2016隨機復(fù)習(xí)20120考完更新版

1、隨機過程習(xí)題復(fù)習(xí)一、小題1 .柯爾莫哥洛夫向前方程的矩陣形式： 。2 .設(shè)為上鞅， 為停時。如果對所有，則 3 . i.考慮一更新過程，如果-，-，則ii.考慮一更新過程，如果則4 .設(shè)隨機過程的一維分布函數(shù)為，則，5 .設(shè)是強度為 的齊次泊松過程，則6 .設(shè)隨機變量，相互獨立，均值為 0,方差為1,令，則7 .設(shè)隨機變量，相互獨立，均值為0,方差為1 ,令則_,。8 . i.設(shè)為連續(xù)時間馬氏鏈，為矩陣。，則Oii.設(shè)為連續(xù)時間馬氏鏈，為矩陣，則O9 .設(shè)是強度為 的齊次泊松過程，則的特征函數(shù)為10 .設(shè)為相互獨立同分布的隨機序列，為關(guān)于 的一個停時，,則。11 . i.設(shè)為強度為 的泊松過程

2、，則；ii.設(shè)為強度為的泊松過程，則。12 .更新過程是齊次泊松過程的一種推廣。13 .如果馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率滿足：，那么狀態(tài)為非周期的。14 .如果有正整數(shù) ，使得馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率滿足：，那么狀態(tài)為非周期的。15 .設(shè)為，且他們相互獨立， 則為。16 .對于馬爾可夫過程，若，則稱狀態(tài) 常返。17 .設(shè)獨立同分布，且-，令 ,則關(guān)于18.若 鞅。是停時。和關(guān)于為上鞅，則關(guān)于 為上.小題與書本和試卷對應(yīng)情況及一些補充1 . P222 例 6.3.22. 08 年 06 級 B 卷 一 5.10年08級A卷 一 2.3. P303 習(xí)題 3i. 08年06級B卷4. ii. 15 年 13 級 A

3、卷 一 5.補充：4. 08 年 06 級 A 卷 一 1.5. 08 年 06 級 A 卷 一 3.6. P152 例 5.2.2補充：，15年13級A卷一 3.08年06級B卷一 1.15年13級A卷 一 1.7. 10 年 08 級 A 卷 一 1.補充題（6,7題類似）：P152 例5.2.3隨機相位正弦波,式中和為常數(shù)，是在上具有均勻分布的隨機變量。則8. P219 式 6.3.269. P24110. P230 例 9.3.3i . 08 年 06 級 A 卷 一 2.ii .08 年 06 級 B卷 一 2.08年06級B卷 一 3.08年06級A卷 一 4.15年13級A卷 一

4、 2.10年08級A卷 一 3.10年08級A卷 一 4.11. i. 08 年 06 級 A卷 一 5.ii. 10 年 08 級 A卷 一 5.補充：設(shè)為強度為12. 08 年 06 級 B卷二 3.13. P193-19414. P193-19415. P244 定理 7.1.216. P196 定義 6.2.108年06級A卷二 1.補充：一些相關(guān)定理、定義：1. P196 定理 6.2.317. 08 年 06 級 A卷二 4.18. 08 年 06 級 A卷二 5.的泊松過程，10年08級A卷 二 3.08年06級B卷二 2.08年06級A卷二 2.08年06級A卷二 3.08年0

5、6級B卷二 1.ii. P198 定義 6.2.208年06級B卷二 4.08年06級B卷二 5.10年08級A卷二2.15年13級A卷一4.10年08級A卷二1.iii. P198 定理 6.2.510年08級A卷二4.10年08級A卷二5.1 . 08年06級的A,B卷和10年08級的卷子有判斷題，但是在 15年下學(xué)期的13級的這次 考試沒有出判斷題，只有填空題。1-11題是08年06級的A,B卷和10年08級的卷子中出現(xiàn)的填空題，12-18題是其中出現(xiàn)的選擇題，感覺以后應(yīng)該會是這18道里出填空題。2 .后面補充的部分可以看一下雖然不屬于大概率考試范圍。大題1. I.設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移

6、概率矩陣- - -。(1)寫出二步轉(zhuǎn)移概率矩陣；(2)此鏈是否遍歷？如果是，求其極限分布。解：(1)- 一一一(2)對任意 都有 ，所以可知 為遍歷的。(3)設(shè)，則由及得， II .設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣-。試證鏈是遍歷的，并求其極限分布。解：(1) 一 一 一 一 -(2)因此，所以遍歷。(3)其極限分布滿足，-III .設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣-。試證鏈是遍歷的，并求其極限分布。解：(1)-(2)因此，所以遍歷。(3)其極限分布滿足易得。*2.設(shè)齊次馬氏鏈的狀態(tài)空間,轉(zhuǎn)移概率矩陣（1）哪些狀態(tài)非常返的？常返的？正常返的？ （2）分解狀態(tài)空間。解：（1）對狀態(tài)4,易知,所以狀態(tài)

