三角形重心外心垂心內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法。重心：AABC中、每條邊上所對應(yīng)的中線的交點；垂心：AABC中、每條邊上所對應(yīng)的垂線上的交點；內(nèi)心：AABC中、每個角的角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)；外心：AABC中、每條邊上所對應(yīng)的中垂線的交點(外接圓的圓心)。一、重心1、O 是 AABC 的重心 u QA + OB+OC=01.一 r若 O是 AABC 的重心，則 ABOC =AAOC =AAOB =AABC 故 OA+OB + OC = 0,31PG =(PA+PB+PC) u G 為 AABC 的重心.32、 P是 ABC所在平面內(nèi)任一點

2、.G是4ABC的重心u PG =-(PA + PB + PC).3證明：PG = PA AG = PB BG = PC CG = 3PG = (AG BG CG) (PA PB PC)G是AABC的重心 . GA + GB+GC =0= AG +BG+CG =0, IP 3PG = PA+PB + PC,一 一1一 1 .一 一 一.由此可得PG =(PA + PB+PC).(反之亦然(證略)33、已知O是平面上一定點， A, B, C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足OP =OA + K(AB+AC),九三(0, + 0),則P的軌跡一定通過 ABC的重心.例 1 若 O 為 &ABC 內(nèi)

3、一點，OA + OB+OC=0 ,則 O 是 AABC 的（）A.內(nèi)心B.外心心D.重心二、垂心1、O 是 AABC 的垂心 U OA*OB = OB*OC =OA*OC若O是AABC （非直角三角形）的垂心，則故 tan AOA tan BOB tanCOC = 02、H是面內(nèi)任一點，HA HB =HB HC =HC HA點H是 ABC的垂心.由 HA HB = HB HC = HB （HC - HA） = 0= HB AC = 0= HB _ AC, 同理HC_lAB, HA_lBC.故h是aabc的垂心.（反之亦然（證略）3、P M ABC 所在平面上一點，若 PA ,PB = PB ,

4、PC =PC ,PA,則 P 是 ABC 的 垂心.,一 一 .由 PA PB = PB PC ,得 PB （PA -PC ） = 0 ,即 PB CA = 0 ,所以 PB CA .同理可證 PC LAB, PA BC .；P是 ABC的垂心.如圖1.圖14、已知O是平面上一定點， A B, C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足-* -_ -. ARAC 、一,OP=OA +九一十LTC一 ，九w（Q+ ）,則動點 P的軌跡一定通過Jab | cos B | AC| cos C y ABC的垂心.例2 P是 ABC所在平面上一點，若 PA PB = PB PC = PC PA,則PMAAB

5、C的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心二、內(nèi)心1、O是AABC的內(nèi)心的充要條件是OA,ABAC=OB BABC網(wǎng)網(wǎng)=OC CACB肉一同引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為e1，e；& ,則剛才O是AABC的內(nèi)心的充要條件可以寫成OA 巳 e3 = OB ei e2 = OC e2 2 =02、O是AABC的內(nèi)心的充要條件也可以是 aOA + bOB+cOC = 0。3、若 O是AABC 的內(nèi)心，則 S存。c :S送：S 掙。b =a：b：c故 a OA+b*OB+c,OC =0或者 sin AOA + sinBOB + sinC OC = 0；4、已知I為AB

6、C所在平面上的一點，且 AB=c, AC=b, BC = a .若 aIA+bIB+ cIC=0,則 I 是ABC 的內(nèi)心.舊=IA+AB, IC=IA+AC,則由題意得（a+b+c）IA + bAB+cAC =0, AI與/BAC平分線共線，即AI平分NBAC .同理可證：BI平分NABC, CI平分工ACB .從而I是AABC的內(nèi)心，如圖。5、已知。是平面上一定點， A, B, C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足OP =OA心.AB AC由題意得AP =：,九w(0,十好)，則動點P的軌跡一定通過 4ABC的內(nèi)A當(dāng)九w(0,+g)時，AP表示/BAC的平分線所在直線方向的向量，故動點

7、P的軌跡一定通過4ABC的內(nèi)心，如圖例3 O平面上的一定點， A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP = OA (ABAC) AB AC)九W 0,y )則P點的軌跡一定通過AABC的(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心四、外心1、O是&ABC的外心uOB = OC ,若O是 MBC的外心則S B0c : S A0c : S aob =sin BOC:sin AOC:sin AOB = sin2A:sin2B:sin 2c故 sinAOA +sin BOB +sin COC = 0。2、已知O是 ABC所在平面上一點,若 OA2 =OB2 =OC2 ,則 O 是 ABC 的外心.

