球面,必定由球面(即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變化而成(也必定能夠沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變回球面);根據(jù)Poincare猜想,正六面體表面同樣可以用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi參數(shù)模式描述.用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 模式描述抽象的、具有普遍意義的單連通、可定向閉合曲面,實際上是用Poincare猜想來描述單連通、可定向閉合

19、曲面的某種內(nèi)在結(jié)構(gòu)和屬性(即同胚于球面這一屬性),為進一步的公式推導(dǎo)設(shè)定一個恰當(dāng)?shù)那疤釛l件.需要特別指出,在具體曲面為“復(fù)連通、可定向閉合曲面”(例如環(huán)面及其同胚曲面)情況下還不能實現(xiàn)抽象化,還沒有相關(guān)的理論依據(jù)為支持. 在實際操作層面,用Plot3D屬于Waterloo Maple計算機代數(shù)系統(tǒng)指令指令繪畫出某一參數(shù)曲面,必須在直觀視覺上判定該曲面是否為單連通、可定向閉合曲面以后, 才能決定是否適用于流形上的散度或旋度公式數(shù)值建模;從參數(shù)表達式本身無法判斷曲面是否為單連通、可定向閉合曲面;“參數(shù)曲面是否為單連通、可定向閉合曲面” 的決定因素在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域而不在解析幾何領(lǐng)域;單憑解析幾何的參數(shù)方

20、程方法并不能夠推導(dǎo)、演繹出某一曲面的單連通、可定向閉合屬性.(三)a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 只是基于Poincare猜想定義的抽象的、普遍意義的單連通可定向閉合曲面表達式, 還不屬于坐標(biāo)系;抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系為r a sin(u)cos(v),r b sin(u) sin(v),r c cos(u), r0, ,u0,Pi,v0,2*Pi, 其中r為向徑, a,b,c為待定系數(shù)(因為a,b,c既可以為非零常數(shù), 也可以為一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)),具有不確定性.實際上,抽象單連通可定向閉合曲面表達式a sin

21、(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi與橢球面表達式a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi在形式上是完全一致的,只是兩者對待定系數(shù)a,b,c的解釋不同:前者將a,b,c解釋為任意非零常數(shù)或一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)(非任意,受曲面的單連通可定向閉合屬性限制)”,而后者將a,b,c解釋為只是任意非零常數(shù);故抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的對應(yīng)關(guān)系是x=r*a sin(u)cos(v),y=r*b sin(u) sin(v),z=r*c cos(u)(與橢球面坐標(biāo)系-直角坐

22、標(biāo)系轉(zhuǎn)換式是相同的).1.1流形上的散度公式證明:散度公式 設(shè)空間閉區(qū)域是由光滑或分片光滑的閉曲面S圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 構(gòu)成向量場A 及其偏導(dǎo)數(shù)在空間閉區(qū)域上連續(xù),則 (1)其中曲面S為空間閉區(qū)域的整個邊界曲面外側(cè),n為曲面S的單位外法向量, divA為向量場A的散度證明:定義任意單連通、可定向閉合曲面S的參數(shù)表達式:/不是”任意曲面S”的參數(shù)表達式,而是”任意單連通、可定向閉合曲面S”的參數(shù)表達式/詳見 引言 說明a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) (2)/在嚴(yán)格意義上,參數(shù)表達式a sin(u)cos(v

23、),b sin(u)sin(v),c cos(u) 是任意單連通、可定向閉合曲面S在”直角坐標(biāo)系”和”任意單連通、可定向閉合曲面S坐標(biāo)系”之間的轉(zhuǎn)換式.其中a,b,c為非零常數(shù)或一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)表達式, 單連通、可定向閉合曲面S決定a,b,c的取值;設(shè)定參數(shù)u,v的變化范圍0,0,2,使曲面S閉合.(參見Poincare猜想: 任何與n維球面同倫的n維閉合流形必定同胚于n維球面)19/在散度公式涉及的三維歐氏空間, Poincare猜想對應(yīng)的判斷為任何單連通、可定向2維閉合流形必定同胚于2維球面./待定系數(shù)a,b,c均不是由任意的一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)表達式構(gòu)成,a,b,c的取值必須服從于參數(shù)曲面S

