空間向量與立體幾何知識點和習題(共20頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上空間向量與立體幾何【知識要點】1空間向量及其運算：(1)空間向量的線性運算：空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則拓廣到空間依然成立空間向量的線性運算的運算律：加法交換律：abba；加法結合律：(abc)a(bc)；分配律：(l m )al am a；l (ab)l al b(2)空間向量的基本定理：共線(平行)向量定理：對空間兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)l ，使得al b共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是存在惟一一對實數(shù)l ，m ，使得cl am b空間向量分解定

2、理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序實數(shù)組l 1，l 2，l 3，使得pl 1al 2bl 3c(3)空間向量的數(shù)量積運算：空間向量的數(shù)量積的定義：a·b|a|bcosa，b；空間向量的數(shù)量積的性質：a·e|acosa，e；aba·b0；|a|2a·a；|a·b|a|b空間向量的數(shù)量積的運算律：(l a)·bl (a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：(ab)·ca·cb·c(4)空間向量運算的坐標表示：空間向量的正交分解：建立空間直角坐標

3、系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，則這三個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底i，j，k，由空間向量分解定理，對于空間任一向量a，存在惟一數(shù)組(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，那么有序數(shù)組(a1，a2，a3)就叫做空間向量a的坐標，即a(a1，a2，a3)空間向量線性運算及數(shù)量積的坐標表示：設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；l a(l a1，l a2，l a3)；a·ba1b1a2b2a3b3空間向量平行和垂直的條件：ab(b0)al ba1l

4、b1，a2l b2，a3l b3(l R)；aba·b0a1b1a2b2a3b30向量的夾角與向量長度的坐標計算公式：設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則在空間直角坐標系中，點A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，則A，B兩點間的距離是2空間向量在立體幾何中的應用：(1)直線的方向向量與平面的法向量：如圖，l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使得，其中向量a叫做直線的方向向量由此可知，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量惟一確定如果直線l平面a ，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面a 的

5、法向量由此可知，給定一點A及一個向量a，那么經(jīng)過點A以向量a為法向量的平面惟一確定(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關系：設直線l，m的方向向量分別是a，b，平面a ，b 的法向量分別是u，v，則lmabakb，kR；lmaba·b0；la aua·u0；la auaku，kR；a uvukv，kR；a b uvu·v0(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：異面直線所成的角：設a，b是兩條異面直線，過空間任意一點O作直線aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角設異面直線a與b的方向向量分別是v1，v2，a與b的夾角為q ，顯

6、然則直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角設直線a的方向向量是u，平面a 的法向量是v，直線a與平面a 的夾角為q ，顯然，則二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角記作a lb 在二面角的棱上任取一點O，在兩個半平面內(nèi)分別作射線OAl，OBl，則AOB叫做二面角a lb 的平面角利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB，CD分別是二面角a lb 的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角a lb 的大小就是向量的夾角的大小方法二：如圖，m1，m2分別是二面角的兩個半平面a ，b 的法向量，則m1，m2與該二面角的大小

7、相等或互補(4)根據(jù)題目特點，同學們可以靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題【復習要求】1了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示2掌握空間向量的線性運算及其坐標表示3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示；能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直4理解直線的方向向量與平面的法向量5能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系6能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題【例題分析】例1 如圖，在長方體OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，點P在棱AA1上，且AP2PA1，點S在棱BB1上，且B1S2SB，點Q

8、，R分別是O1B1，AE的中點，求證：PQRS 【分析】建立空間直角坐標系，設法證明存在實數(shù)k，使得解：如圖建立空間直角坐標系，則O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1， 同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，又RPQ，PQRS【評述】1、證明線線平行的步驟：(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個向量所在直線上一點不在另一個向量所在的直線上即可2、本體還可采用綜合法證明，連接PR，QS，證明PQRS是平行四邊形即可，請完成這個證明例2 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，

9、E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面AMN平面EFBD【分析】要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個平面的法向量平行解法一：設正方體的棱長為4，如圖建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)取MN的中點K，EF的中點G，BD的中點O，則O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)(2，2，0)，(2，2，0)，(1，1，4)，(1，1，4)，MN/EF，AK/OG，MN平面EFBD，AK平面EFBD，平面AMN平面EFBD解法二：設