8、一 一2 一一2 2 I |2 -2若 OA =OB =OC，則 8 0 OC，.二 CA- 0 %，貝UO 是 4ABC的外心，如圖13、已知O是平面上的一定點，A, B, C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足ACAC cosC九w (0,+如)，則動點P的軌跡一定通二二 OB +OCABOP -+九2AB cos BMA ABC的外心，如圖2例4若O為AABC內(nèi)一點， 網(wǎng)=麗=|西, 則O是AABC的()A . 內(nèi)心B . 外心C . 垂心D.重心關(guān)于“歐拉定理”的一些問題：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的 位置關(guān)系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點共

9、線一一“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2倍。例5在4ABC中，已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： Q GH三點共線，且QG:GH=1:2證明：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè) A(0,0)、B(xi,0)、C(x2,y 2) , D E F 分別為 AB BC AC 的中點，則有：D (出,0)、E(2H (X2, y4),x1*,)、F(巫，近)由題設(shè)可設(shè)Q(,y3)、222 22Xiy2一 y 3)x-+x1 x 2 y 2x 2G(x12,-2) AH .,

10、斯 =(一332BC =(x2 -Xi)AH _ BCAH *BC =x2(x2 -x1) y2y4 = 0*2僅2 一 Xi)y 二y2QF _ AC. QF .AC =x2(-) y2磴 73) =0X2(X2 -Xi) yV3 二2y 22x1/ 2x2 -x13x 2(X 2 - X 1)y 2-2yl一萬Xi3Xi V22X2 -Xi萬丁 ”)=(Y2 X2(X2 -Xi)上2y T2x2 -Xi=(-3x2(X2 -X1)6y 2y 2i 2x2 - XiR3(3x 2 (x 2 - x i)2y 2y2d =QH 3即QH =3QG，故Q G H三點共線，且QG : GH =i:

11、2例6 ,若O、H分別是 ABC的外心和垂心.求證OH =OA OB OC.證明若ABC勺垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長交外接圓于D,連結(jié)AD, CDAD _LAB , CD _LBC.又垂心為 H, AH _L BC , CH 1AB , . .AH/ CD CH/ AD一四邊形AHCM平行四邊形，AH =dC =dO -+OC ,故 OH =oA+aH =oA -+oB +oC .“歐拉定理”簡化：例7設(shè)Q G H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.求證 oGJoh3證明按重心止理 6是4 ABC的重/L、u OG(OA+OB +OC)3按垂心定理 OH =OA ob Oc由此可

12、得-i - OG =1OH. QH =(X2 - , y4 -y3)=(2補充練習(xí)一：1.已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是AABC的重心，動點P滿足OP=- ( 1OA + 1OB+2OC),則點 P一定為 MBC()322A.AB邊中線的中點B.AB邊中線的三等分點(非重心)C.重心D.AB邊的中點2 .在同一個平面上有AABC及一點。滿足關(guān)系式OA2 +BC2 =OB2 +AC2 =OC2 +AB2 ,貝UO為 AABC 的()A外心 B 內(nèi)心 C 重心 D垂心3 .已知ABC勺三個頂點 A、B、C及平面內(nèi)一點 P滿足：PA+PB + PC = 0,貝P為AABC的()A 外心 B

13、 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4 .已知O是平面上一 定點，A、B C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足:OP =OA + A(Ab+AC),則P的軌跡一定通過 ABC的()A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5 .已知 ABC P為三角形所在平面上的動點，且動點 P滿足：PA*PC+PAPB + PBPC =0 , M P點為三角形的()A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6 .已知 ABC, P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：a P A+ b P B c P0C , 則 P 點 為 三 角 形 的( )A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2 2 -6 .在三角形ABC中，動點P滿

14、足：CA =CB -2AB*CP ,則P點軌跡一定通過ABC的：()A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7 .已知非零向量熊與AC滿足 普十冬 玩=0,且罟咎則 Jab| AC J|ab| |ac| 2ABC 為A.三邊均不相等的三角形B. 直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形8 . AABC的外接圓的圓心為 O ,兩條邊上的高的交點為 H ,OH =m(OA+OB+OC),則實數(shù) m =_。9 .點O是 MBC所在平面內(nèi)的一點，滿足 OA OB = OB OC = OC OAABC 的()A三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的點C三條中線的交點D三條高的交點10 .已知點

15、G是AABC的重心，過G作直線與AB, AC兩邊分別交于I且 AM=xAB, AN = yAC,則3。 x y證點G是AABC的重心，知GA + GB + GC =O,得一AG+(ABAG)+(AC AG) =Q 有 AG = 1( AB + AC)。又 M N, 3(A不在直線MNJ),于是存在 九卅,使得AG = 7.AM+NAN(且九十1 =1),. A ,有 AG =?xAB +NyAC = (AB +AC),3口 +； =1得J1 ,于是得1 +1 =3。x -y 二一x yN兩點,G三點共線3補充練習(xí)二:1、已知O是ABCrt的一點，若A、重心B 、垂心2.22OA =OB =OCC 、外心,則O是4ABC的D 、內(nèi)心2、在 ABC中，有命題ABAC = BC ; AB + BC + CA = 0 ;若(aB +aC K(aB - AC )=0 ,則 ABC為等腰三角形;為銳角三角形，上述命題中正確的是若 AB AC a 0 ,貝 U A ABC3、4、A、已知 ABC,已知ABCt,B 、AB AC+ BC=0和空.當(dāng)ABACABAC=1 ,試判斷 ABC的形2AB=a, BC=b, B是 ABC中的最大角，若ab -223、已知O是 ABC