7、4是非周期非常返的。狀態(tài)2是一個吸收狀態(tài)，故2是非周期正常返狀態(tài)，它自身構(gòu)成一個基本常返閉集。狀態(tài) ，且構(gòu)成一個閉集。因 一 一一 一一一一 一所以一 一 一 一 一，因此狀態(tài)1是正常返并且非周期的，于是構(gòu)成另一個基本常返閉集。（2）記，則狀態(tài)空間可分解為* 3 .設(shè)是強度為 的泊松過程，（即 ），為一列相互獨立同分布的隨機變量，且與相互獨立。令，證明：的特征函數(shù)，其中 是的特征函數(shù)， 一。證：* 4 .設(shè)是一更新過程，是其更新間隔，證明：證：因，可見 。然而，因一是前個來到間隔的平均值，由強大數(shù)定律得出，當時,但由于 ，所以 ，。又因為由同樣的理由知，當 ， ，由 ,因為介于兩個變量之間，而

8、兩變量在時都收斂于 （夾逼性），故結(jié)論成立。,求轉(zhuǎn)移矩陣函數(shù)* 5.設(shè)馬氏鏈狀態(tài)空間解：由柯爾莫哥洛夫前進方程：，。初始條件為，注意到得到。解上面這個常微分方程，二邊積分得：二，由初始條件得到：其中，所以。* 6 .設(shè)為，證明：在的條件下，-（二項分布）。證：對，由過程的獨立增量性得：由此得到* 7 .假設(shè)乘客按來到車站等候汽車， 若汽車在時刻 出發(fā)。求在 內(nèi)到達的乘客等待時間總和的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè) 為內(nèi)到達的顧客數(shù)，是第個乘客到達的時刻，則在內(nèi)到達乘客等待時間的總和為。* 8 .設(shè)為齊次馬氏鏈，一步轉(zhuǎn)移概率為證明：關(guān)于 為鞅。證：考慮,下面考慮,由此得到:由上面式子可以得到:由上可知，關(guān)于為

9、鞅。* 9.設(shè)為齊次馬氏鏈，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為。又設(shè)為矩陣 的一個非零特征值，對應(yīng)的特征向量為 ，即，并假設(shè)令。證明：關(guān)于 為鞅。證：這是因為而故，得。更一般，若是時間離散狀態(tài)連續(xù)的馬爾可夫過程，轉(zhuǎn)移分布函數(shù)為。若設(shè)，且對所有，有，則關(guān)于 為鞅。10 .設(shè)為齊次馬氏鏈，轉(zhuǎn)移概率矩陣為。又設(shè)為非負有界序列，滿足，令。證明： 關(guān)于 為鞅。證：因為 有界，所以。又因，故即，從而， 關(guān)于 為鞅。11 .設(shè)是相互獨立同分布隨機序列，且，令，證明：關(guān)于 為鞅。12.設(shè)證明：是相互獨立同分布隨機序列，令。關(guān)于 為鞅。證：。所以， 關(guān)于 為鞅。13.設(shè)為相互獨立同分布隨機序列。 具有分布故*15.設(shè)為齊次馬氏

10、鏈，狀態(tài)空間步轉(zhuǎn)移概率考慮此齊次馬氏鏈是否常返？是否為周期鏈？如果是, 解：顯然，鏈中任意兩個狀態(tài)相通， 所以鏈是不可約的。周期是多少？又易知這是一個周期鏈，周期為2。易得考慮該鏈是否常返，只要考察狀態(tài)即可。易知-時,所以狀態(tài) 當所以狀態(tài)0常返，且為零常返。從而鏈是零常返的。 時，0非常返，從而鏈是非常返的。四.大題與書本和試卷對應(yīng)情況2.3.4.5.6.7.8.P178 例 6.1.6I. 類 P233-10II. P233-11(1)III. P233-15P205P281P290P222P222P205例 6.2.14定理7.4.1定理8.3.1例 6.3.2定理7.1.4例 7.1.108年06級A卷08年06級B卷10年08級A卷08年06級A卷四（2）及其證明（P283）08年06級A卷08年06級B卷08年06級B卷10年08級A卷P306-307 例題（類似）四15年13級A卷四四15年13級A卷08年06級A卷08年06級B卷10年08級A卷10年08級A卷15年13級A卷08年06級B卷五六 15年13級A卷六五五七15年13級A卷七試確定實數(shù),使得是鞅。證：?一.故,斛仔：或。14.設(shè)證：為布朗運動。證明：是鞅。9. P307 例 9.1.410 年 08 級 A卷 七12. P306 例 9.1.110. P306 例 9.1.311. P306 例 9