直線與圓知識點總結及例題

1、.直線和圓知識點總結1、直線的傾斜角 ：（ 1）定義 ：在平面直角坐標系中，對于一條與x 軸相交的直線 l ，如果把 x 軸繞著交點按 逆時針方向轉 到和直線 l 重合 時所轉的 最小正角 記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線l 與 x 軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；（ 2）傾斜角的范圍0, 。如（1）直線 x cos3 y 2 0 的傾斜角的范圍是_（答：0 ， 5 ， )）；66傾斜角的取值范圍是0° 180° . 傾斜角不是 90°的直線， 它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k 表示 . 傾斜角是 90°的直線沒有斜率 .（2）過點 P(3

2、,1), Q (0,m) 的直線的傾斜角的范圍, 2, 那么 m 值的范圍是_（答： m2或 m4 ）332、直線的斜率 ：（ 1）定義 ：傾斜角不是 90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率 k ，即 k tan (90° ) ；傾斜角為 90°的直線沒有斜率； （ 2）斜率公式 ：y1y2經(jīng)過兩點 P1(x1, y1 ) 、 P2(x2, y2 ) 的直線的斜率為 kx1x2x1x2 ；（ 3）直線的方向向量 a(1,k) ，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？（kABkBC 。 如 (1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的充分也不必要） ；（ 2）

3、實數(shù) x, y 滿足 3x 2 y 5 0 (1分別為 _（答： 2, 1）34）應用 ：證明三點共線：_ 條件（答：既不x 3 )，則 y 的最大值、最小值x3 、 直 線 的 方 程 ：（ 1 ） 點 斜 式 ：已 知 直 線 過 點 ( x0 , y0 ) 斜 率 為 k ， 則 直 線方 程 為yy0k ( xx0 ) , 它不包括垂直于x 軸的直線。直線的斜率k0 時，直線方程為yy1 ；當直線的斜率k 不存在時， 不能用點斜式求它的方程，這時的直線方程為xx1 .（ 2）斜截式 ：已知直線在y 軸上的截距為b 和斜率 k ，則直線方程為ykxb , 它不包括垂直于 x 軸的直線。（

4、 3）兩點式 ：已知直線經(jīng)過P1 ( x1, y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 兩點，則直線方程為yy1xx1 ，它不包括垂直于坐標軸的直線。若要包含傾斜角為00 或 900 的y2y1x2x1直線，兩點式應變?yōu)?( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) 的形式 . （ 4 ）截距式 ：已知直線在 x 軸和 y 軸上的截距為 a, b , 則直線方程為 x y 1，它不包括垂直于坐標軸的直線ab和過原點的直線。 （ 5）一般式 ：任何直線均可寫成AxByC0 (A,B 不同時為 0) 的形;.式。如（ 1）經(jīng)過點（ 2，1）且方向向量為 v =( 1,3

5、 ) 的直線的點斜式方程是 _（答： y 13( x2) ）；（ 2）直線 (m2) x(2m 1) y(3m4)0 ，不管 m 怎樣變化恒過點 _（答： (1, 2) ）；（3）若曲線 ya | x | 與 y xa(a0)有兩個公共點，則 a 的取值范圍是 _（答： a1）提醒 ： (1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？） ；(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為 0.直線兩截距相等直線的斜率為 -1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為 1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為1或直線過原點。 如過點 A(1,4)，且

6、縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條（答： 3）4. 設直線方程的一些常用技巧：（ 1）知直線縱截距 b ，常設其方程為y kxb ；（ 2）知直線橫截距x0 ，常設其方程為x my x0 (它不適用于斜率為0 的直線 )；（3）知直線過點 ( x0 , y0 ) ，當斜率 k 存在時，常設其方程為yk( x x0 ) y0 ，當斜率 k 不存在時，則其方程為 xx0 ；（ 4）與直線 l : Ax By C0 平行的直線可表示為Ax ByC10 ；（ 5）與直線 l : AxBy C 0 垂直的直線可表示為 BxAyC10 .提醒 ：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)

7、法求解。5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（ 1）點 P( x0 , y0 ) 到直線 AxByC0 的距離 dAx0 By0 C；A2B2（ 2）兩平行線 l1 : AxByC10, l2 : AxBy C20 間的距離為 dC1C2。A2B26、直線 l1 : A1 xB1 yC10 與直線 l2 : A2 xB2 yC20 的位置關系 ：（ 1）平行A1B2A2 B10（斜率）且 B1C 2 B2C10（在 y 軸上截距）；（ 2）相交A1B2A2 B10 ；（ 3）重合A1B2A2 B10且 B1C2B2C10 。提醒 ：（ 1） A1B1C1、 A1B1、 A1B1C1僅是兩直

