高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 抽象函數(shù)綜合題的解題策略

1、抽象函數(shù)綜合題的解題策略只給出函數(shù)符號(hào)或條件及一些間接關(guān)系，而沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式或者圖象，這樣的函數(shù)稱為抽象函數(shù).這類試題，主要以函數(shù)的概念和性質(zhì)為背景，以函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想為主線，以考查學(xué)生的各種能力為目的，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題.此類試題往往具有概念抽象、隱蔽性與靈活性強(qiáng)、綜合性高的特點(diǎn)，因此它既能考查函數(shù)的各種性質(zhì)，又能考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的閱讀理解和轉(zhuǎn)譯能力，同時(shí)能考查出考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，因此在此有必要對(duì)抽象函數(shù)綜合題的求解策略進(jìn)行探討.一、適當(dāng)賦值賦值主要從以下方面考慮：令x=，2，1，0，1，2，等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；令x=x2，y=x

2、1或y=，且x1<x2，判定抽象函數(shù)的單調(diào)性；令y=x，判定抽象函數(shù)的奇偶性；換x為x+T，確定抽象函數(shù)的周期；用x=+或換x為等來(lái)解答有關(guān)抽象函數(shù)的其它一些問(wèn)題.例1 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x、y滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.試判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性.分析：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，f(0)=0，又令y=x，f(x)+f(x)=f(xx)=f(0)=0，即f(x)=f(x)，f(x)是奇函數(shù)，再設(shè)x1、x2R，且x1<x2，且在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=x

3、2，y=x1，則f(x2x1)=f(x2)+f(x1)由f(x)是奇函數(shù)得，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2x1)，x2x1>0，f(x2x1)>0，從而f(x2)>f(x1)，f(x)在(.+)上是增函數(shù).二、變量代換根據(jù)題設(shè)條件中所給等式或不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及欲證的結(jié)論，將題中的某些量替換為的需要的量(要注意新?lián)Q的變量的取值范圍，要與原題設(shè)條件等價(jià))，可以得到較為簡(jiǎn)單的等式或不等式，然后再設(shè)法作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化從中獲解，例2 已知函數(shù)f(x)存在反函數(shù)且f(x)+f(x)=2，則f1(x1)+f1(3x)=_.分析：本題無(wú)法直接求出f1(x)，若將已知等式

4、左邊看成兩個(gè)函數(shù)，利用變量代換，則有如下簡(jiǎn)解：令y1=f(x)，y2=f(x)，則x=f1(y1)，x=f1(y2)，且當(dāng)y1+y2=2時(shí)，有f1(y1)+f1(y2)=xx=0，(x1)+(3x)=2，f1(x1)+f1(3x)=0.三、利用函數(shù)性質(zhì)根據(jù)題目所給的條件，分析、探求函數(shù)具有哪些特殊的性質(zhì)，比如：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等等，然后充分利用這些性質(zhì)進(jìn)行求解.例3 f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足如下兩個(gè)條件：對(duì)于任意x，yR，有f(x+y)=f(x)+f(y)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，且f(1)=2.求函數(shù)f(x)在3，3上的最大值和最小值.分析：設(shè)0x1x23，由條件

5、得f(x2)=f(x2x1)+x1=f(x2x1)+f(x1)，即f(x2x1)=f(x2)f(x1)，x2x10，由條件得f(x2x1)0,f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)在0，3上是減函數(shù)，在條件中令x=y=0，則f(0+0)=f(0.)+f(0)，f(0)=0.再令x=y，得f(xx)=f(x)+f(x)，f(x)=f(x)，f(x)是奇函數(shù)，f(x)在3，0上是減函數(shù)，又當(dāng)x0時(shí)f(x)=f(x)0，從而f(x)在3，3上是減函數(shù)，f(x)max=f(3)=f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1)f(1)=3f(1)=6，f(x)min=f(3

6、)=f(3)=6.例4 已知函數(shù)f(x)=ax5+bsinx+3，且f(3)=7，求f(3)的值.解析:f(x)的解析式中含有兩個(gè)參數(shù)a、b，卻只有一個(gè)條件f(3)=7，無(wú)法確定出a、b的值，因此函數(shù)f(x)(解析式不確定)是抽象函數(shù)，注意到g(x)=ax5+bsinx=f(x)3是奇函數(shù)，可得g(3)=g(3)，即f(3)3=f(3)3，f(3)=6f(3)=1.四、正難則反當(dāng)關(guān)于某些抽象函數(shù)的命題不易從正面直接證明時(shí)，可采用反證法，它往往需結(jié)合其它一些求解策略，而此法是處理“是否存在”型函數(shù)綜合題的常用方法.例5 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(，+)上是增函數(shù)，a、bR，(1)求證：若a+b0，

7、則f(a)+f(b)f(a)+f(b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否正確，并證明你的結(jié)論.證明：(1)由a+b0，得ab，由函數(shù)f(x)在區(qū)間(，+)上是增函數(shù)，得f(a)f(b)，同理，f(b)f(a)，f(a)+f(b)f(b)+f(a)，即f(a)+f(b)f(a)+f(b).(2)中命題的逆命題是：若f(a)+f(b)f(a)+f(b)，則a+b0，此逆命題為真命題，現(xiàn)用反證法證明如下：假設(shè)a+b0不成立，則a+b0，ab，ba，根據(jù)單調(diào)性，得f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)+f(b)f(a)+f(b)，這與已知f(a)+f(b)f(a)+f(b)相矛盾，故a+b0不

8、成立，即a+b0成立，因此(1)中命題的逆命題是真命題.五、利用模型函數(shù)探路抽象型函數(shù)問(wèn)題的設(shè)計(jì)或編擬，常以某個(gè)基本函數(shù)為模型，在解題前，若能從研究的抽象函數(shù)的“模型”入手，根據(jù)已知條件，尋找其模型函數(shù)，通過(guò)分析、研究其圖象及性質(zhì)，找出問(wèn)題的解法或證法.例6 已知定義域?yàn)镽+的函數(shù)f(x)滿足：(1)x1時(shí)，f(x)0；(2)f()=1；(3)對(duì)任意的x，yR+，都有f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(5x)2的解集.解析：由題設(shè)(3)知f(x)以y=logax為模型函數(shù)，由題(1)知0a1，從而y=logax在(0,+)上為減函數(shù)，故本題可先證f(x)在(0,+)上為減函數(shù)

9、為突破口.設(shè)0x1x2，則1，且由f(xy)=f(x)+f(y)，得f(x2)=f(·x1)=f()+f(x1)，又由條件x1時(shí)，f(x)0，得f()0，f(x2)f(x1)，f(x)在R+上為減函數(shù)，又由f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0，又f()=1，f(2·)=f(2)+f()=0，f(2)=1，f(x)+f(5x)2=2f(2)=f(4)，于是，解得0x1或4x5，解集為x(0，14，5).六、數(shù)形結(jié)合根據(jù)題目所給的函數(shù)的有關(guān)的性質(zhì)和背景，作出大致符合條件的函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象的直觀性作出正確解答.例7 若f(x)為奇函數(shù)，且在(，0)內(nèi)是增函數(shù)，又f(2)=0，則xf(x)<0的解集為( )A.(2,0)(0,2)B.(,2)(0，2)C.(,2)(2,+)D.(2,0)(2,+)解析：本題可根據(jù)題設(shè)條件先作出函數(shù)f(x)在(，0)內(nèi)的大致圖象，如圖，由對(duì)稱性(奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)及單調(diào)性(在(，0)內(nèi)是增函數(shù))得出f(x)在(0，)的