24、的”單連通、可定向閉合”的拓?fù)鋵W(xué)屬性;詳見 引言 說明.根據(jù)曲面參數(shù)表達式(2),定義并計算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取曲面S的切平面法向量: =(3)從(3)式分別提取i,j,k項系數(shù),獲得曲面S的切平面法向量:, (4)向量場A與曲面S的切平面法向量(4)的空間點積對曲面參數(shù)u,v的積分: (5)/ 相對于由具體的、千變?nèi)f化的三元函數(shù)構(gòu)成的具體空間向量場, 抽象空間向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是一種均衡、對稱的抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu); 在流形上的散度公式證明中,客觀上需要一種均衡、對稱的抽象可定向閉合曲面表達式與上述抽象空間向量場匹配; Poincare猜想為抽象單連通可定向閉

25、合曲面表達式(即a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)的實現(xiàn)提供了理論依據(jù)./ 在傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系-Gauss 公式證明中, 同樣是抽象可定向閉合曲面和抽象空間向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)積分:抽象可定向閉合曲面由三個子曲面分片包圍而成,其中曲面皆為抽象二元函數(shù).(參見高等數(shù)學(xué)(第六版)(下冊) 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等教育版 2007 P168-170) /因為抽象向量場P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)具有普遍性和同質(zhì)性,以抽象函數(shù)P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R

26、(x,y,z)的變量x(或y或z)的內(nèi)含子變量u(或v)為自變量積分,其積分結(jié)果仍然可以表述為P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z). 也就是說,以變量x,y,z的內(nèi)含子變量u(或v)為自變量積分,不會改變抽象函數(shù)P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)本身的結(jié)構(gòu).因為如此,抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)能夠在積分以后保持原形.(參見附件3,”流形上的散度公式和式極限證明”部分)/ “積分值為零”具有明確的數(shù)學(xué)、物理意義:在數(shù)學(xué)意義上,積分值為零是邏輯推導(dǎo)的必然結(jié)果,反映了積分諸元素之間的邏輯均衡狀態(tài);在物理意義上,積分值為零意

27、味著“抽象向量場”在“抽象單連通、可定向閉合曲面”上的通量恒為靜止、待定的零; 如果積分值為某一正數(shù)、負(fù)數(shù)或者某一表達式,則意味著“抽象向量場”在“抽象單連通、可定向閉合曲面”上始終存在流出量、流入量或者某一未知的值,這將是不可解釋的現(xiàn)象.將曲面S的參數(shù)表達式(2)各項通乘以向徑r(設(shè)定r0),將x,y,z軸方向上的曲面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù):ra sin(u)cos(v),rb sin(u) sin(v),rc cos(u) (6)根據(jù)空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6),定義并計算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取空間閉區(qū)域微元系數(shù)的一般表達式:= (7)/ 在嚴(yán)格意義上,空間閉區(qū)域微元系數(shù)是”空間閉區(qū)域坐標(biāo)

28、微元”和”直角坐標(biāo)微元”之間的比值.計算向量場 A的散度,并將其從直角坐標(biāo)形式(8) 轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g閉區(qū)域坐標(biāo)形式(9): (8) (9)/在空間直角坐標(biāo)系,抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的散度為 在本證明的邏輯推導(dǎo)中,需要將其引入抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系.抽象向量場散度的三個組成單元, , 為抽象微分函數(shù)結(jié)構(gòu),而其微分變量x,y,z皆含有子變量r,u,v.空間直角坐標(biāo)系與抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換式為x = r a sin(u)cos(v), y = r b sin(u) sin(v), z = r c cos(u)-與微分函數(shù),的三個微分變量

