力法典型方程

1、http:/ 工程力學(xué)力法典型方程 主 講 人： 郭江濤 楊 凌 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院2014.09http:/ 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)位移條件建立力法方程，以求解多余約束力。對(duì)于多次超靜定結(jié)構(gòu)，其計(jì)算原理與一次超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。1三次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程 取右面圖（b) 為懸臂剛架的基本結(jié)構(gòu)，根據(jù)力法的基本原理，依據(jù)位移協(xié)調(diào)條件可知桿端C處沿 三個(gè)方向的位移都為零。所以可以列出三個(gè)方程： 其物理意義是：在基本結(jié)構(gòu)上，由于全部多余約束力和已知荷載的共同作用，在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)體系中相應(yīng)的位移相等。111112213310PXXX 221122223320PXXX

2、331132233330PXXX 1X2X3Xhttp:/ n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程 對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法計(jì)算時(shí)，可去掉n個(gè)多余約束得到力法基本結(jié)構(gòu)，在去掉的n個(gè)多余約束處代之以n個(gè)多余約束力結(jié)合原荷載形成力法基本體系。當(dāng)原結(jié)構(gòu)體系在去掉多余約束處的位移為零時(shí)，相應(yīng)地也就有n個(gè)已知的位移條件： =0(i=1,2,n)據(jù)此可以建立n個(gè)關(guān)于求解多余約束力的方程。i00022112222212111212111nFnnnnnpnnpnn 上述方程中主對(duì)角線上的系數(shù) 稱為主系數(shù)，它表示基本結(jié)構(gòu)在 單獨(dú)作用下沿Xi方向的位移，顯然， 存在且與Xi方向一致，故其數(shù)值 0。主對(duì)角線兩側(cè)的系數(shù) 稱為

3、副系數(shù)，它表示基本結(jié)構(gòu)在 單獨(dú)作用下沿Xi方向的位移。根據(jù)位移互等定理可知： 。自由項(xiàng)ip表示基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用下沿Xi方向的位移。 應(yīng)當(dāng)注意：選擇不同的基本結(jié)構(gòu)來計(jì)算同一超靜定結(jié)構(gòu)，力法方程形式相同，但其系數(shù)和自由項(xiàng)的值一般不相同。jiijiiiiii1iXjiij1jXhttp:/ 當(dāng)力法典型方程建立以后，只需計(jì)算出其中的系數(shù)和自由項(xiàng)，并“對(duì)號(hào)入座”代入方程中，解方程組即可確定出各多余未知力。因?yàn)榱Ψǚ匠讨械南禂?shù)和自由項(xiàng)都是基本結(jié)構(gòu)在單位力或已知荷載作用下的位移，故均可按計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求得。 由力法方程解出多余未知力X1、X2、Xn后，結(jié)合計(jì)算過程中已作出的單位彎矩圖和荷載彎矩

4、圖，根據(jù)疊加原理用下式求超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩，而后作出彎矩圖。pnnMXMXMXMM22113.力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟（1）去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束得到一個(gè)靜定的基本結(jié)構(gòu)。確定力法基本未知量的個(gè)數(shù)，并以力法基本未知量替代相應(yīng)多余約束的作用，得到力法基本體系。（2）建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和原荷載的共同作用下，在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)體系中相應(yīng)的位移相同的幾何條件，建立力法典型方程。（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。首先，令 =1作單位彎矩圖 和荷載彎矩圖 。然后，按照求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。有些結(jié)構(gòu)，系數(shù)和自由項(xiàng)要用積分法求解。對(duì)于桁架要用軸力求解系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）解典型方

5、程，求出多余約束力。 （5）求出原結(jié)構(gòu)內(nèi)力，繪制內(nèi)力圖。iXiMPMhttp:/ 試分析例題試分析例題9-1圖圖(a)所示剛架，所示剛架，EI=常數(shù)。常數(shù)。解： （1）確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)，作基本體系圖。此剛架具有一個(gè)多余約束，是一次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉支座鏈桿C 即為靜定結(jié)構(gòu)，并用X1代替支座鏈桿C 的作用，結(jié)合原荷載，得到基本體系，見例題9-1圖(b)所示。（2）建立力法典型方程。原結(jié)構(gòu)在支座C 處的豎向位移 =0。根據(jù)位移條件可得力法典型方程如下： (3) 求系數(shù)和自由項(xiàng)。作 =1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)的彎矩圖 圖，如例題9-1圖(c)所示；作荷載單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)的彎矩圖 圖，如例題

