2012高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(高清版)

1、2021年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)湖南卷一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.設(shè)集合 M = 1,0,1 , N=x|x2w x，貝V M n N 等于A . 0B. 0,1C. 1,1D. 1,0,1n2 .命題"假設(shè)，那么tan a= 1 的逆否命題是4nnA .假設(shè)，貝U tan a 1B.假設(shè)，貝y tanaM 144nnC.假設(shè)tan a 1，貝UD.假設(shè)tan a 1，貝U443.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如下圖，那么該幾何體的俯視圖不可能是4. 設(shè)某大學(xué)的女生體重 y單位：kg與身

2、高x單位：cm具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù) 他yii = 1, 2,，n，用最小二乘法建立的回歸方程為y 0.85x 85.71，那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是 A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B. 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心x, yC. 假設(shè)該大學(xué)某女生身高增加1 cm，那么其體重約增加 0.85 kgD 假設(shè)該大學(xué)某女生身高為170 cm，那么可斷定其體重必為58.79 kg2 2C的方程5. 雙曲線 C :仔吿 1的焦距為10,點(diǎn)P2,1在C的漸近線上，那么 a b為)2222xy xy1A.1B.2055202222xy 彳xy_1C.1D.80202080n6. 函數(shù) f(x)= s

3、inx cos(x+)的值域?yàn)?6A. 2,2 B . -3,、一3C. 1,17.在 ABC 中,AB = 2,33AC= 3, TBBCA . '一 3 B. , 7 C. 2、21，那么_BC等于D. , 23&兩條直線11： y= m和12： ym> 0, I1與函數(shù)y= |log2x|的圖象從左至2m 1右相交于點(diǎn)A, B, I2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C, D .記線段AC和BD在bx軸上的投影長(zhǎng)度分別為 a, b,當(dāng)m變化時(shí)，一的最小值為aA. 16、2 B. 8 2C. 834 D. 43 4二、填空題：本大題共 8小題，考生作答 7

4、小題，每題5分，共35分.把答案填在 答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.一選做題請(qǐng)考生在第9,10,11三題中任選兩題作答，如果全做，那么按前兩題記分asin ,3cos (93,那么- Ox t 1,x9在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Cl：t為參數(shù)與曲線C2：y 1 2ty為參數(shù)，a> 0有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，那么a=.10. 不等式|2x+ 1| 2|x 1|>0的解集為 11. 如圖，過(guò)點(diǎn) P的直線與-O相交于A, B兩點(diǎn)，假設(shè)FA = 1 , AB = 2, PO:的半徑等于.二必做題1216題12. 復(fù)數(shù)z= 3 + i2i為虛數(shù)單位，那么|z|=.13. 2仮 十丫的二項(xiàng)展開(kāi)式中

5、的常數(shù)項(xiàng)為 .用數(shù)字作答14. 如果執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸入x= 1, n = 3,那么輸出的數(shù) S=理圖文圖15. 函數(shù)f(x)= sin(3x+冊(cè)的導(dǎo)函數(shù)y= f'x)的局部圖象如下圖，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A, C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn).n3x/3(1)假設(shè) 一，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0 ,)，貝U 3=；62假設(shè)在曲線段 ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為16. 設(shè)N= 2n(n N*, n?2),將N個(gè)數(shù)xi, x2,，xn依次放入編號(hào)為1,2,，N的 N個(gè)位置，得到排列P0= X1X2xn.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)

6、取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前 N和后N個(gè)位置，得到排列P1 = X1X3xn-1x2x4xn ,將此操作稱為C2 2N變換.將P1分成兩段，每段孑個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到P2；當(dāng)2< 證明：CD丄平面PAE ; < n- 2時(shí)，將Pi +1.例如，當(dāng) N = 8 時(shí)，P2 =Pi分成2i段，每段 N個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到2iX1X5X3X7X2X6X4X8，此時(shí)X7位于P2中的第4個(gè)位置.(1)當(dāng)N = 16時(shí)，X7位于P2中的第個(gè)位置；(2)當(dāng)N = 2n(n?8)時(shí)，xi73位于P4中的第 個(gè)位置.三、解答題：本大題共 6小題，共75分解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