29、,對應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù)分別為 , 和“微分函數(shù) , 與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù)的乘積”(即兩種微分函數(shù)的乘積)構(gòu)成了抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系的散度./ 是”鏈?zhǔn)角髮?dǎo)”還是”坐標(biāo)轉(zhuǎn)換”? / 如果是”鏈?zhǔn)角髮?dǎo)”,根據(jù)”同鏈相乘,分鏈相加”的原則應(yīng)為: / 不論是”鏈?zhǔn)角髮?dǎo)”還是求”散度”或者”旋度”, 解決的是抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”如何求導(dǎo)”、”求導(dǎo)方式” 的問題;而這里是要將抽象向量場P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)散度求導(dǎo)的結(jié)果從一個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到另一個坐標(biāo)系的問題;兩個”問題”的性質(zhì)和層次都是不同的,這里是”相乘”而不是”相加”,

30、這是由坐標(biāo)的空間屬性決定的.散度(9)與空間閉區(qū)域微元的乘積對變量r,u,v的三重積分: (10) /因為抽象向量場的散度,或者其單元, 具有普遍性和同質(zhì)性,以其變量x(或y或z)的內(nèi)含子變量r(或u,或v)為自變量積分, 其積分性質(zhì)可以被理解為對”散度的微分函數(shù)單元即, 、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù)、空間閉區(qū)域微元三者的乘積”的積分.以變量x,y,z的內(nèi)含子變量r,(或u,或v)為自變量積分,不會改變抽象向量場散度及其三個微分函數(shù)單元本身的結(jié)構(gòu). 抽象向量場散度及其微分函數(shù)單元, 或, 或,能夠在積分以后保持原形; 而與其三個微分變量, 對應(yīng)的三個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換微分函數(shù),即: , 和 則可以在積分以后被改變

31、. (參見附件3,”流形上的散度公式和式極限證明”部分)/ 和普通的三重積分不同,這里的第一重積分限始終為r0,1,而不是r0,n或r0,.因為”1”的存在,才能使a,b,c,r,u,v保持正確的比例關(guān)系. 其中,即設(shè)定空間閉區(qū)域微元本身對參數(shù)r,u,v的三重積分不能為零,也可以理解為設(shè)定空間閉區(qū)域不能為零體積即(5)式=(10)式:= 亦可表述為 (1), 證畢1.2環(huán)面(復(fù)連通可定向閉合曲面)坐標(biāo)系散度公式證明:散度公式 設(shè)空間閉區(qū)域是由光滑或分片光滑的閉曲面S圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 構(gòu)成向量場A 及其偏導(dǎo)數(shù)在空間閉區(qū)域上連續(xù),則 (1)其中曲面S為

32、空間閉區(qū)域的整個邊界曲面外側(cè),n為曲面S的單位外法向量, divA為向量場A的散度證明:定義環(huán)面S的參數(shù)表達式:(2+cos(u)cos(v),(2+cos(u)sin(v),sin(u) (2)設(shè)定參數(shù)u,v的變化范圍0,2,0,2,使環(huán)面S閉合.根據(jù)環(huán)面參數(shù)表達式(2),定義并計算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取環(huán)面的切平面法向量(3): =從(3)式分別提取i,j,k項系數(shù),獲得環(huán)面S的切平面法向量: (4) 向量場A與環(huán)面S的切平面法向量(4)的空間點積對參數(shù)u,v積分: = (5)將環(huán)面S的參數(shù)表達式(2)各項通乘以向徑r(設(shè)定r0),將x,y,z軸方向上的環(huán)面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為環(huán)面包圍空間閉區(qū)域坐

33、標(biāo)參數(shù):r(2+cos(u)cos(v),r(2+cos(u)sin(v),rsin(u) (6)定義并計算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取環(huán)面包圍空間閉區(qū)域微元系數(shù)的一般表達式: = (7)計算向量場A的散度,并將其從直角坐標(biāo)形式(8)轉(zhuǎn)變?yōu)榄h(huán)面空間區(qū)域坐標(biāo)形式(9): (8) (9) 散度(9)與環(huán)面包圍空間閉區(qū)域微元的乘積對變量r,u,v的三重積分(10): =即(5)式=(10)式:=亦可表述為 (1), 證畢2.流形上的散度公式數(shù)值模型數(shù)值模型2.1:已知: 單連通、可定向閉合曲面(不規(guī)則、不對稱)的參數(shù)表達式(1)/在嚴(yán)格意義上,該參數(shù)表達式是”該單連通、可定向閉合目標(biāo)曲面本身”在”直角坐標(biāo)系