10、平面AMN的法向量是a(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a31，得a(2，2，1)由得取b31，得b(2，2，1)ab，平面AMN平面EFBD注：本題還可以不建立空間直角坐標系，通過綜合法加以證明，請試一試例3 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中點，求異面直線AM和CN所成角的余弦值解法一：設正方體的棱長為2，如圖建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)設和所成的角為q ，則異面直線AM和CN所成角的余弦值是解法二：取AB的中點P，CC1的中點Q，連接B1

11、P，B1Q，PQ，PC易證明：B1PMA，B1QNC，PB1Q是異面直線AM和CN所成的角設正方體的棱長為2，易知異面直線AM和CN所成角的余弦值是【評述】空間兩條直線所成的角是不超過90°的角，因此按向量的夾角公式計算時，分子的數(shù)量積如果是負數(shù)，則應取其絕對值，使之成為正數(shù)，這樣才能得到異面直線所成的角(銳角)例4 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側棱長為，求直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性質，適當建立空間直角坐標系，寫出有關點的坐標求角時有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解解法一：

12、如圖建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，取A1B1的中點D，則，連接AD，C1D則DC1平面ABB1A1，C1AD是直線AC1與平面ABB1A1所或的角，直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小是30°解法二：如圖建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，)，從而設平面ABB1A1的法向量是a(p，q，r)，由得取p1，得a(1，0，0)設直線AC1與平面ABB1A1所成的角為【評述】充分利用幾何體的特征建立適當?shù)淖鴺讼?，再利用向量的知識求解線面角；解法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余轉換例5 如圖

13、，三棱錐PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAAC1，求二面角APBC的平面角的余弦值解法一：取PB的中點D，連接CD，作AEPB于EPAAC1，PAAC，PCBC，CDPBEAPB， 向量和夾角的大小就是二面角APBC的大小如圖建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中點，得D由得E是PD的中點，從而 即二面角APBC的平面角的余弦值是解法二：如圖建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，設平面PAB的法向量是a(a1，a2，a3)，平面PBC的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a11，得由

14、得取b31，得b(0，1，1)二面角APBC為銳二面角，二面角APBC的平面角的余弦值是【評述】1、求二面角的大小，可以在兩個半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩個向量，轉化為這兩個向量的夾角；應注意兩個向量的始點應在二面角的棱上2、當用法向量的方法求二面角時，有時不易判斷兩個平面法向量的夾角是二面角的平面角還是其補角，但我們可以借助觀察圖形而得到結論，這是因為二面角是銳二面角還是鈍二面角一般是明顯的例6 如圖，三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60°，BCA90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DEBC()求證：BC平面PAC；()當D為PB的中點時，求AD與平面P

15、AC所成角的余弦值；()試問在棱PC上是否存在點E，使得二面角ADEP為直二面角?若存在，求出PEEC的值；若不存在，說明理由解：如圖建立空間直角坐標系設PAa，由已知可得A(0，0，0)，()BCAP又BCA90°，BCACBC平面PAC()D為PB的中點，DEBC，E為PC的中點由()知，BC平面PAC，DE平面PAC，DAE是直線AD與平面PAC所成的角即直線AD與平面PAC所成角的余弦值是()由()知，DE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP是二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90°在棱PC上存在一點E，使得AEPC，這時，AEP90°

16、;，且故存在點E使得二面角ADEP是直二面角，此時PEEC43注：本題還可以不建立空間直角坐標系，通過綜合法加以證明，請試一試練習1-3一、選擇題：1在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中點，則二面角EA1D1D的平面角的正切值是( )(A)(B)2(C)(D)2正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AD1與平面A1ACC1所成角的大小是( )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于( )(A)(B)(C

17、)(D)4如圖，a b ，a b l，Aa ，Bb ，A，B到l的距離分別是a和b，AB與a ，b 所成的角分別是q 和，AB在a ，b 內(nèi)的射影分別是m和n，若ab，則下列結論正確的是( )(A)q ，mn(B)q ，mn(C)q ，mn(D)q ，mn二、填空題：5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成角的大小是_6已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于_7如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為_8四棱錐PAB