7、或演算步驟.17. 某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購(gòu) 物量1至4件5至8件9至 12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò) 8件的顧客占55%.(1)確定x, y的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)假設(shè)某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率.18. 如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PA丄平面 ABCD , AB = 4, BC

8、= 3, AD = 5,Z DAB =Z ABC = 90° E 是 CD 的中點(diǎn).設(shè)P(xo, yo)(yoM 土 3)為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線，分別與曲線 Ci相交 于點(diǎn)A, B和C, D .證明：當(dāng)P在直線x =- 4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn) A, B, C, D的縱坐標(biāo)之積 為定值.22 .函數(shù)f(x)= eax- x,其中a豐0.(1)假設(shè)對(duì)一切x R , f(x)> 1恒成立，求a的取值集合；在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn) A(xi, f(xi), B(X2, f(x2)(xiv X2)，記直線 AB的斜率為 k.問(wèn)：是否存在xo (xi, x2)，使f'

9、;x0) > k成立？假設(shè)存在，求 xo的取值范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.1. B 由 N=xx2wx，得 x2-x< 0? x(x- i)w 0,解得 Ow x< 1又 T M = 1,0,1, M n N= 0,1.nn2. C 命題"假設(shè) 一，那么tan a= 1的逆否命題是"假設(shè) tanai,貝U 443. D 假設(shè)為D項(xiàng)，那么主視圖如下圖，故不可能是D項(xiàng).4. D D項(xiàng)中，假設(shè)該大學(xué)某女生身高為170 cm,那么其體重約為：0.85X 170 85.71 =58. 79(kg).故D項(xiàng)不正確.5. A 由 2c= 10,得 c = 5,K；點(diǎn)

10、P(2,1)在直線y _x上,a 1 2b.又；a2+ b2= 25,. a2= 20, b2= 5.a2 y- 1.52故C的方程為二206. Bnf(x)= sinx cos(x+)6=si nx3 .=sinx2= 3( 3 si nx2=、.3s in(x 上)6應(yīng)選B項(xiàng).31 .、cosx sinx) 22cosx2-cosx)27. A、.3八 3.|cos(n B) 2|bC|( cosB) 1 ,& b 由題意作出如下的示意圖.由圖知 a = |xa xc|, b= |xd xb|, 又T xa xb= 1, xc xd = 1,xcI Xa Xc I1IXaXc |y

11、A + yc = log 2XA log 2XC,8 2m 1817=log2XAxc = m 一2m 12 2m 122當(dāng)且僅當(dāng)込 8 ，即m2 2m 1由一 lOg2XAXc > 7，得 log2XAXc <27從而 b -222 ,a | XaXc |-時(shí)取等號(hào).27I，即 0v xaxcw 2 22當(dāng)m 3時(shí)，b取得最小值8 2，應(yīng)選B項(xiàng).2 a39.答案：一2解析：/ C1：x t 1,二 C1 的方程為 2x+ y 3= 0.y 1 2t,asin ,二C2的方程為3cos ,2_y_91.t C1與C2有一個(gè)公共點(diǎn)在 x軸上，且a> 0,二C1與x軸的交點(diǎn)3 ,

12、 0在C2上,2代入解得a3_ 2 110.答案：x|x>4解析：對(duì)于不等式|2x+ 1| 2|x 1|>0,分三種情況討論:1 ° 當(dāng) x 時(shí)，一2x 1-2( x+ 1) >0,2即3> 0,故x不存在；12 °當(dāng) 一2x1 時(shí)，2x+ 1 2( x+ 1)>0,1即1 x 143° 當(dāng) x> 1時(shí),2x+ 1 2(x 1) > 0,3> 0,故 x > 1.綜上可知，x1，不等式的解集是x1x -4411.答案：解析：過(guò)P作圓的切線PC切圓于C點(diǎn)，連結(jié)OC. PC2=PA PB=1 X 3=3 , pc