34、”和”該單連通、可定向閉合目標(biāo)曲面坐標(biāo)系”之間的轉(zhuǎn)換式; 如同球面參數(shù)表達式sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u) 是”球面本身”在”直角坐標(biāo)系”和”球面坐標(biāo)系”之間的轉(zhuǎn)換式一樣.其中,u0,v0,2; 以及積分向量場 (2)計算并驗證流形上的散度公式. 圖1 單連通、可定向閉合曲面（1）不規(guī)則、不對稱解: 第一部分,自由曲面積分實現(xiàn):根據(jù)曲面參數(shù)表達式(1),定義并計算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取曲面的切平面法向量: = (3)從(3)式分別提取i,j,k項系數(shù),獲得曲面S的切平面法向量(4):/ 不同幾何拓?fù)湫螤畹那?有不同的切平面法向量.將曲面坐標(biāo)參數(shù)(1)帶入積分向

35、量場(2);并且實現(xiàn)積分向量場(2)與曲面(1)的切平面法向量(4)的空間點積對曲面參數(shù)u,v的積分: (5)第二部分,自由體積分實現(xiàn):將目標(biāo)曲面的參數(shù)表達式(1)各項通乘以向徑r(設(shè)定r0),將x,y,z軸方向上的曲面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù):(6)根據(jù)空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6),定義并計算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取空間閉區(qū)域微元系數(shù)的一般表達式: = (7) / 在嚴(yán)格意義上,空間閉區(qū)域微元系數(shù)是”該蛇形曲面所包含空間閉區(qū)域坐標(biāo)微元”和”直角坐標(biāo)微元”之間的比值./ 不同幾何拓?fù)湫螤畹目臻g區(qū)域,有不同的空間區(qū)域微元系數(shù); 如同球體空間閉區(qū)域微元系數(shù)是,而其它幾何拓?fù)湫螤畹目臻g閉區(qū)域微元系數(shù)則千

36、差萬別.計算向量場(2)的散度: (8)將空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6)帶入散度(8),并且計算散度(8)與空間閉區(qū)域微元的乘積對變量r,u,v的三重積分(9): (9)/ 和普通的三重積分不同, 這里的第一重積分限始終為r0,1,而不是r0,n或r0,.因為”1”的存在,才能使r,u,v保持正確的比例關(guān)系./ 與 ”公式證明”涉及的抽象散度函數(shù)不同, 在”數(shù)值模型” 中可以直接將空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6)帶入散度帶入具體散度函數(shù)(8), 繼之以”具體散度函數(shù)(8)與空間區(qū)域微元的乘積”,進行三重積分.積分向量場在目標(biāo)曲面的積分精確值(5),等于該向量場的散度在目標(biāo)曲面包含的空間區(qū)域的體積分精確值(9),

37、流形上的散度公式運算并驗證完畢.數(shù)值模型2.2: 已知: 單連通、可定向閉合曲面(不規(guī)則、不對稱)的參數(shù)表達式 （1） 其中,u0,v0,2; 以及積分向量場 (2)計算并驗證流形上的散度公式. 圖2 單連通、可定向閉合曲面（2）不規(guī)則、不對稱解: 第一部分,自由曲面積分實現(xiàn):根據(jù)曲面參數(shù)表達式(1),定義并計算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取曲面的切平面法向量: = (3)從(3)式分別提取i,j,k項系數(shù),獲得曲面S的切平面法向量(4):將曲面坐標(biāo)參數(shù)(1)帶入積分向量場(2);并且積分向量場(2)與曲面(1)的切平面法向量(4)的空間點積對曲面參數(shù)u,v的積分:(5)第二部分,自由體積分實現(xiàn):將目標(biāo)

