機械振動大作業(yè)

1、機械振動大作業(yè)姓名：徐強學號： SX1302106專業(yè)：航空宇航推進理論與工程能源與動力學院2013 年 12 月簡支梁的振動特性分析題目 : 針對簡支梁、分別用單、雙、三、十個自由度以及連續(xù)體模型，計算其固有頻率、固有振型。單、雙、三自由度模型要求理論解； 十自由度模型要求使用李茲法、霍爾茨法、矩陣迭代法、雅可比法、子空間迭代法求解基頻；連續(xù)體要求推導理論解，并通過有限元軟件進行數(shù)值計算。解答：一、 單自由度簡支梁的振動特性如圖 1，正方形截面（取 5mm×5mm）的簡支梁，跨長為 l =1m，質(zhì)量 m沿桿長均勻分布，將其簡化為單自由度模型，忽略阻尼，則運動?0 , 固有頻率 n=

2、keq ，其中 k 為等效剛度， meq 為微分方程為 m x kxmeq等效質(zhì)量。因此，求出上述兩項即可知單自由度簡支梁的固有頻率。根據(jù)材料力學的結果， 由于橫向載荷F 作用在簡支梁中間位置而Fx3l24x2（ 0 xl）, ymaxFl3引起的變形為 y( x) -為最大撓（）248EI48EI度，則：keq =F=48EIl 3梁本身的最大動能為：y(x)-Fx（3l24x2ymax x22）=l3（3l4 x ）48EI1l?2117? 2Tmax2 my x)dx）=2×2 0 l(=（35m y max2如果用 meq 表示簡支梁的質(zhì)量等效到中間位置時的大小，它的最大動能

3、可表示為：1? 2Tmax=meq y max2所以質(zhì)量為 m的簡支梁，等效到中間位置的全部質(zhì)量為：17meqm故單自由度簡支梁橫向振動的固有頻率為： =keq=1680 EInmeq17ml 3mxk等效質(zhì)量m圖 1 簡支梁的單自由度模型二、 雙自由度簡支梁的振動特性如圖 2，將簡支梁簡化為雙自由度模型，仍假設在簡支梁中間位置作用載荷， 根據(jù)對稱性， 等效質(zhì)量相等 , 因此只要求出在 l / 3 處的等效質(zhì)量即可。在 l / 6 至 l / 2 之間積分，利用最大動能進行質(zhì)量等效，略去小量得：meq8 m25所以，質(zhì)量矩陣為：8m10m0125雙自由度簡支梁的柔度矩陣：在 b=2l / 3

4、處作用單位力，撓曲線方程為：y( x) -bx（ l 2x2b2）則 l / 36EIl處的變形為： a127 ，同理可求：a217 ，a11a228 ，其中l(wèi)3。486EI所以，柔度矩陣為：87a動力矩陣：D788m872578令特征行列式為零，得到頻率方程為：ID0其中，12 ，將上式整理得：1-8a17a15a216a 1 07a8a8m8m2。其中， a2525解上述方程的根為：a11 ,115a21,2524m258m（ i）由式 ( i ID ) X0 ， i 1,2（i）(i )其中 XX1，分別將 1 、2 代入上式，得(i )X 2第一、二階主振型分別為：（1）X1(1) 1

5、（2）X1(1) 1X，X1-11212等效質(zhì)量m圖 2 簡支梁的雙自由度模型三、 三自由度簡支梁的振動特性如圖 3，將簡支梁簡化為三自由度模型，按照雙自由度類似的等效思想，可得等效質(zhì)量：m1 m3 m21 m4因此，質(zhì)量矩陣為：100m m 0 1 0 40 0 1由機械振動中文教材例可知，系統(tǒng)的柔度矩陣為：9117l3a111611其中，。7119768EI動力矩陣：9117mD11161147119令特征行列式為零，得到頻率方程為：ID0其中，12 ，將上式整理得：1 9a11a7amm211a1 16 a11a。0其中， a7a11a1 9a44利用 Matlab 軟件 , 求解上述方

6、程的根為：a10.0317,4a11ma20.5 ,24a2ma32.254 ,4a33m（ i）由式 ( i ID ) X0 ， i 1,2,3（i）X1(i )其中 XX 2(i )，分別將 1 、2 、3 代入上式，得X 3(i )第一、二、三階主振型分別為：（1）1（2）1,（3）1XX1(1)2 ，XX1( 2) 0XX1(1) - 21- 11圖 3 簡支梁的三自由度模型四、十自由度簡支梁的數(shù)值方法將簡支梁簡化為十自由度模型（如圖4）。圖 4 簡支梁的十自由度模型通過在一點施加單位力，計算其余點的撓度，可得柔度矩陣：l 3ay，其中, y為撓度變形矩陣，如表1。6EI表 1 十自由

7、度撓度變形矩陣y十自由度簡支梁為十個集中質(zhì)量的振動模型，每個質(zhì)量都近似等于 1 m ，因此，質(zhì)量矩陣為：11101000m 0100m0011 00001動力矩陣為：D m y 11下面，用如下幾種方法計算十自由度簡支梁的固有頻率與振型。1、鄧克萊法利用鄧克萊法求基頻（比準確值?。?：1a11m1a22m2annmn21因此，將柔度矩陣主對角線上各元素相加并乘以1 m ，可求得：111590EI1ml 3m2、瑞利法（1）瑞利第一商柔度矩陣求逆得剛度矩陣：1k103y103z ，其中， z 矩陣見表 2。表 2 矩陣 z 各元素假設力作用在簡支梁中間位置而得到各點的靜變形，可以表示為：A11.

