1989考研數(shù)二真題及解析

1、(2)(4)(6)二、(2)(4)三、填空題(每小題3分，滿分21分.把答案填在題中橫線上.)lim xcot 2x =x 0冗0 tsintdt = .x曲線y = (t -1)(t -2)dt在點(diǎn)(0,0)處的切線方程是 .設(shè) f (x) =x(x+1)(x+2) .一 ，(x+n),則 f(0) = .1設(shè) f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 f(x) =x+21 f (t)dt,則 f(x) = .a bx2, x _0設(shè)f (x) = sinbx 在x = 0處連續(xù)，則常數(shù)a與b應(yīng)滿足的關(guān)系是 ,x 0x設(shè) tan y = x + y,貝U dy =計(jì)算題(每小題4分，滿分20分.)已知 y

2、=arcsinex，求 y.+ dx求F.x ln x1求 lim(2sin x cos x)x. 一 . .2、2x = ln(1 +t ),十 dy 口 d y已知 求上及一2 .y = arctant, dx dx1 21 o已知 f(2) =3, f (2) =0及 I f (x)dx=1,求 x x2f 2x)dx .選擇題(每小題3分，滿分18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把 所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)1設(shè) x A0 時(shí)，曲線 y = xsin ()x(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線，也有鉛直漸近線(D)既無(wú)水平漸近線

3、，也無(wú)鉛直漸近線(2)若3a 5b0,貝U方程 x +2ax +3bx +4c = 0(A)無(wú)實(shí)根(C)有三個(gè)不同實(shí)根(B)有唯一實(shí)根有五個(gè)不同實(shí)根，1，hmWT存在f(a 2h) - f(a h)存在h(A)(B)(C)(D)lim f(a) - f(h)存在h 0 h(D) 曲線y =cosx(-ExwJ)與x軸所圍成的圖形，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體 22積為()2-2(A) -(B)二(C)(D) 二2(4)設(shè)兩函數(shù)f (x)及g(x)都在x = a處取得極大值，則函數(shù)F (x) = f (x)g(x)在x = a處()(A)必取極大值(B)必取極小值(C)不可能取極值(D)是否取

4、極值不能確定(5)微分方程y-y =ex+1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(式中a,b為常數(shù))()xxxx(A) ae b (B) axe b (C) ae bx (D) axe bx(6)設(shè)f(x)在x=a的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，則f(x)在x = a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是().f (a h) - f (a -h)七十lim -存在h 0 2h四、(本題滿分6分)求微分方程xy + (1-x) y = e2x (0 x 02xsin 2x【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】sin x是兩個(gè)重要極限中的一個(gè),lim 義士 = 1. x-x(2)【答案】n【解析】利用分部積分法和牛頓-萊布尼茨公式來(lái)求解，ptsintdt =tdj

5、cost)分部法.-I-t cost l0 - p (-cost)dt=二 0 bin t 0 =二(0 -0)=二.【答案】y=2x【解析】要求平面曲線的切線,首先應(yīng)求出該切線的斜率，即f (x0).這是個(gè)積分上限函數(shù)，滿足積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則，即y=(x-1)(x-2).由y 在其定義域內(nèi)的連續(xù)性,可知yxm = (0-1)(0-2)=2.x.所以，所求切線方程為 y0=2(x0)，即y = 2x.(4)【答案】n!【解析】方法一：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念求解，即f (0)=四f(x)-f(0)x(x 1)(x 2) (x n) -0.”(x 1)(x 2) ：(x n) =12 : n =n

6、!.方法二：利用其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知f (x) =(x 1)(x 2) (x n) x 1 (x 2) (x n)所以 f (0) =(0 1)(0 2) .(0 n) 00 =1 2 . .n = n!.【答案】x -1i【解析】由定積分的性質(zhì)可知，(f (t)dt和變量沒(méi)有關(guān)系，且f (x)是連續(xù)函數(shù)，故if f (t)dt為一常數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算和防止混淆，i令f f (t)dt = a,則有恒等式f (x) = x +2a ,兩邊0到1積分得110 f(x)dx =：0(x 2a)dx,1即 a = o(x 2a)dx =111 20xdx 2a 0dx = -x1_斛之

7、得 a = -一，因此 f (x) = x + 2a = x -1 .2(6)【答案】a =b【解析】如果函數(shù)在 幾處連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)處的左右極限與該點(diǎn)處函數(shù)值必然相等由函數(shù)連續(xù)性可知f_(0) = f (0) = a b。= a.sinbx sin bxf (0) = lim = lim b = b limx-p xx-p bxx-Psin bxbx如果f (x)在x=0處連續(xù)，必有f_(0)= f0),即2 = dx(x y)2【解析】這是個(gè)隱函數(shù)按照隱函數(shù)求導(dǎo)法，兩邊微分得seC y dy = dx + dy,dx dx dx所以dy = 2 -2- =2 ,( x y - 0).se