13、、3.在 Rt POC 中，OC po2 pc26.12. 答案：10解析：/ z= (3 + i)2,. |z|= 32+ 12= 10.13. 答案：160 解析：(2.x -t)6的通項(xiàng)為 Tr 1 C6(2'、x)6 r( -t)rvxy x=(1)rC；26-rx3r當(dāng) 3 r = 0 時(shí)，r = 3.故(1)3C；26 3= C；23= 160.14. 答案：4解析：輸入x= 1, n = 3.i= 3 1= 2, S= 6 X ( 1) + 2 + 1 = 3; i= 2 1= 1, S= ( 3)X ( 1) + 1+ 1= 5;i= 1 1= 0, S= 5 X (

14、1) + 0 + 1 = 4;i = 0 1 = 1, 1v 0，輸出 S= 4.n15. 答案：(1)3(2) f(x) = sin(+妨，f'x) =3cos(3x+©.解析： n時(shí),6f'(0)f X)coCOS( 3x+ ) 6n 3,3,COS，3= 3.6 2nno(2)當(dāng) 3x+ $=時(shí)，X 23n當(dāng) 3X+ (= 3n 時(shí)，X 2由幾何概型可知，該點(diǎn)在厶 ABC內(nèi)的概率為1jlACI| |TnT_n 0 cos( x )21 , 2n 1 | |2 23n2sin( x )n2n23 nnsi n( 2 ) sin( 2 )n=2sin(4) sin(

15、n)2 2n=丄 nii 4.16. 答案：(1)6(2)3 X 2曠4+ 11解析：(1 )由題意知，當(dāng)N= 16時(shí)，Po =X1X2X3X4X5X16, Pl = X1X3X5X15X2X4X16,貝 P2= X1X5X9X13X3X7X11X15X2X6X10X14X4X8X12X16 ,此時(shí)X7位于P2中的第6個(gè)位置.方法同(1)，歸納推理知X173位于P4中的第3 X 2廠4+ 11個(gè)位置.17. 解：(1)由得 25+ y+ 10 = 55, x+ 30= 45,所以 x= 15, y= 20,該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視

16、為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.將頻率視為概率得153303251F(X 1)F(X1.5)F(X 2)10020300101004201c、101F(X 2.5)F(X3)100510010X的分布列為X11.522.53F3311120104510X的數(shù)學(xué)期望為33111E X =1+1.5+ 2 + 2.5+3=1.9 .20104510記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘，Xi(i = 1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，那么P(A) = P(X1= 1 且 X2 = 1)+ P(X1= 1 且 X2= 1.5) + P(X1= 1.5 且 X2= 1).

17、由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1, X2的分布列都與 X的分布列相同，所以P(A) = P(X1= 1) X P(X2= 1) + P(X1= 1) X P(X2= 1.5) + P(X1 = 1.5) X P(X2= 1)333333920 20 20 10 10 20 80故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率為98018. 解：解法一：(1)如下圖，連接 AC.由 AB=4, BC=3，/ ABC=90。得 AC=5.又 AD=5， E是CD的中點(diǎn)，所以 CD丄AE.因?yàn)镻A丄平面 ABCD，CD 平面ABCD，所以PA丄CD .而 PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以

18、CD丄平面FAE.過(guò)點(diǎn)B作BG/ CD，分別與 AE，AD相交于點(diǎn)F，G，連結(jié)FF.由(1)CD丄平面FAE知，BG丄平面FAE.于是/ BFF為直線FB與平面FAE所成的角, 且BG丄AE.由PA丄平面 ABCD知，/ PBA為直線PB與平面ABCD所成的角.bf一，所以 PA = BF.PBPA由題意/ PBA =/ BPF，因?yàn)?sin/ PBA =, sin/ BPF =PB由/ DAB = / ABC = 90°知，AD / BC .又BG / CD，所以四邊形 BCDG是平行四邊形.故 GD = BC = 3，于是 AG= 2.在 Rt BAG 中，AB = 4, AG