8、9332.7333.331 3.6633.6633.3312.7331.933 1 Tl 3其中，。48 EI因此，可以假設振型：A11.9332.7333.331 3.6633.6633.3312.7331.933 1 T則由瑞利第一商公式： RI ( A)AT K A ，可得：ATM ARI (A)111.496516.46 ，116.46mmm（ 2）瑞利第二商同樣假設力作用在簡支梁中間位置，由瑞利第二商公式：ATM A可得: R (A)1116.24，16.24R(A)1.47622AT MM Ammm瑞利法中， M 代表質(zhì)量矩陣， K 代表剛度矩陣，代表柔度矩陣，A 為模態(tài)向量。3、

9、李茲法將十自由度簡支梁縮減為三自由度，假設振型為：111.92.73.33.73.73.32.71.91 T2-1-1.8- 2.5 -1 - 0.20.2 12.51.81 T3-1-2-10121-1-2-1 T則可求出：0MT Mm01118由式0KT K1030（K- 2M）A0 ，得：a10.0017 , a20.1415 , a30.2959a112m其中， aa222，因此可得：a31110332111103a118.7 ,211 103 a21556.7 , 311 103a33254.9mmmmmm以及：- 0.99930.01350.0122A (1)0.0099,A(2)

10、0.7788 , A (3)- 0.54680.03490.62710.8372所以系統(tǒng)的前三階主振型的近似為：A(1)A (1)× 11.902.643.173.513.47 3.12 2.59 1.870.98 TA(2 )A (2)× 11.891.820.53- 0.37- 1.05- 1.040.970.130.12 TA(3 )A (3)× 12.402.02- 2.113.575.791.197.81 9.484.93 T4、矩陣迭代法單位力作用在簡支梁中間位置得到各點的撓度變形，將首項化一，得：1 1.933 2.733 3.331 3.663 3

11、.663 3.331 2.733 1.933 1T其中，l 31。48EI8因此可假設振型：A011.933 2.733 3.331 3.663 3.663 3.331 2.733 1.933 1 T利用矩陣迭代求第一階固有頻率和主振型：D A0Tm0.6966 1.3381 1.8707 2.2523 2.4503 2.4503 2.2523 1.8707 1.3381 0.6966110.0633m11.92092.68553.23333.51753.51753.23332.6855 1.9209 1 TA111.9209 2.6855 3.2333 3.5175 3.5175 3.233

12、3 2.6855 1.9209 1TD A1m0.67781.30181.81962.19052.38282.38282.19051.81961.30180.6778 T110.0616m11.92062.68463.23183.51553.51553.23182.6846 1.9206 1TA211.92062.68463.23183.51553.51553.23182.68461.92061TD A2m0.67751.30131.81892.18952.38182.38182.18951.81891.30130.6775 T110.0616m11.92072.68473.23183.515

13、53.51553.23182.6847 1.9207 1TA311.92072.68473.23183.51553.51553.23182.68471.92071T由上，僅 3 次矩陣迭代后，A3 與 A2 基本相等，因此可以認為系統(tǒng)的第一階主振型為：（）11.92072.68473.23183.51553.51553.23182.6847 1.92071T第A1一階固有頻率為：15、雅可比法1116.23a30.0616mm根據(jù)雅可比法原理，依次找出上三角非對角線上（考慮對稱性）2dij得到值，代入旋轉(zhuǎn)矩陣， 可得：的最大元素，利用公式 tan2d jjdiiRR1? R45m11則：D(4

14、5)TR ?D?R000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000由此得到系統(tǒng)的固有頻率：16.24,259.431309.524074.07100001 10m,mmmm22000, 36666.67 , 55000,110000,110000mmmmm對應各特征值的特征向量即為振型，即R 的列向量為各階振型。6、子空間迭代法取假設振型：1 -1 -1 -1 1.9 -1.8 -2 -2 2.7 -2.5 1 03.3- 1013.7- 0.212A00.22-

15、 0.53.73.311- 12.72.5- 1- 1.51.91.8- 20.511- 11.5由動力矩陣迭代得到：mM A011將各列分別歸一化得：0.28420.54600.76330.9191110.91910.76330.5460T0.2842- 0.5517 - 0.9213-1-0.7548 -0.2802 0.28020.754810.92130.55170.45930.70270.897910.97980.83410.60640.36960.16790.22190.45360.73970.80410.78350.82090.931710.89430.61080.2822求得

16、M 和 K 分別為：5.612905.13445.6327MTMm05.59950.26250.07210.26254.74835.089911 5.13445.63270.07215.08995.80410.008300.00760.0083KTK10300.13240.00630.00070.00760.00630.01190.0010.00830.00070.0010.041再由李茲法得特征值問題為：（K -2M）A0解出：a1 0.00147 , a20.0236 , a30.1198 , a40.3835a112m其中， aa210322 ，相應的主振型為：a3112310.6595

17、0.79520.1262(1)0.0002 (2)- 0.0355( 3 )0.0195 ， ( 4)0.9872A0.0044, A- 0.7504, AA0.08540.51- 0.00010.02680.32750.0479所以：A各列分別歸一化后，得：1A1111重復上述過程進行第二次迭代。由：M A歸一化后得：m11-111111則有：M TM m110TK103K0由：（K-2 M）A0解出：a10.00147 , a20.0236, a30.1186 , a40.375a12m1其中， aa210322，相應的主振型為：a311321- 0.00040.05810.0722(1 )- 0.0006( 2 )0.0003( 3)0.9983( 4 )0.031A, A, A，A0- 0.00020.0017- 0.9968010.00430.0145 A各列分別歸一化后，得：11A111進行第三次迭代：M Am11歸一化得：-111TMmM 11111000000KTK1030000由：（K- 2 M）A0解出： a10.00147 ,a20.0236, a30.1185 , a40.3687a