6、9-1圖(d)所示。利用圖乘法求系數(shù)和自由項(xiàng)如下：101111PX1X1MPMEIEI32564444324421111EIEIP3128044803111http:/ 、 代入典型方程，即解方程得 （正值說明實(shí)際方向與基本結(jié)構(gòu)上假設(shè)的 方向相同，即垂直向上）。(5)繪制內(nèi)力圖。各桿端彎矩可按 計(jì)算，最后彎矩圖如例題9-1圖(e)所示。11P103128032561EIXEI15()XkN1XPMMXM11http:/ 試分析例題試分析例題9-2圖圖(a)所示桁架。設(shè)各桿所示桁架。設(shè)各桿EA為常數(shù)。為常數(shù)。解：（解：（1）確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)，作基本體系圖。此桁架是一次超靜定。切斷BC

7、桿代以多余力 ，結(jié)合原荷載，得到例題9-2圖(b)所示的基本體系。 （2）建立力法方程。根據(jù)原結(jié)構(gòu)體系切口兩側(cè)截面沿桿軸方向的相對(duì)線位移為零的條件，建立力法方程： （3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。分別求出基本結(jié)構(gòu)在單位力 和荷載單獨(dú)作用下各桿的內(nèi)力 和 例題9-2圖(c)、(d)，即求得系數(shù)和自由項(xiàng) （4）求解多余約束力。代入力法方程求得 （5）各桿軸力按 計(jì)算。01111PX1X11X1NFNPFEAFN2111)222(2EAa)222(2)2()2(111211EApaaPaPaPEAEAFFNPNP21111PXPNPNNFFXF11http:/ 用力法計(jì)算例題用力法計(jì)算例題9-3圖（圖（a）所

8、示連續(xù)）所示連續(xù)梁，繪出彎矩圖和剪力圖，并求梁，繪出彎矩圖和剪力圖，并求B支座的約束力。支座的約束力。各桿各桿EI為常數(shù)。為常數(shù)。解：（1）選取力法基本結(jié)構(gòu)，并作力法基本體系圖。此結(jié)構(gòu)為二次超靜定結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)將固端支座A的抗彎約束解除變?yōu)楣潭ㄣq支座，將剛結(jié)點(diǎn)B的抗彎約束解除變?yōu)橹虚g鉸鏈，得到兩跨靜定連續(xù)簡支梁,其力法基本體系如例題9-3圖（b）所示。（2）建立力法典型方程。根據(jù)A固端支座處的轉(zhuǎn)角為零，桿BA和BC在剛結(jié)點(diǎn)B處的相對(duì)轉(zhuǎn)角為零的條件，建立力法方程如下（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。繪出基本結(jié)構(gòu)在各個(gè) 、 和荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖，如例題9-3圖（c）、（d）和（e）所示。計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)如下11

9、11221211222200PPXXXX11X 21X EIEI321321221111EIEI31131122111212EIEI341321221222EIEIP71211422111EIEIP141211422122http:/ 求解得（5）繪內(nèi)力圖。 作彎矩圖，先利用公式 求出各桿端彎矩，然后由疊加法作出彎矩圖。彎矩圖如例題9-3圖（f）所示。分別取各桿為隔離體，利用力矩平衡條件求出各桿端剪力，再根據(jù)荷載與內(nèi)力的微分關(guān)系作出剪力圖。剪力圖如例題9-3圖（g）所示。(6)計(jì)算支座B的約束力。根據(jù)剪力圖可以很容易地求出支座的約束力。取剛結(jié)點(diǎn)B為隔離體，如例題9-3圖（h）所示。由得0143431073