19、= 2, BG 丄 AF ,2/5 , BF ABBG , AB2 AG2是 pa= bf =又梯形ABCD的面積為所以168、5BG 2*51S=X (5 + 3) X 4= 16,所以四棱錐216 85128、一55P ABCD的體積為11V 丄S PA 丄33解法二：如下圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA = h,那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:E(2,4,0), P(0,0, h).15AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0), D(0,5,0),(1)易知CD ( 4,2,0),因?yàn)?CD AE = 8 + 8 + 0 =

20、0, 是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以由題設(shè)和(1)知，CD ,而PB與平面AE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以|cos：CD,PB=(0,0, h).0,所以 CD 丄 AE, CD 丄 AP，而 AP, AE CD丄平面PAE.分別是平面FAE,平面ABCD的法向量.；| |cos. PA, PBCPB即由又CD = ( 4,2,0), PA = (0,0, h).(4,0, h)，故| 0 0 h2h、16 h2| 16 0 02i5 J6 h2解得h匕5.51又梯形ABCD的面積為S=X (5 + 3) X 4= 16,所以四棱錐 P ABCD的體積為11V S PA

21、-331628,5128 51519. 解：(1)對(duì)任意n N*，三個(gè)數(shù)A(n), B(n), C(n)是等差數(shù)列，所以B( n) A(n) = C( n) B(n),即 an+1 a1= an+ 2 a2, 亦即 an+ 2 an+1= a2 a1 = 4.故數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列.于是 an= 1 + (n 1) X 4 = 4n 3.必要性：假設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，那么對(duì)任意n N*，有an+1 = anq.由an>0 知，A(n), B(n), C(n)均大于 0,于是B(n) a? a3 an 1A(n)印 a2anC(n)a?a4a.2B( n)a2

22、a3an1q(a1 a2an) qq ,a1 a2anq(a2 a3an 1) qq ,a2 a3an 1即 a2= qa1 , 從而 an+2 qan+1= 0. 電q.a1公比為q的等比數(shù)列.綜上所述,數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意 n N* , A(n) , B(n) , C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.20.解：(1)設(shè)完成T2(x) , T3(x),由題設(shè)有2 30006x三個(gè)數(shù)T(x)A , B, C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間 (單位：天)分別為1000 一、2000 一、1500x ,2 x kx ,3 x 200 (1 k)x 'T1(x),即B

23、(n) C(n) q .所以三個(gè)數(shù)A(n), B(n), C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.A(n) B(n)充分性：假設(shè)對(duì)任意 n N*，三個(gè)數(shù)A(n), B(n), C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，那么B(n) = qA(n), C(n) = qB(n).于是 C(n)B(n)= qB(n) A(n),得 an +2 a2= q(an+1 a1)，即an+2 qan+1= a2 qa1.由 n = 1 有 B(1) = qA(1),因?yàn)閍n> 0,所以 n 2an 1故數(shù)列an是首項(xiàng)為a1 ,其中x , kx,200 (1 + k)x均為1至U 200之間的正整數(shù).(2)完成訂單任務(wù)的

24、時(shí)間為f(x)=200*T2(x)為maxT1(x) , T2(x) , T3(x),其定義域?yàn)閤|0vxv , x N .易知，T1(x),1 k2減函數(shù)，T3(x)為增函數(shù).注意到 T2(x) = - T1(x),于是k當(dāng) k= 2 時(shí)，T1(x)= T2(x),此時(shí)f(x)= max T1(x) , T3(x)10001500=max ,.x 200 3x由函數(shù)T1(x), T3(x)的單調(diào)性知， 當(dāng)10001500 時(shí)f(x)取得最小值，解得x -400x 200 3x9亠十 400250300由于 4445 ,而 f(44)= T1 (44) =, f(45) = T3(45) =,

25、 f(44) v f(45).91113250故當(dāng)x= 44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為f(44)= 竺.11當(dāng)k>2時(shí)，T1(x)>T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k> 3,此時(shí)1500200(1 k)x375記 T (x)50 x1500200 (1 3)x37550 x,0(x)= maxTi(x), T(x)，易知 T(x)是增函數(shù)，那么f(x)= max T1(x), T3(x) > max T1(x), T(x)八 彳 1000375=<Xx) = max ,.x 50 x由函數(shù)Ti(x), T(x)的單調(diào)性知，當(dāng)400112501110003

