立體幾何專題之三垂線定理

1、 高三同學在對立體幾何的基本知識進行了系統(tǒng)的復習之后，對于比較重要的定理、概念以及在學習過程中感到難于掌握的問題進行綜合性的專題復習是很必要的。在專題復習中應通過分類、總結，提高對所學內(nèi)容的認識和理解。今天我和大家共同探討高中立體幾何中的三垂線問題。 學習三垂線定理中，感到困難的是分辨直線與直線之間的位置關系，加上往往題目中線條較多，加大了判斷難度。另外，許多同學對定理內(nèi)容不清楚，導致做題時思路混亂。我們首先來說明以下幾點，以澄清定理內(nèi)容： 對于平面的斜線OP，在平面內(nèi)必存在射影OAPAOa 如果平面內(nèi)的直線a垂直于斜線OP的射影OA，那么必垂直于斜線OP；反之也成立PAOa 滿足條件（2）的

2、直線a必垂直于斜線及射影所確定的平面PAOa 運用三垂線定理及逆定理的規(guī)律：確定平面、找到斜線、找到（做出）垂線、連成射影、查面內(nèi)線PAOa 關于三垂線定理及逆定理的圖形，有以下三種情況：直線a可能過O點；直線a可能與OA相交；直線a可能與AO或OA的延長線相交PAOa 直線a可能過O點ABCDEFGo如圖，已知在直角三角形ABC中， C=90 ，AC=18，BC=32，D是AB的中點，DE平面ABC，DE=12,求：E到AC、BC的距離221 16122 20 2015DFACDFACFEFEFACDFBCDERt DEFEFDFDEEACEBC解：作，連接， 根據(jù)三垂線定理可知，即 點到的

3、距離是，同理可求得到的距離是 。ABCDEFG 直線a可能與AO或OA的延長線相交ABCDABCDACBDADBC如圖，已知在四面體中，求證：ABCDEFGO: AOBCDOBOCDEBOCOABACBCDABCDBECDCFBDOBCDDOBCGDGBCAD證明 作底面， 為垂足，連結并延長交于 ，則、分別為、在底面上的射影。，（三垂線定理的逆定理）同理可證：為的垂心，連并延長交于 ，則由三垂線定理知，BCABCDEFGO 平行于平面的直線a，如果垂直于斜線OP在平面內(nèi)的射影OA，那么直線a也垂至于斜線OP，它在解某些較復雜的問題時可能化難為易PAOa587ABBDACABABABcmACB

4、DcmABcmCD如圖，線段平行于平面 ，、為垂直于的兩條相等的斜線，且分別在的兩側，若，和平面 的距離為，求的長ABCDA1B1OABCDA1B1O11111111111, 7 5 2.5 ABABACABBDABACBDACB DAABBcmAABBABABcmACOB DOAOcm分析：因為平面 ，又因為，則應想到也垂直于、在平面 內(nèi)的射影、因為且，所以 因為直角直角（銳角、直角邊），所以22112211 15 222 85ACACAAcmCDCOACAOcm因為所以 大家往往習慣于在水平放置地平面上運用三垂線定理，而在豎直或傾斜放置的平面上需用三垂線定理解題時，即使是很明顯的問題，有時

5、也會感到力不從心。應明確的是，三垂線定理及其逆定理的適用與平面所在的位置無關?？勺鲆恍┚毩暭由钸@種印象。111111ABCDABC DACABD如圖，已知正方體，求證：平面ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D11111111111111 ADAAD DACADADADADACADACBDACABD證明：如圖，連結，對于平面，是斜線，是它的射影，是面內(nèi)直線，（三垂線定理）同理平面 應用這兩個定理時，首先要明確是針對哪個平面應用定理，尤其是應注意此平面非水平面放置的情況，然后再明確斜線、垂線、斜線的射影及面內(nèi)直線的位置，有時需要添加其中某些線，這樣可以確保正確應用定理 判定空間中兩條直線

6、相互垂直 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 求二面角的平面角 判定空間中兩條直線相互垂直PABCABC已知：正方體中截去以 為定點的一角得截面求證：所截得的是銳角三角形ABCP 判定空間中兩條直線相互垂直 PPDABDABPRtPDDABCDCDABCDABCABABABCBCACBCACABCABCABC證明：過 作于 ，是，的垂足 在內(nèi)，連結，由三垂線定理可知，為中邊上的高線且滿足垂足在內(nèi)，同理可證中邊、邊上的高線的垂足也在、內(nèi)的垂心在內(nèi)，故為銳角三角形ABCPD 判定空間中兩條直線相互垂直222222222222222222 cos2()()() 22 02 bcaCABbcxzxy

7、yzxzxyxxzxyCABABCACBACB證明：由余弦定理，為銳角，同理，也是銳角，為銳角三角形ABCP 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 90oABCaDEAB ACABCDEAAABC已知：正的邊長為 ， 、 分別為、的中點，將沿線段折成的二面角，此時 點變到 點的位置求： 點到的距離ABCDEFG 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 3 236 446 4AAFDEAFDEFADEABCAFABCADEAFDEFDEAFBCGAGBCAGAGBCAGaAFFGaAGaABCa解：過 作， 平面平面，平面，是正三角形，又，為的中點，連結，并使其延長線交于 ，則，連結則，即 點到的

8、距離是ABCDEFG 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 說明：這種求平面外一定點到平面內(nèi)一條定直線的距離的問題，一般方法是過定點做平面的垂線，再過垂足作定直線的垂線，找到這條垂線與定直線的交點，則定點和交點的距離就是所求的距離。這種運用三垂線定理的練習十分多，比如上題可以轉換成其他角度即為多個練習，同學們可以自己嘗試一下。 求二面角的平面角1111112ABCDABC DEBCC DECDE已知：如圖，是正四棱柱，側棱長為， 底面邊長為 ， 是側棱的中點求：面與面所成二面角的正切值A1B1C1D1ABCDEF 求二面角的平面角 說明：運用三垂線定理及其逆定理是找出二面角的平面角的常用手段，應當熟練掌握，其過程是在二面角的一個面上找一點P，過P分別作棱和另