8、線平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要條件！為什么？（ 2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（ 3）直線l1 : A1x B1 yC10 與直線 l 2 : A2 x B2 yC20 垂直A1 A2B1 B20 。如（ 1）設直線 l1 : x my60 和 l 2 : (m2) x3 y2m0 ，當 m _時 l1 l 2 ；當 m _時 l1l2 ；當 m _時 l1 與 l2 相交；當 m _時 l1 與 l2 重合（答： 1； 1 ； m3且m1； 3）；（ 2）已知直線 l 的方

9、程為 3x4 y120 ，則與 l 平行，2且過點（ 1，3）的直線方程是 _（答： 3x 4y 90 ）；（ 3）兩條直線 axy4 0與 x y 20 相交于第一象限，則實數(shù)a 的取值范圍是（答：1a2）；（4）設_;.a,b,c 分別是 ABC中 A 、 B 、 C 所對邊的邊長，則直線sin A x ayc 0 與bx sin B ysin C0的位置關系是 _ （答：垂直） ；（ 5）已知點P ( x , y )是直線1 11l : f ( x, y)0上一點， P2 (x2 , y2 ) 是直線 l外一點，則方程 f (x, y)f (x1, y1 )f ( x2 , y2 ) 0

10、 所表示的直線與l的關系是 _（答：平行）；（ 6）直線 l 過點（，） ，且被兩平行直線 3xy6 0和3xy3 0所截得的線段長為9，則直線 l的方程是 _（答：4x 3 y40和 x1）7、特殊情況下的兩直線平行與垂直: 當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1) 當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，互相平行； (2) 當另一條直線的斜率為 0 時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直8、對稱 （中心對稱和軸對稱）問題代入法 ：如（ 1）已知點 M (a, b) 與點 N 關于 x 軸對稱，點 P 與點 N 關

11、于 y 軸對稱，點 Q 與點 P 關于直線 xy 0對稱，則點 Q 的坐標為_ （答： (b, a) ）；（ 3）點（，）關于直線l 的對稱點為 ( 2,7)，則 l的方程是 _（答： y=3x3）；（ 4）已知一束光線通過點（，），經(jīng)直線 l :3x4y+4=0 反射。如果反射光線通過點（， 15），則反射光線所在直線的方程是_（答： 18x y 510）；（5）已知ABC 頂點 A(3 ， )，邊上的中線所在直線的方程為 6x+10y 59=0， B 的平分線所在的方程為x 4y+10=0 ，求邊所在的直線方程（答：2x9 y650 ）；（6）直線 2x y 4=0 上有一點，它與兩定點（

12、4, 1）、（ 3,4 ）的距離之差最大，則的坐標是_（答：（ 5,6）；（ 7 ）已知 Ax 軸，B l : y x， C（2， 1），ABC 周長的最小值為 _（答：10 ）。提醒 ：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9. （ 1）直線過定點。 如直線 （ 3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0, 不論 m 取 何值恒過定點 （ -1，2）（ 2）直線系方程（1）與已知直線Ax+By+C=0平行的直線的設法:Ax+By+m=0 (m C)( 2 ) 與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線的設法: Bx-Ay+m=0（ 3）經(jīng)過直線l1 A1 x+ B1 y+ C1 =

13、0， l 2 A2 x+ B2 y+ C2 =0 交點的直線設法：A1 x+ B1 y+ C1 + （ A2 x+ B2 y+ C2 ） =0（ 為參數(shù)，不包括l2 ）（ 3）關于對稱（ 1）點關于點對稱（中點坐標公式）（ 2）線關于點對稱（轉化為點關于點對稱，或代入法，兩條直線平行）（ 3）點關于線對稱（點和對稱點的連線被線垂直平分，中點在對稱軸上、kk=-1 二個方程）（ 4）線關于線對稱（求交點，轉化為點關于線對稱）10、圓的方程 ：圓的標準方程：x2y2r 2 。ab圓的一般方程：x2y2DxEyF 0(D 2 E24F0) ，特別提醒 ：只有當;.D 2E24F0 時，方程 x2y2

