對幾何直觀的理解

1、對兒何直觀的理解課標（2011年版）在“課程設(shè)計思路”中提出了“幾何直觀”這個與學(xué)習(xí)內(nèi)容 有關(guān)的新的核心概念，怎樣理解“幾何直觀”？它在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中有何作用？一、把握十個核心概念的三個層次第一層，主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念，女口；數(shù)感、符號意識、運算能 力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，空間觀念主要怵現(xiàn)在圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)據(jù)分析觀念 主要處現(xiàn)在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域；第二層，體現(xiàn)在不同領(lǐng)域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想：第三層，超越課程內(nèi)容，整個小學(xué)數(shù)學(xué)課程都應(yīng)特別注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識 和創(chuàng)新意識。二、對直觀的理解1、直觀是相對的，有不同的層面和表現(xiàn)。眼前的美景難以描幕，我們拍下

2、照 片，這是一種直觀；抽象的道理難以領(lǐng)悟，我們講了一個故事，這是直觀：復(fù)雜的 邏輯關(guān)系難以梳理，我們畫了一個流程圖，這也是直觀。2、直觀含有可視化的意思（英丈Visual ）,作為一個隱嗡，直觀意味著是感 宮可以直接感知的，但并不局限干視覺。比如，相較于文字的描繪，蘆音、顏色、 氣味、圖形、味逍，可以直接作用于不同感官的東西都可以構(gòu)成一種直觀。3、直觀它是認識的淺層次階段，是進一步抽象的基礎(chǔ)，三、幾何直觀的含義標準指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀 可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果. 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)

3、學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著董要作 用”著名數(shù)學(xué)家徐利治先生也有過對幾何直觀的描述：“幾何直觀是借助干見到的 或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對數(shù)匡關(guān)系的直接感知也有學(xué)者這么描述；“幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系 的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)”從這些描述中，我們可以有以下的認識：幾何直觀是一種運用圖形認識事物的能力，或者說是一種解決數(shù)學(xué)問題的忌継方 式。這種能力可外化為一種在解決某些數(shù)學(xué)問題時的方法，這種方法區(qū)別于其他 方法的典型特征在于它是以幾何圖形為工具的一一即“幾何”兩字的意義.用這種方法解決問題，不是運用幾何中常用的論證方法，而是通過經(jīng)驗、觀 察、想象等途徑，直觀地感知問題

4、的結(jié)果或方向一一即“直觀”兩字的意義.例如，三年級學(xué)生要學(xué)習(xí)同分子分數(shù)大小比較，這個知識相對比較抽象，學(xué)生 較難理解.此時，學(xué)生如果能主動地采取畫出（或想到）幾何圖形的方式，然后通 過觀察（或想象）圖形的特點及聯(lián)系，那么就能直觀地解決問題，并鋰解“分子相 同的分數(shù)，分母小的反而大”的道理。學(xué)生如果具備這種解決問題的思維方式，拿 握這樣的方法，我們就可以說學(xué)生有幾何直觀的能力四、幾何直觀與數(shù)形結(jié)合在理解幾何直觀意義的過程中，聶大的因惑就是灘以將幾何宜觀與數(shù)形結(jié)合清 晰地區(qū)別開來.比如說，上文所舉的分數(shù)大小比較時用幾何圖形來思考的例子，在 以前，我們一直將其視為用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題的典型而如今

5、，這樣的觀念 要調(diào)整，數(shù)形結(jié)合變成了幾何直觀，這就難免讓人產(chǎn)生疑惑：數(shù)形結(jié)合與幾何直 觀，區(qū)別到底在哪里？什么是數(shù)形結(jié)合？數(shù)形結(jié)合，是一種至要的數(shù)學(xué)思想方法，也是解決數(shù)學(xué)問題 的有效策略.它杲指解決數(shù)學(xué)問題時，可借助干“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”， 或反過來運用“數(shù)”與“式”的描述來刻畫“形”的特征。數(shù)形結(jié)合最基本的形式為“以形助數(shù)"和“以數(shù)解形"。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的分數(shù) 應(yīng)用題，我們運用畫線段圖未分析其中的數(shù)呈關(guān)系，這樣的情況就可叫做“以形助 數(shù)”，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，以數(shù)解形例子極少。而我們在直角坐標系中，用數(shù)對來描述 劉形的變化如平移、旋轉(zhuǎn)），或計算兩點之間的距離等這樣的情況