26、75時(shí)*)取最小值，解得x250375,*7)= T(37)=-1113x 50250由于 3637，而 «36) = T1(36)=-119250此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.11當(dāng)kv 2時(shí)，(x)v T2(x)，由于k為正整數(shù)，故2000750f(x)= max T2(x), T3(x) = maxxk= 1,此時(shí)由函數(shù)T2(x) , T3(x)的單調(diào)性知，當(dāng)'1002000類(lèi)似的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為9綜上所述，當(dāng)k= 2時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短, 數(shù)分別為44,88,68.21 解：方法一：設(shè) M的坐標(biāo)為(x, y),由得 |x 2| (x 5)2

27、y23.易知圓C2上的點(diǎn)位于直線x= 2的右側(cè)，于- x750時(shí)f(x)取最小值，解得100 x250250-,大于.11此時(shí)，生產(chǎn)A, B , C三種部件的人80011 ，x+ 2> 0，所以y2= 20x.曲線Ci上任意一點(diǎn)M到圓Ci是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線x=(X 5)2 y2x+5.C2圓心(5,0)的距離等于它到直線 x= 5為準(zhǔn)線的拋物線.故其方程為y2 =化簡(jiǎn)得曲線C1的方程為 方法二：由題設(shè)知，x = 4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為(一4, y0).又土 3,那么過(guò)P且與圓 k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為y- y0剛15k y0 4k |=k(x+ 4

28、),即卩 kx y+ y°+ 4k= 0.于是5的距離因此，曲線 20x.3.(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線 C2相切的直線的斜率Jk2 1整理得 72k2 + 18y0k+ y。2 9= 0.設(shè)過(guò)P所作的兩條切線PA, PC的斜率分別為k1, k2,那么k1, k2是方程的兩個(gè)實(shí)根.故724由邸y y0 4k1 0,得y 20xk1y2 20y+ 20(y°+ 4k1) = 0.設(shè)四點(diǎn)A, B, C, D的縱坐標(biāo)分別為 y1, y2, y3, y4,貝y1, y2是方程的兩個(gè)實(shí)根,所以y y220(y0 4k1)ki同理可得y3y420(y0 4k2)k2于是由三式得k1k27172

29、7374400(¥0 4k1)(y0 4k2)400y。2 4(ki k2)y。16牡2】400(y。2 y。2 16?)6 他所以，當(dāng)P在直線x =-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn) A, B, C, D的縱坐標(biāo)之積為定值 6 400.22.解：(1)假設(shè)av 0,那么對(duì)一切 x>0, f(x) = eax-xv 1,這與題設(shè)矛盾又a豐0,故a> 0.而 f，x) = aeax-1，令刈=0 得 x In1.a a1 1 、x In 時(shí)，f'x)v 0, f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) a a1 . 11 1 、In 時(shí)，f'x)> 0, f(x)單調(diào)遞增.故 a11 11

30、、 1 1 , 1In 時(shí)，f(x)取最小值f ( In )Ina aa a a a a于是對(duì)一切x R, f(x) > 1恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)111In1.aaa令 g(t) = t tint,那么 g 't(= Int.當(dāng)0vtv 1時(shí)，g't(>0, g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t> 1時(shí)，g't(v 0, g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t= 1時(shí)，g(t)取最大值g(l) = 1因此，當(dāng)且僅當(dāng)11，即a= 1時(shí)，式成立.a綜上所述，a的取值集合為 由題意知，k 丄型1 f (N)axoaxie-1.x2x1ax2ax|e e令 o(x)= f'x( k= aeax-ax.<Xxi)=eX2ax?ea(x2 x1) a(x2 x1) 1, e伙x2)=ea(x1 X2) a(x1 X2) 1.X2 X1令 F(t) = et t 1，貝y F 't(= et 1.當(dāng)tv 0時(shí)，F(xiàn) 't(v 0, F(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t> 0時(shí)，F(xiàn) 'tX> 0, F(t)單調(diào)遞增.故當(dāng)0 時(shí)，F(xiàn)(t)