38、曲面的參數(shù)表達式(1)各項通乘以向徑r(設(shè)定r0),將x,y,z軸方向上的曲面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù): (6)根據(jù)空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6),定義并計算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取空間閉區(qū)域微元系數(shù)的一般表達式(7): =計算向量場(2)的散度: (8)將空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6)帶入散度(8),并且計算散度(8)與空間閉區(qū)域微元的乘積對變量r,u,v的三重積分:(9)積分向量場在目標(biāo)曲面的積分精確值(5),等于該向量場的散度在目標(biāo)曲面包含的空間區(qū)域的體積分精確值(9),流形上的散度公式運算并驗證完畢.3.環(huán)面坐標(biāo)系散度公式數(shù)值模型已知: 環(huán)面(復(fù)連通、可定向閉合曲面)的參數(shù)表達式 (1)其中,u0,

39、2,v0,2; 以及積分向量場 (2)計算并驗證流形上的散度公式. 圖3 環(huán)面 (復(fù)連通、可定向閉合曲面)（1）解: 第一部分,環(huán)面坐標(biāo)系曲面積分實現(xiàn):根據(jù)環(huán)面參數(shù)表達式(1),定義并計算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取環(huán)面的切平面法向量(3):=(3)從(3)式分別提取i,j,k項系數(shù),獲得曲面S的切平面法向量(4): (4)將環(huán)面坐標(biāo)參數(shù)(1) 帶入積分向量場(2); 并且實現(xiàn)積分向量場(2) 與環(huán)面(1) 的切平面法向量(4)的空間點積對曲面參數(shù)u,v的積分: = (5)第二部分,自由體積分實現(xiàn):將目標(biāo)環(huán)面的參數(shù)表達式(1)各項通乘以向徑r(設(shè)定r0),將x,y,z軸方向上的環(huán)面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為空間區(qū)

40、域坐標(biāo)參數(shù): (6)根據(jù)空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6),定義并計算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取空間閉區(qū)域微元系數(shù)的一般表達式: = (7) / 在嚴(yán)格意義上,空間閉區(qū)域微元系數(shù)是”環(huán)面所包含空間閉區(qū)域坐標(biāo)微元”和”直角坐標(biāo)微元”之間的比值./ 不同幾何拓?fù)湫螤畹目臻g區(qū)域,有不同的空間區(qū)域微元系數(shù); 如同球體空間閉區(qū)域微元系數(shù)是,而其它幾何拓?fù)湫螤畹目臻g閉區(qū)域微元系數(shù)則千差萬別.計算向量場(2)的散度: (8)將空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6)帶入散度(8),并且計算散度(8)與空間閉區(qū)域微元的乘積對變量r,u,v的三重積分(9): = (9)積分向量場在目標(biāo)環(huán)面的積分精確值(5),等于該向量場的散度在目標(biāo)環(huán)面包含的空間

41、區(qū)域的體積分精確值(9),環(huán)面坐標(biāo)系散度公式運算并驗證完畢.4.流形上的散度公式的反例: 關(guān)于Klein瓶的曲面積分和三重積分4.1流形上的散度公式與Klein瓶 眾所周知,Klein瓶是典型的不可定向、閉合曲面.如果將”Klein瓶”曲面用”流形上的散度公式證明”的邏輯方法推導(dǎo)演繹,將會出現(xiàn)怎樣的情況? 散度公式 設(shè)空間閉區(qū)域是由光滑或分片光滑的閉曲面S圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 構(gòu)成向量場A 及其偏導(dǎo)數(shù)在空間閉區(qū)域上連續(xù),則 (1)其中曲面S為空間閉區(qū)域的整個邊界曲面外側(cè),n為曲面S的單位外法向量, divA為向量場A的散度.證明(反例):定義Klein

42、瓶的參數(shù)表達式:cos(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3),sin(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3), (sin(u/2)*sin(v)+cos(u/2)*sin(2*v) (2)設(shè)定參數(shù)u,v的變化范圍0,4,0,使Klein瓶閉合. 圖4 Klein瓶(具有不可定向、閉合的幾何拓?fù)鋵傩?根據(jù)Klein瓶的參數(shù)表達式(2),定義并計算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取Klein瓶的切平面法向量(3): = (3) 從(3)式分別提取i,j,k項系數(shù),獲得Klein瓶的切平面法向量: (4) (4) 向量場A與Kl