8、c y 1 tan y (x y)二、計(jì)算題(每小題4分，滿分20分.)(1)【解析】令u =eTx , v= -Vx ,則y = arcsinex =arcsinu ,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1-1v1_v -1y =(arcsin u) =u = . e v =e 二，J I. 1 -u2. 1 -u22.x1 -沃-1 y =e=,1 -e x 2 . x【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:y=3(f(x)的導(dǎo)數(shù) y=*( f (x) f(x).(2)【解析】利用不定積分的換元積分法,dx =fd 1nx = _ 1令 t =2x,則 x = t, dx = dt , +C.xln x In x

9、In x【解析】可將函數(shù)轉(zhuǎn)化稱(chēng)為熟悉的形式來(lái)求其極限，111im(2sin x cosx)x = 1im1 (2sin x cosx -1)12sin x -cosx _J-lim/1(2sin x cosx-1)2sinx c0sxx2sin x +cosx -1 =t,貝U當(dāng) xt 0 時(shí)，tT 0 ,111im1 (2sin x cosx-1)2sinx cosx=|叫1 t1這是個(gè)比較熟悉的極限，即！嗎(1 +t)t = e.12sin x：!cosx Jlim所以所以2sin x cosx - 11im(2sin x +cosx)x =ex-x%2cos x -sin x 小 洛 1

10、im =2,=x-0112sin x -cosx - 1im 21im(2sin x cosx)x = ex 0 x =e .(4)【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程dy1dy =_d! _ 1 t2dx dx2t2t 2dt 1 t2d2y d / 1、 d / 1、dt d z 11-211 t2()()()dx2 dx 2t dt 2t dx dt 2t dx(2t)22t 4t32dt1 t【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法：如果 (x=，則dy=* . y= (t) dx - (t)(5)【解析】利用定積分的分部積分法求解定積分，1 _1 1 _分部法 /) _ _11 1_(x f

11、 ”(2x)dx =3 1x df(2x) = - x f(2x) 3 ( f(2x)dx111 f (2) -0 1- .oxf (2x)dx1 .1 1=2f (2)一2 0*(2刈1 .111 1=f (2) - - xf(2x) 0 f (2 x) dx2 H_20 2 01 .11 1=f (2)- f(2) f(2x)dx,2 22 0所以，一 1.2把 f (2) =3, f (2) =0及 f f(x)dx=1 代入上式，得1 2 1 x f (2x)dx =-1 1 1 f (2) -2 f(2) 2 f(2x)dx1212一. 1 -1 1 2 -f -5 20 f dtc

12、 1 11 1 / c0 - 一 , 一 1=0.2 22 2三、選擇題(每小題3分，滿分18分.)【答案】(A)1八【解析】函數(shù)y=xsin只有間斷點(diǎn)x=0.lim y = lim xsinx )0x0 ,x11 1,其中sin 一是有界函數(shù).當(dāng)xt。+時(shí)，x為無(wú)窮小，無(wú)窮小量和一個(gè)有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮小.1 clim y = lim xsin = 0 , x-0 -x-0 x故函數(shù)沒(méi)有鉛直漸近線.1sin-x lim y = lim 4 t =x x x J二1x所以y=1為函數(shù)的水平漸近線，所以答案為(A).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù)y=f(x)在其間斷點(diǎn)x = %處有l(wèi)im

13、f (x)= ,則x阿x =凡是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng)lim f(x)=a,(a為常數(shù))，則y = a為函數(shù)的水平漸近線. x_(2)【答案】(B)【解析】判定方程 f (x) = 0實(shí)根的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是判定函數(shù) y = f (x)與x有幾個(gè)交點(diǎn)即對(duì)函數(shù)圖形的描繪的簡(jiǎn)單應(yīng)用，令 f (x) = x5 2ax3 3bx 4c ,則 f (x) =5x4 6ax2 3b.令 t =x2，則 f (x) =5x4 6ax2 3b =5t2 6at 3b = f (t),22其判別式：=(6a) -4 5 3b =12(3a -5b) 0.所以f (x) =x5 +2ax3 +3bx +

14、4G在x w (巴長(zhǎng)c)是嚴(yán)格的單調(diào)遞增函數(shù).又lim f (x) = lim (x5 2ax3 3bx 4c)=-二x 匚二x二二lim f (x) = lim (x5 2ax3 3bx 4c) = 二xx_所以利用連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在(-I, -He)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0 W (_DO,+2C)使得f(x0)=0,又因?yàn)閥 = f (x)是嚴(yán)格的單調(diào)函數(shù)，故小是唯一的.故f(x)=0有唯一實(shí)根，應(yīng)選(B).(3)【答案】(C)【解析】如圖y=cosx( Exw)的圖像，則當(dāng)y = cosx繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，在x處取 222微增dx,則微枉體的體積dV =n cos xdx ,所以體積V有

15、V =- i2二 cos2 xdx口 JL-2冗nr冗2-cos2xd2x2- dx-L9，222nn冗二一 I-sin 2x 2 x I2-4一22-2因此選(C).(4)【答案】(D)【解析】題中給出白條件中，除了一處極值點(diǎn)外均未指明函數(shù)其它性質(zhì)，為了判定的方便可以舉出反例而排除.若取f (x) =g(x) =-(xa)2,兩者都在x = a處取得極大值0,而F(x) = f(x)g(x) =(xa)4在x=a處取得極小值，所以(A)、(C)都不正確.若取f (x) =g(x) =1-(x-a)2,兩者都在x= a處取得極大值1,而2 -i2F(x)= f(x)g(x)= 1 -(x -a

