專題一：函數(shù)概念

1、 專題一： 函數(shù)概念與表示一課標(biāo)要求1通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈ鐖D象法、列表法、解析法表示函數(shù)；3通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；4通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；5學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。要點(diǎn)精講1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系

2、f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域。注意：1“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x。2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域1解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范

3、圍如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等；限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤；實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。2求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。配方法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；判別式法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程；不等式法運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)；函數(shù)法運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等。3兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義

4、域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4區(qū)間1區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； 2無窮區(qū)間；3區(qū)間的數(shù)軸表示。5映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”。函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，假設(shè)將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之

5、間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就叫映射。注意：1這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用漢字表達(dá)。2“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。6常用的函數(shù)表示法1解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式；2列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；3圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。7分段函數(shù)假設(shè)一個(gè)函數(shù)的定義域分成了假設(shè)干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8復(fù)合函數(shù)假設(shè)y=f(u)，u=g(x),xÎ

6、;(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=fg(x)稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。四典例解析題型一：函數(shù)概念例1設(shè)函數(shù)2設(shè)函數(shù)fx，則滿足fx=的x值為 。解：1這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問題，需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)值代換， =2當(dāng)x，1，值域應(yīng)為，當(dāng)x1，時(shí)值域應(yīng)為0，y，y0，此時(shí)x1，log81x，x813。點(diǎn)評(píng)：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧賦值、變量代換、換元等等，這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。變式題：設(shè) A0 B1 C2 D3解：選項(xiàng)為C。題型二：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同例試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？1fx=，gx=；2fx=，gx=3fx

7、=，gx=2n1nN*；4fx=，gx=；5fx=x22x1，gt=t22t1。解：1由于fx=|x|，gx=x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；2由于函數(shù)fx=的定義域?yàn)椋?0，+，而gx=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)；3由于當(dāng)nN*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，fx=x，gx=2n1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；4由于函數(shù)fx=的定義域?yàn)閤|x0，而gx=的定義域?yàn)閤|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；5函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=fx和y=gx，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定

8、義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=fx和y=gx才表示同一函數(shù)假設(shè)兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。1第5小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無影響，比方fx=x2+1，ft=t2+1，fu+1=u+12+1都可視為同一函數(shù)。2對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。題型三：函數(shù)定義域問題例求下述函數(shù)的定義域：1；2解：1，解得函數(shù)定義域?yàn)?2 ，先對(duì)a進(jìn)行分類討論，然后對(duì)k進(jìn)行分類討論，當(dāng)a=0時(shí)，函

9、數(shù)定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，得，1當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，得，1當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?。點(diǎn)評(píng)：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第2小題的解析式中含有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論，考察學(xué)生分類討論的能力。例已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求以下函數(shù)的定義域：(1) ； (2)。解：1由0x2， 得 點(diǎn)評(píng)：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數(shù)fg(x)的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會(huì)涉及到。變式題

10、：已知函數(shù)fx=的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 AaB12a0C12a0Da解：由a=0或可得12a0，答案B。題型四：函數(shù)值域問題例求以下函數(shù)的值域：1； 2； 3；4； 5； 6；7； 8； 9。解：1配方法，的值域?yàn)?。改題：求函數(shù)，的值域。解：利用函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)在上單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為。函數(shù)，的值域?yàn)椤?求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)，則原函數(shù)可化為。又，故，的值域?yàn)椤?法一反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域?yàn)?，原函?shù)的值域?yàn)椤７ǘe離變量法：， 函數(shù)的值域?yàn)椤?換元法代數(shù)換元法：設(shè)，則，原函數(shù)可化為， 原函數(shù)值域?yàn)?。注：總結(jié)型值域，變形：或5三角換元法：，設(shè)，

11、則， 原函數(shù)的值域?yàn)椤?數(shù)形結(jié)合法：， ，函數(shù)值域?yàn)椤?判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)?。由得?當(dāng)即時(shí)，即，當(dāng)即時(shí)，時(shí)方程恒有實(shí)根， 且，原函數(shù)的值域?yàn)椤?， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立。，原函數(shù)的值域?yàn)椤?法一方程法：原函數(shù)可化為：，其中， 原函數(shù)的值域?yàn)?。點(diǎn)評(píng)：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。題型五：函數(shù)解析式例61已知，求；2已知，求；3已知是一次函數(shù)，且滿足，求；4已知滿足，求。解：1，或。2令，則，。3設(shè)，則， 。4 ，把中的換成，得 ，得，。點(diǎn)評(píng)：第1題用配

12、湊法；第2題用換元法；第3題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第4題用方程組法。題型六：課標(biāo)創(chuàng)新題例101設(shè)，其中a、b、c、d是常數(shù)。如果求；2假設(shè)不等式對(duì)滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。解：1構(gòu)造函數(shù)則故：2原不等式可化為構(gòu)造函數(shù)，其圖象是一條線段。根據(jù)題意，只須：即解得。點(diǎn)評(píng)：上面兩個(gè)題目通過重新構(gòu)造函數(shù)解決了實(shí)際問題，表達(dá)了函數(shù)的工具作用。五思維總結(jié)“函數(shù)”是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，學(xué)習(xí)函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內(nèi)容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練。1求函數(shù)解析式的題型有：1已知

13、函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；2已知求或已知求：換元法、配湊法；3已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；4滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法；5應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。2求函數(shù)定義域一般有三類問題：1給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；2實(shí)際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義；3已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：掌握基本初等函數(shù)尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的定義域；假設(shè)已知的定義域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出。3求函數(shù)值域的各種方法函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域。直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；反比例函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，值域?yàn)閥|y0；二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)a&