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1、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用課件 等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列定義定義數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)表達(dá)表達(dá)如果一個(gè)數(shù)列從第2每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.an+1+1- -an= = d()()表示表示首項(xiàng)首項(xiàng)a1, 1, d如果一個(gè)數(shù)列從第2每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.首項(xiàng)首項(xiàng)a1, 1, q( (q0)0)d與與 an q與與 an d0 0 an 遞增遞增 d0 0 an 遞減遞減 d0 0 an 為常數(shù)列為常數(shù)列q0 0 an 中各項(xiàng)同號(hào)中各項(xiàng)同號(hào)q0 0 an 中的項(xiàng)正負(fù)相間中的項(xiàng)正負(fù)相間q1 1 an 為非零為非零an= = a1 1+ +
2、(n-1-1)dan= = a1 1qn-1-1an+1an= q()()中項(xiàng)中項(xiàng)a, ,A, ,b, ,則則2 2A= =aba, ,G, ,b, , 則則G2 2= =ab由等差數(shù)列的性質(zhì),猜想等比數(shù)列的性質(zhì)由等差數(shù)列的性質(zhì),猜想等比數(shù)列的性質(zhì)an是公差為d的等差數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列性質(zhì):an=am+(n-m)d.性質(zhì):若an-k,an,an+k 是an中的三項(xiàng), 則2an=an+k+ an-k.猜想2:性質(zhì): 若n+m=p+q,則am+an=ap+aq.2knknnbbb猜想1:m b.n mnbq 若bn-k,bn,bn+k 是bn中的三項(xiàng), 則猜想3:若n+m=p+q, 則b
3、n bm=bp bq. .n mnmbb q證明證明: :,1111,nnmmqbbqbb11n mmn mmbqb qq11nb q.nb若若n+m=p+q, 則則bn bm=bp bq.證明證明: :111111mnmnqbqbbb,2121mnqb111111qpqpqbqbbb,2121qpqb,qpmn.nmpqbbbb反之成立嗎反之成立嗎?q不一定,當(dāng) =1時(shí)不成立. :1,1,1,1na 如數(shù)列例例1: 在等比數(shù)列an中,a2=-2,a5=16,a8= .在等比數(shù)列an中,且an0, a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ .在等比數(shù)列an中,若 則a10=
4、 . -1286,625161374aaaa5 1531,9,naaaaq ,變式:(1)在等比數(shù)列中, 則33. 154560(2)10,90,naaaa在等比數(shù)列中,則270.123445(3)2,4naaaaaaa在等比數(shù)列中,若, 則1(4)2nnnnn在 和 間插入 個(gè)正數(shù),使得這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, 求插入的這 個(gè)數(shù)的積.1211nnnTaaaann1211nnnTn aaaan倒倒序序相相乘乘 分析:若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d. 由類(lèi)比思想的應(yīng)用可得: 若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則設(shè)這三個(gè)數(shù) 為 再聯(lián)立方程組. 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它們的和等于21,倒數(shù)的和等于 ,
5、求這三個(gè)數(shù).127例例2:,aaa qq ,三個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列,他們的和等于三個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列,他們的和等于2121,倒數(shù)的和等于倒數(shù)的和等于 ,求這三個(gè)數(shù),求這三個(gè)數(shù).127解:設(shè)三個(gè)正數(shù)為解:設(shè)三個(gè)正數(shù)為.,qaaqa,21qaaqa,12711aqaaq得得,21)11(qqa.127)11(1qqa.362a, 6a.212或q例例3:a,b,c,d成等比數(shù)列成等比數(shù)列,a+b,b+c,c+d均不為均不為0. 求證求證:a+b,b+c,c+d成等比數(shù)列成等比數(shù)列. 111,21(1)1nnnnaaaaa變式:已知數(shù)列滿(mǎn)足,求證:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)na求數(shù)列的通項(xiàng)公式.an是公差為d的等差數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列性質(zhì):an=am+(n-m)d性質(zhì):若an-k,an,an+k 是an中的三項(xiàng), 則2an=an+k+ an-k.性質(zhì): 若n+m=p+q則am+an=ap+aq2.nn kn
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