6、則可叫做 “以數(shù)解形”?！耙孕沃鷶?shù)”，是在發(fā)揮“形”所具有的直觀特點，來降低“數(shù)”的 抽象度：而“以數(shù)解形”，則是在利用“數(shù)"的精確性，來準確刻畫“形”，讓 "形”得以墾化。如此，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決 問題。如圮用一個不太恰當(dāng)?shù)谋扔鱽硇稳輸?shù)形結(jié)合的特點，它就好比是架設(shè)在 “數(shù)”與“形”之間的一條雙向通道，起著由此及彼、相互彳足進的作用尿幾何直觀的概念可知，它是指“利用圏形描述和分析數(shù)學(xué)問題”。幾何直觀 就是用“形”來解抉數(shù)學(xué)問題。盡管這個“數(shù)學(xué)問題”可能井不僅僅是"數(shù)”，可 以是“形”或者其他數(shù)學(xué)問題。但不管怎樣，如果與數(shù)形站合做個對

7、比，那么它就 只能算是一條由“形”岀發(fā)的單向通道而己.幾何直觀，也是在用“形”，但這個“形”，可以是眼睛見到的，可以是畫出 的也可以是大腦想到的。更重要的是，它是要依托“形”直接地產(chǎn)生對數(shù)1:關(guān)系 及事物其他本質(zhì)屬性的感知，即“未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種宜接洞 寡，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認識?！蔽濉缀沃庇^案例幾何直觀是一種立足于“形”卻帶有思維跳賈性的解決數(shù)學(xué)問題的方式，它是 基于表象的、在人頭腦中進行的“快捷推理”【案例】蘇教版四年級下冊“解決問題的策略（畫圖”有這樣一題：小營村原來有一個寬20米的長方形魚池。后來因擴建公路，魚池的寬誠少了5米，這樣魚池的面積就城少了 150

8、平方采。現(xiàn)在魚池的面積是多少平方米？多數(shù)學(xué)生畫好圖后（如古），現(xiàn)在？平方米f>-150平方采a20米這樣算：1504-5=30 （米），30X （20-5） =450 （平方米）°有的學(xué)生因為讀 題不仔細，同時受此前幾題都娃求原來面積的干擾，算成了 30X20=600 （平方 米）。只有極少數(shù)的學(xué)生，根據(jù)畫的圖，直按列式計算：150X3-450 （平方米）。 對這樣的簡便算法，很多學(xué)生一時還不理解，但經(jīng)學(xué)生或老師的解釋，也都能恍然 大悟。考察直接列式計算的學(xué)生的思維過程，聞圖給他提供了直觀的刺激：寬是5 米的3倍，長不變，面積自然也是減少部分的3倍；更言接的，先看減少的150平

9、 方米，以5米作為標尺，根據(jù)圖形，現(xiàn)在的面積是就是150平方米的3倍。在這個 過程中，150寧5=30的計算、長方形的面積公式是可以跳過去的。這體現(xiàn)了幾何直 觀的特點：未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種宜接洞察，直接把握對象的全貌 和對本質(zhì)的認識?！纠劾?】在北師大版數(shù)學(xué)五年級下冊“分數(shù)混令運算”的敎學(xué)中，教師 出示題目；小華錄入一份輻件，錄入了 3/'4后 還4' 700字，小華錄入了多少字？ 解法（1：設(shè)這份槁件共有X個字，X- 3/4X=700, X=2800,所以X=2100o 解法（2） : 7004- （1-3/4） X3/4 =2100o在匯報究上述兩種常規(guī)算法后

10、，有一男生澈動地說；我還有一種解法，700X 3=2100o學(xué)生們七嘴八舌，都認為該生的結(jié)果杲湊出來。這曲男生不服氣了，說：我可沒湊，我有依據(jù)的。我是借助線嚴圖來解題的。該生在黑板上畫殲線段圖（如右）,31 宀,?，00 字1111邊指著線段圖邊解說：整條線段表示一本書字數(shù)，錄入了 3/4就是把線段平均分成了 4份，其中的3份表示已錄 入的，剩下1飴沒錄，還剩700字就是這沒錄的1份。求小華錄入了務(wù)少字，就杲 求3份的字數(shù)，所以用700X3?！景咐?】在人教版六年級數(shù)學(xué)上冊“分數(shù)除法” 一道練習(xí)題（如下）9 學(xué)枝舉行科技作朋A:獎氛 共收到科技作品120件.（I）把下夜中的空臨址場完螯.占佚獎作呂總救的幾分之幾伎獎作品件故7箕1T二獎1 為三訴獎124學(xué)生可以按照一般方法，先用24-1/2=48 （件），求得獲獎作品總件數(shù)：M 用48X1/3=16 （件求得二等獎獲獎作品件數(shù)；然后用48X 1/6=8 （件）求得一等 獎獲獎作品件數(shù)。其實也可以借助圖形，通過合情推理的方法得到結(jié)杲，而省去了中間繁瑣的計 算。24人=yp丿、-、1/2(16)人 入、8 )r1/3人Y1/6C1)他們都直接借助圏形來思考，借助的手段有欄幾何”特色。(2) 借助圖形思考跳過了一些步驟，更加簡潔、快速地獲得答案，體現(xiàn)了 “直 觀”的特色。(3) 幾學(xué)生分析與解決的問題都不屬于“圖形與幾