43、ein瓶的切平面法向量(4)的空間點積對參數(shù)u,v積分: (5)= 0 (5)將Klein瓶的參數(shù)表達式(2)各項通乘以向徑r(設(shè)定r0),將x,y,z軸方向上的Klein瓶曲面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為Klein瓶曲面包圍空間閉區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6): (6)定義并計算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣, 獲取 Klein 瓶包圍空間閉區(qū)域 微元系數(shù)的一般表達式(7): = (7) 計算向量場 A 的散度, 并將其從直角坐標(biāo)形式 (8) 轉(zhuǎn)變?yōu)?Klein 瓶空間區(qū)域坐標(biāo)形式(9): (8) = (9)散度(9)與Klein瓶包圍空間閉區(qū)域微元的乘積對變量r,u,v的三重積分(10): = (10)即(5)式(10)式用”流形

44、上的散度公式證明”的邏輯方法推導(dǎo)演繹,Klein瓶的曲面積分與其空間區(qū)域三重積分在邏輯上不相等證明(反例)完畢.4.2 Klein瓶的曲面積分和三重積分?jǐn)?shù)值模型已知: Klein瓶(不可定向閉合曲面)的參數(shù)表達式:cos(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3),sin(u)*(cos(u/2)*sin(v)-sin(u/2)*sin(2*v)+3), (sin(u/2)*sin(v)+cos(u/2)*sin(2*v) (1)其中,u0,4,v0,; 以及積分向量場 (2)計算并驗證流形上的散度公式(反例). 圖5 Klein瓶、積分向量場及其散度函數(shù)

45、等值面解: 第一部分,Klein瓶曲面積分實現(xiàn):根據(jù)Klein瓶參數(shù)表達式(1),定義并計算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣, 獲取Klein瓶的切平面法向量: = (3)從(3)式分別提取i,j,k項系數(shù),獲得Klein瓶的切平面法向量(4): (4)將Klein瓶坐標(biāo)參數(shù)(1)帶入積分向量場(2);并且積分向量場(2)與Klein瓶(1)的切平面法向量(4)的空間點積對曲面參數(shù)u,v的積分: (5) = 第二部分,Klein瓶體積分實現(xiàn):將Klein瓶的參數(shù)表達式(1)各項通乘以向徑r(設(shè)定r0),將x,y,z軸方向上的Klein瓶曲面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6): (6)根據(jù)空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6)

46、,定義并計算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣,獲取空間閉區(qū)域微元系數(shù)的一般表達式(7): = (7)計算向量場(2)的散度: = (8)將空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6)帶入散度(8),并且計算散度(8)與空間閉區(qū)域微元的乘積對變量r,u,v的三重積分(9): = (9)具體向量場在Klein瓶曲面的積分精確值(5),等于該向量場的散度在Klein瓶曲面包含的空間區(qū)域的體積分精確值(9),流形上的散度公式(反例)運算并驗證完畢.在抽象向量場 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 運算的情況下,Klein瓶的曲面積分與其空間區(qū)域三重積分在邏輯上不等;因具體向量場的取值,Klein瓶的曲面積分與其空間區(qū)域三重

47、積分可能相等.總結(jié)傳統(tǒng)的散度公式證明邏輯體系, 建立了基于空間直角坐標(biāo)系投影法 (簡稱投影法) 的曲面積分與三重積分的公式關(guān)聯(lián),確立了投影法為曲面積分的根本方法. 但是投影法存在諸多明顯的缺陷 (例如計算過程繁瑣,不適用于不對稱、不規(guī)則曲面等),以致于物理、工程領(lǐng)域的許多重要問題 (例如電磁學(xué)領(lǐng)域的 Maxwell方程組實例化和流體力學(xué)領(lǐng)域的任意不規(guī)則控制面積分)的解決途徑, 均建立在直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組求解基礎(chǔ)上. 一個多世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)、物理和工程實踐已經(jīng)證明, 通過投影法、直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組,難于甚至不能獲得關(guān)于復(fù)雜幾何對象(流形)解析解、數(shù)值解;傳統(tǒng)的流