16、)2 I在x = a處取得極大值1,所以(B)也不正確，從而選(D).【答案】(B)【解析】微分方程y”-y = ex+1所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為r2-1 = 0,它的兩個(gè)根是 r1 =1,r2 - -1而形如y“y=ex必有特解Y =x.aex； y“y=1必有特解Y=b.由疊加得原方程必有特解 Y = x aex +b ,應(yīng)選(B).(6)【答案】(D)【解析】利用導(dǎo)數(shù)的概念判定f (x)在x = a處可導(dǎo)的充分條件.(A)等價(jià)于lim f (a f (a)存在,所以只能保證函數(shù)在 x = a右導(dǎo)數(shù)存在;T t(B)、(C)顯然是f(x)在x= a處可導(dǎo)的必要條件，而非充分條件，1

17、 .COS，x0在x =0處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，但是0,x =011、11lim f (a h) - f (a - h) 02hcos(0 ) - cos(0 - ) cos - cos: limh 二 limhh = 0,1 cos 2h1一 cos2h =0均存在;hh w2hh 0 2h,1、 小 1、cos( ) - cos(0 -).f (a 2h) - f (a h)2h2h .limlimlimh-phh.0hh0(D)是充分的：f (a：x) - f (a) x1,. f (a) - f (a -h)f(a)-f(a-h)一4lim - =lim 存在 口 f (a) = li

18、m 存在,.1xh-.0hh.Qh應(yīng)選(D).四、(本題滿分6分)【解析】所給方程為一階線性非齊次微分方程，先寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式/ 八 1 2xy(- -1)y =-e ,x x-(一二)dx 1 2x IL _1)dx1 x 1 2x xe x通解為 y -e x ( 1e2xe x dx C) =1 ex(e 吟dx C) =e (ex C). xx x exx代入初始條件y(1) = 0JHC =e,所求解為y=e-(exe).x【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y+ p(x)y = q(x),其通解公式為y =eip(x)dx( Jq(x)ep(x)dxdx+ C)，其中 C

19、為常數(shù).五、(本題滿分7分)【解析】先將原式進(jìn)行等價(jià)變換，再求導(dǎo)，試著發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律xxxf (x) =sinx - (x -t) f (t)dt =sinx -x f (t)dt， tf (t)dt, 000所給方程是含有未知函數(shù)及其積分的方程，兩邊求導(dǎo)，得xxf (x) = cosx - o f (t)dt - xf(x) xf(x) = cosx - 0 f (t)dt,再求導(dǎo)，得f (x) = -sin x - f (x)，即 f (x) + f (x) = -sin x ,=0,士i為特這是個(gè)簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，對(duì)應(yīng)的齊次方程白特征方程為 r2 +1此特征方程的根為r

20、 = ：i ,而右邊的sin x可看作 維sin Px,儀=0,P = 1,口 iP =征根，因此非齊次方程有特解 Y =xasin x +xbcosx .1 x代入萬(wàn)程并比較系數(shù)，得a = 0,b = ，故Y =- cosx ,所以2 2f (x) = c1 cosx c2 sin xcosx.21 1x又因?yàn)?f (0) =0, f (0) =1，所以 g =0,c2 = ，即f (x) = sin x+cosx.2 22六、(本題滿分7分)【解析】方法一：判定方程f (x) = 0等價(jià)于判定函數(shù)y = f (x)與x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).x 令 f (x) = ln x -. 1 - cos2xd

21、x ,e 0T其中1 / cos2xdx是定積分,為常數(shù)，且被積函數(shù)1 -cos2x在(0,江)非負(fù)，故1V1 -cos2xdx 0 , 為簡(jiǎn)化計(jì)算，令 /W -cos2xdx = k 0,即 f (x) = ln x - e11.則其導(dǎo)致f(x)=-一，令f(x)=0解得唯一駐點(diǎn)x = e, x e即f(x)0,0x0. eIx lim f (x): lim(ln x - k)一：又因?yàn)閤 0. x Q. e,里 f(x)=xm(lnx1+k) = g由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在(0, e)與(e,依)各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(不相同),x故方程In x = e方法二:0、1 - cos2xdx =71：sin2xdx ,因?yàn)楫?dāng)0 wx wn時(shí)，sin x至0 ,所以 - 2sin2 xdx = 2 0 sin xdx 二 _ 2 I - cosx 0 =2,20.其它同方法一.七、（本大題滿分11分）【解析】函數(shù)y =x 1 .2 I x1一- x 一 一 11的定義域?yàn)椋ǖ?0）U（0,y 將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=一十=, x x=4 (6 2).x x令=0,得x = 2，即,12y =-(-1) 0,x (-2,0), xx.12一y =-2(-1) 0,xe(-3,0)U(0,收),為凹, x x