14、DxEy F0 才表示圓心為 (D,E ) ，半徑為122D 2E24F 的圓（二元二次方程Ax2BxyCy 2DxEy F0表示圓的充要20且 D2E2條件是什么？（ AC0,且 B4 AF0 ）；圓的參數(shù)方程：xar cos（為參數(shù)），其中圓心為 (a,b) ，半徑為 r 。圓的ybr sin參數(shù)方程的主要應用是三角換元：x2y2r 2xr cos, yr sin； x2y2txr cos, yr sin(0rt ) 。 Ax , y, Bx , y2為直徑端點的圓方程xxxxyyyy20112121如（ 1）圓 C 與圓 (x1)2y21關于直線 yx 對稱，則圓 C 的方程為 _（答：

15、 x2( y1)21）；（ 2）圓心在直線2x y 3上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是 _ （答： ( x3)2( y3) 29 或 ( x 1) 2( y1)21 ）；（ 3）已知P(1,3) 是圓x r cos （為參數(shù)， 02) 上的點，則圓的普通方程為 _，yr sinP 點對應的值為 _，過 P 點的圓的切線方程是_（答： x2y24 ；2；3x3y40 ）；（ 4）如果直線 l將圓： x2+y 2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是2 x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k_（答： 0，2）；（ 5）方程 x +y的取值范圍為（ 答：1）；（ 6）若M(

16、 x, y) |x3cos （為參數(shù)，0) ，k2y3sinN( x, y) | yxb ，若 MN，則 b 的取值范圍是 _（答： 3,32）：已知點 Mx0 , y02yb2r 2r011、點與圓的位置關系及圓 C：x-a，（1）點 M 在圓 C外CM rx02y0b22；（2）點 M 在圓 C 內arCM rx0a2y0b2r2 ；（ 3）點 M 在圓 C 上CM rx0a2y0b2y2=1的內部 ,則 a 的取值范圍是 _r 2 。 如點 P(5a+1,12a)在圓 (x )（答： | a |1）132212、直線與圓的位置關系：直線 l : AxByC0和圓 C：xay br2r0有

17、相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷：（ 1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：0相交；0相離；0相切；（ 2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設圓心到直線的距離為d ，則dr相交； dr相離； dr相切。 提醒：判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。如（ 1）圓 2x 22 y 21與直線 x siny10(R,k，2;.kz) 的位置關系為 _（答：相離）；（ 2）若直線 axby30 與圓 x2y24x 10切于點P(1,2) ， 則 ab 的 值 _ （ 答 ： 2 ）；（ 3 ） 直 線 x2 y0被曲線x2y26x2 y1 50所截

18、得的弦長等于（答： 45 ）；（4）一束光線從點 A( 1,1) 出發(fā)經(jīng)x 軸反射到圓22（答： 4）；（5）已知C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是M ( a, b)(ab0)是圓 O : x2y2r 2 內一點，現(xiàn)有以M 為中點的弦所在直線m 和直線l : axbyr 2 ，則 A m/ l ，且 l 與圓相交B lm ，且 l 與圓相交C m / l ，且 l 與圓相離D lm ，且 l 與圓相離（答： C）；（ 6）已知圓 C： x2( y 1)25，直線 L ： mxy 1m0。求證：對 mR ，直線 L 與圓 C 總有兩個不同的交點；設 L 與圓 C 交于 A、B 兩

19、點，若AB17，求 L 的傾斜角；求直線L 中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答： 60或 120最長： y1，最短： x1）13、圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷）：已知兩圓的圓心分別為 O1， O 2 ，半徑分別為 r1 ,r2，則（ 1）當 |O1 O2r1r 2 時，兩圓外離； （ 2 ）當|O1 O2r1r 2 時，兩圓外切；（ 3 ）當 r1r2<|O 1 O2r 1r 2時，兩圓相交；（4）當|O1 O2r1r 2 |時，兩圓內切； （ 5 ）當 0|O1 O2r1r 2 |時，兩圓內含。如 雙曲線x2y21的左焦點為F1，頂點為 A 1、 A

20、 2， P 是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段a2b2PF1、 A 1A2 為直徑的兩圓位置關系為（答：內切）14、圓的切線與弦長：(1)切線： 過圓 x2y2R2 上一點 P( x0 , y0 ) 圓的切線方程 是： xx0yy0R2 ，過圓( x a)2( y b) 2R2上 一 點 P( x0 , y0 )圓的切線方程是：( x a )( x0a) ( ya)( y0a )R2 ，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑） ；從 圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點的直線（即“切點弦

