第四章分離變量法(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四章 分離變量法一、分離變量法的精神和解題要領(lǐng)1分離變量法的精神將未知函數(shù)按多個單元函數(shù)分開，如，令從而將偏微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為若干個常微分方程的求解2分離變量法的解題步驟用分離變量法求解偏微分方程分4步（1）分離變量：將未知函數(shù)表示為若干單元函數(shù)的乘積，代入齊次方程和齊次邊界條件，得到相應(yīng)的特值問題和其它常微分方程。（2）求解特征值問題（3）求解其它常微分方程，并將求得的解與特征函數(shù)相乘，得到一系列含有任意常數(shù)的分離解（如）。（4）疊加（如）用初始條件和非齊次邊界條件確定系數(shù)（即任意常數(shù)），從而得到偏微分方程定解問題的解。3特征值問題在用分離變量法求解偏微分方

2、程的定解問題時，會得到含有參數(shù)的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）組成的定解問題，這類問題中的參數(shù)，必須依據(jù)附有的邊界條件取某些特定的值才能使方程有非零解。這樣的參數(shù)，稱為特征值，相應(yīng)的方程的解，稱為特征函數(shù)，求解這類特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)的問題，稱為特征值問題。常涉及到的幾種特征值問題：（1）特征值 ，特征函數(shù) （2）特征值 ，特征函數(shù) （3）特征值 ，特征值函數(shù)（4）特征值為，特征值函數(shù)（5）特征值，特征函數(shù)4有界弦的自由振動解考慮長為l兩端固定弦的自由振動1°分離變量：令 則原偏微分方程化為：即 上面等式左端是t的函數(shù)，而右端是x的函數(shù)，而t和x是相互獨立的，因此要

3、上式成立，故只有兩邊都是常數(shù)，此等式才成立。即 代入邊界條件由于是t的任意函數(shù)，它不可能恒為零，故只可能有2°特征值問題考慮定解問題討論：若=0，則（1）的解為 由得，由得 于是可見不能為零若>0，則方程（1）的解為由邊界條件得 解之得 c1=c2=0，于是 可見不能大于0。若<0，記=-k2 則（1）的解為由邊界條件有因為c2=0，故c1不能為零，故只能是 sinkl=0。這要求 kl=±n n=0,1,2,但n不能為零，否則k=0，又得到零解，而且±n給出的兩個解只相差一個負(fù)號，即線性相關(guān)，故 n=1,2,綜上，得到特征值為 n=1,2,其相應(yīng)的特

4、征值函數(shù)為 n=1,2,3°關(guān)于T(t)的方程的通解將特征值 代入至于T(t)的方程得其通解為：其中和為任意常數(shù)故 4°有界弦的自由振動解由疊加原理有 這恰好是的正弦展開，于是：令 而則： 這表明有界弦的振動是一系列以不同的固有頻率，不同的初相位，不同的振幅振動的簡諧振動的疊加。例1：求下解問題解：此題屬于有界弦的振動，且于是有：其中： 更簡單的方法： 且 由級數(shù)展開形式的唯一性知 例2：求定解問題解：沒有現(xiàn)成的公式可套，直接采用分離變量法求解（1）分離變量：則有：即 于是原來的偏微分方程化為兩個常微分方程由邊界條件：得（2）求解特征值問題 則得 ，特征函數(shù) （3）將代入得

5、解之得 （4）疊加：代入初始條件 比較系數(shù)得：于是：（二）非齊次方程純強迫振動考慮有界弦、桿的純強迫振動由于方程中非齊次項的出現(xiàn)，故若直接以代入方程，不能實現(xiàn)變量分離，于是聯(lián)想到非齊次線性常微分方程求解的常數(shù)變易方法。1對應(yīng)齊次方程的特征函數(shù)通過分離變量，得到特征值值問題由此求得特征函數(shù) n=1,2,2的方程的解仿常數(shù)變易法，令代入原方程得將上面等式右端至于變量x展開成Fourier級數(shù)有 其中 即 比較系數(shù)： 由初始條件 知 即：采用常數(shù)變易法，則有 n=1,2,3原方程的解為例3：求下列定解問題解：求對應(yīng)齊次方程的特征值對應(yīng)的齊次方程的特征值問題為：求解得特征值函數(shù)為： n=0,1,2令

6、代入方程得：比較兩邊Fourier展開的系數(shù)有： n=0 n=1,2, ； n=1,2, 例4：另外具有非零初始條件的處理例5：令 其中 滿足滿足（三）非齊次邊界條件的處理前面兩節(jié)討論的問題都是齊次邊界條件，但大多實際并非都是齊次的，因此需要討論非齊次邊界條件問題。例1邊界條件的齊次化：為此引入新的未知函數(shù)和輔導(dǎo)函數(shù)，令若能找到函數(shù)，具備性質(zhì)，則新函數(shù)其滿足齊次邊界條件2輔助函數(shù)的選取對于任意的t，在平面上，滿足條件，即過兩點的曲線有無窮多個，取最簡單的直線令 得：故有 這樣原方程化為：這是強迫振動問題，其求解方法前面已講過。對于其它類型的非齊次邊界條件問題：（1）則 （2）則 （3）對于則選 例：解：設(shè) 其中 滿足 則可取 原方程變形為：上式的特征函數(shù) 其中 原問題的解為：（四）某些區(qū)域上二維方程的分離變量法一、矩形區(qū)域上方程的邊值問題由于有一組邊界條件是齊次的，故可以采用分離變量法。令，代入方程即得兩上常微分方程：利用齊次邊界條件有 得特征值為 特征函數(shù)為 而 利用疊加原理有：由另一組邊界條件： 求出。二、圓域上方程的邊值問題物理意義：一半徑為的薄圓盤，上下兩面絕熱，若已知圓盤邊緣上的溫度，求圓盤上穩(wěn)定的溫度分布。利用極坐標(biāo) 設(shè)代入方程即 根據(jù)題設(shè)