48、形微積分學(xué),用外微分形式推導(dǎo)出Green公式,-Gauss公式,Stokes公式,乃至關(guān)于n維空間積分的廣義Stokes公式20,即但是這類用外微分形式推導(dǎo)出的公式只具有抽象的理論意義,并沒有揭示積分的具體實現(xiàn)過程,更無具體數(shù)值模型可言;建立與具體幾何對象 (流形) 匹配的個性化坐標(biāo)系 (即有什么樣的幾何形體,就建立什么樣幾何形體的坐標(biāo)系,使用什么樣幾何形體的微元系數(shù);而不再依賴于已有的少數(shù)幾個直角坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、廣義球面坐標(biāo)系及其相關(guān)微元系數(shù)等),證明散度公式在無窮多個任意參數(shù)曲面(流形)坐標(biāo)系包括單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系(基于Poincare猜想)和復(fù)連通可定向閉合曲面坐

49、標(biāo)系(環(huán)面坐標(biāo)系)的存在, 使散度公式超越傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系框架, 建立基于參數(shù)化空間點積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三重積分之間的新公式關(guān)聯(lián), 并且在無限豐富、 絢麗的公式數(shù)值模型運算中實現(xiàn)兩種類型積分相互驗證,確立兩種新型的積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型.證明流形上的散度公式本身不是唯一目的,建立基于參數(shù)化空間點積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三重積分之間的新公式關(guān)聯(lián),確立兩種新型積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型是根本目的.本稿件相關(guān)的數(shù)值模型表明,通過基于參數(shù)化空間點積法的曲面積分和基于個性化微元系數(shù)的三重積分, 能夠獲得關(guān)于復(fù)雜幾何形體(流形,尤其是不對稱、不規(guī)則曲面及其包含

50、空間區(qū)域) 的解析積分值或任意精度浮點積分值; 實現(xiàn)任意曲面積分、任意空間區(qū)域三重積分(甚至實現(xiàn)積分區(qū)間的藝術(shù)化); 尋找向量場 (電場、磁場、流體場、引力場等)和數(shù)量場(電位場、 溫度場、 密度場等) 在任意自由曲面及其空間區(qū)域的積分計算途徑和關(guān)聯(lián)關(guān)系,尋找微積分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和工程計算三者的直接銜接點,實現(xiàn)流形上的散度公式和工程意義上的流形積分,實現(xiàn)更廣大、更自由的物理、數(shù)學(xué)探索和工程實踐.參考書籍:1基礎(chǔ)物理述評教程潘根 科學(xué)版 2002.1 (P360-361,P385,P401)2費恩曼物理學(xué)講義(第2卷) The Feynman Lectures on Physics by Richa

51、rd Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世紀(jì)出版股份有限公司/上?？茖W(xué)技術(shù)版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P31-32,P48-54,P55-65,P159-165,P230-242,P259-289)3電磁學(xué) 高等教育版 2001.1 (P33-43)4電動力學(xué)及其計算機輔助教學(xué)科學(xué)版 2007.8 (P1-47)5場論 原子能版 2006.10 (2008.8 重印) (P9-13,P147-150,P184-186)6流體力學(xué) 冶金工業(yè)版 2010.2 (P4

52、0-80)7應(yīng)用流體力學(xué) 清華大學(xué)版 2006.3 (P21-32)8工程流體力學(xué) 人民交通版 2010.1 (P28-46,P57-59)9多維氣體動力學(xué)基礎(chǔ)(第2版)北京航空航天大學(xué)版 2008.6 (P15,P36-43)10數(shù)學(xué)分析簡明教程(下冊) 前蘇聯(lián) . 高等教育版 1956.8 (P644-649)11工程數(shù)學(xué): 矢量分析與場論謝樹藝 高等教育版 1978.12 第1版 1985.3 第2版 2002.3 第23次印刷 (P41-45,P85,P90-91)12微積分(下冊) 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 高等教育版 2002.1 (P163-165, P234-238,P242-243,P247-248)13高等數(shù)學(xué) 多元微積分及其教學(xué)軟件上