21、” ）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的 公 共 弦 就 是 過 兩 切 點 的 直 線 方 程 ； 切 線 長 ： 過 圓 x2y2Dx Ey F 0（( x a) 2( y b) 2R2） 外 一 點 P(x0 , y0 )所引圓的切線的長為x0 2y0 2Dx0Ey0F （( x0a) 2( y0b)2R2 ）；如設 A 為圓 (x 1)2 y21上動點，PA 是圓的切線， 且 |PA|=1，則 P 點的軌跡方程為 _（答： (x1)2y22 ）；（ 2）弦長問題 ：圓的弦長的計算： （垂徑定理）常用弦心距d ，半弦長1 a 及圓的2半 徑 r 所 構

22、成 的 直 角 三 角 形 來 解 ： r 2d 2( 1 a)2 ； 過 兩 圓 C1 : f ( x, y)0、21時，方程C2 : g ( x, y) 0 交 點 的 圓 ( 公 共 弦 ) 系 為 f ( x, y)g ( x, y) ，0 當f ( x, y)g (x, y)0 為兩圓公共弦所在直線方程.。15. 解決直線與圓的關系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質的作用 ( 如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!16. 圓的切線和圓系方程;.1過圓上一點的切線方程：圓x 2y 2r 2 ，圓上一點為 ( x0 , y0 ) ，則過此點的切線方

23、程為 x0 x+y0 y=r 2(課本命題 )圓 x2y 2r 2 ，圓外一點為 (x0 , y0 )，則過此點的兩條切線與圓相切，切點弦方程為 x0 xy0 yr 2 。2圓系方程：設圓C1 x2y2D1 xE1 yF1 0和圓 C2 x 2y2D 2 x E2 y F20若兩圓相交，則過交點的圓系方程為x 2y2D1 xE1 y F1 + （ x2y 2D 2 xE2 yF2 ） =0( 為參數(shù)，圓系中不包括圓 C2， =-1為兩圓的公共弦所在直線方程)設圓 C x2y 2DxEyF0與直線 l ：Ax+By+C=0 ，若直線與圓相交，則過交點的圓系方程為x 2y2DxEyF +(Ax+B

24、y+C)=0( 為參數(shù) )例題1 經(jīng)過點 P(2， m)和 Q(2m， 5)的直線的斜率等于1，則 m 的值是 ( B )2A 4B 3C1或 3D1或 4變： 求經(jīng)過點 A(2, sin), B(cos,1)的直線 l 的斜率 k 的取值范圍2.已知直線l 過 P( 1， 2)，且與以A( 2， 3)、B(3 ， 0)為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍1點評：要用運動的觀點，研究斜率與傾斜角之間的關系！答案：， 2 5 ， )3.已知坐標平面內三點A( 1， 1)， B(1 ，1)， C(2，31) ，若 D 為 ABC 的邊 AB 上一動CD 斜率 k 的變化范圍答案：， 12 5

25、， )1.求 a 為何值時， 直線 l1：(a 2)x (1 a)y 10 與直線 l2：(a1)x (2a 3)y 20 互相垂直？答案：a=-12.求過點 P(1， 1)，且與直線 l2： 2x3y 1 0 垂直的直線方程答案： 3x2y 5 0. 例 2.求過定點 P(2， 3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程;.例 3.已知 ABC 的頂點 A(1， 1)，線段 BC 的中點為D(3， 3 )2(1) 求 BC 邊上的中線所在直線的方程；(2) 若邊 BC 所在直線在兩坐標軸上的截距和是9，求 BC 所在直線的方程例 4.方程 (m 2 2m 3)x (2m 2 m 1)y2m 6滿

26、足下列條件，請根據(jù)條件分別確定實數(shù) m 的值 (1)方程能夠表示一條直線； （答案： m1）(2) 方程表示一條斜率為 1 的直線（答案： m2 ）例 5.直線 l 的方程為 (a 2)y (3a1)x 1(a R) 1 3(1) 求證：直線 l 必過定點；（答案： (5， 5)）(2) 若直線 l 在兩坐標軸上的截距相等，求l 的方程；（答案： 5x5y 4 0）(3) 若直線 l 不過第二象限，求實數(shù) a 的取值范圍（答案：分斜率存在與不存在）例 1：求點 A(-2,3) 到直線l:3x+4y+3=0 的距離d=。例 2：已知點（ a,2）到直線l: x-y+1=0 的距離為2，則 a=。 (a 0)例 3:求直線 y=2x+3 關于直線 l: y=x+1 對稱的直線方程。類型一：圓的方程例 1 求過兩點A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圓心在直線y0 上的圓的標準方程并判斷點P(2 , 4)與圓的關系變式 1：求過兩點A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且被直線 y0 平分的圓的標準方程.變式 2：求過兩點A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圓上所有的點均關于直線y0 對稱的圓的標準方程 .類型二：切線方程