18、CD的底面是直角梯形，BAD90°，ADBC，PA底面ABCD，PD與底面ABCD所成的角是30°設AE與CD所成的角為q ，則cosq _三、解答題：9如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，點E在CC1上，且C1E3EC()證明：A1C平面BED；()求二面角A1DEB平面角的余弦值10如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點，N為BC的中點()證明：直線MN平面OCD；()求異面直線AB與MD所成角的大小11如圖，已知直二面角a PQb ，APQ，Ba ，Cb ，CACB，BAP45°

19、;，直線CA和平面a 所成的角為30°()證明：BCPQ；()求二面角BACP平面角的余弦值習題1一、選擇題：1關于空間兩條直線a、b和平面a ，下列命題正確的是( )(A)若ab，ba ，則aa (B)若aa ，ba ，則ab(C)若aa ，ba ，則ab(D)若aa ，ba ，則ab2正四棱錐的側棱長為2，底面邊長為2，則該棱錐的體積為( )(A)8(B)(C)6(D)23已知正三棱柱ABCA1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則直線AB1與側面ACC1A1所成角的正弦值等于( )(A)(B)(C)(D)4已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體

20、的體積是( )(A)(B)(C)2000cm3(D)4000cm35若三棱柱的一個側面是邊長為2的正方形，另外兩個側面都是有一個內(nèi)角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于( )(A)(B)(C)(D)二、填空題：6已知正方體的內(nèi)切球的體積是，則這個正方體的體積是_7若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則直線AB1和BC1所成角的余弦值是_8若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是_9連結球面上兩點的線段稱為球的弦半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于，每條弦的兩端都在球面上運動，則兩弦中點之間距離的最大值

21、為_10已知AABC是等腰直角三角形，ABACa，AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使BDC成直角在折起后形成的三棱錐ABCD中，有如下三個結論：直線AD平面BCD；側面ABC是等邊三角形；三棱錐ABCD的體積是其中正確結論的序號是_(寫出全部正確結論的序號)三、解答題：11如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中點，ABAA1()求證：ADB1D；()求證：A1C平面A1BD；()求二面角BAB1D平面角的余弦值12如圖，三棱錐PABC中，PAAB，PAAC，ABAC，PAAC2，AB1，M為PC的中點()求證：平面PCB平面MAB；()求三棱錐PABC的表面積13如圖，在直三棱柱A

22、BCA1B1C1中，ABC90°，ABBCAA12，M、N分別是A1C1、BC1的中點()求證：BC1平面A1B1C；()求證：MN平面A1ABB1；()求三棱錐MBC1B1的體積14在四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，DCSD2點M在側棱SC上，ABM60°()證明：M是側棱SC的中點； ()求二面角SAMB的平面角的余弦值練習1-3一、選擇題：1B 2A 3B 4D二、填空題：560° 62 7 8三、解答題：9以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系Dxyz依題設，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，

23、1)，A1(2，0，4)()A1CBD，A1CDE又DBDED，A1C平面DBE()設向量n(x，y，z)是平面DA1E的法向量，則令y1，得n(4，1，2)二面角A1DEB平面角的余弦值為10作APCD于點P如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系則A(0，0，0)，B(1，0，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，()設平面OCD的法向量為n(x，y，z)，則即取，得MN平面OCD()設AB與MD所成的角為q ，即直線AB與MD所成角的大小為11()證明：在平面b 內(nèi)過點C作COPQ于點O，連結OBa b ，a b PQ，COa 又CACB，OAOBBAO45

24、76;，ABO45°，AOB90°，BOPQ，又COPQ，PQ平面OBC，PQBC()由()知，OCOA，OCOB，OAOB，故以O為原點，分別以直線OB，OA，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖)COa ，CAO是CA和平面a 所成的角，則CAO30°不妨設AC2，則，CO1在RtOAB中，ABOBAO45°，設n1(x，y，z)是平面ABC的一個法向量，由得取x1，得易知n2(1，0，0)是平面b 的一個法向量設二面角BACP的平面角為q ，即二面角BACP平面角的余弦值是習題1一、選擇題：1D 2B 3A 4B 5B二、填空題：6 7 89p 95 10、三、解答題：11()證明：AB