高中數(shù)學(xué)論文：從數(shù)列到數(shù)陣“形散神不散”

1、從數(shù)列到數(shù)陣，“形散神不散”數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要模塊之一，也是高考的必考點(diǎn)，熱點(diǎn)和難點(diǎn).除了傳統(tǒng)題型之外，各地的高考或模擬試題中數(shù)列問(wèn)題的形式也在悄悄發(fā)生變化，成為數(shù)列問(wèn)題中一道亮麗的風(fēng)景線，數(shù)陣就是其中的一員，數(shù)陣的出現(xiàn)，使考查數(shù)列知識(shí)的問(wèn)題背景有了較大的變化，讓考生感覺(jué)耳目一新.下面我們一起領(lǐng)略數(shù)陣的風(fēng)采，探討問(wèn)題的求解策略.數(shù)列1，2，3，4，5，6，是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和.若將該數(shù)列排成如下的三角形數(shù)陣的形式12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中的第行（）的第3個(gè)（從左至右）數(shù)是分析：要求數(shù)陣中的第行（）

2、的第3個(gè)（從左至右）數(shù)，我們只要求出第行的第1個(gè)數(shù)，然后再加2，就是要求的數(shù).解：觀察上述三角形數(shù)陣容易發(fā)現(xiàn)，由每一行的第一個(gè)數(shù)1，2，4，7，11，構(gòu)成的數(shù)列有如下的規(guī)律： 將上述個(gè)等式左右兩端分別相加，得=所以，數(shù)陣中的第行（）的第3個(gè)（從左至右）數(shù)是上面運(yùn)用了疊加的方法求出了數(shù)列：1，2，4，7，11，的通項(xiàng)公式.思考一：數(shù)列中，（），把數(shù)列中的各項(xiàng)排成三角形數(shù)陣的形式，記表示第行的第個(gè)（從左至右）數(shù)，若，則 分析：要求及，只要求出第行的第一個(gè)數(shù)（從左至右），那么問(wèn)題就迎刃而解了.解：數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則=2， 若將數(shù)列中的，看成一個(gè)新數(shù)列（即數(shù)陣中每行的第一個(gè)數(shù)），則此數(shù)列中的

3、第個(gè)數(shù)（）就是第行的第一個(gè)數(shù).觀察上述數(shù)陣我們很容易發(fā)現(xiàn)，下標(biāo)也成下列數(shù)陣的形式：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 易知： 即第行的第1個(gè)數(shù)=+=且易知：只有唯一解，所以，思考二：若將該數(shù)列1，2，3，4，5，6，排成如下的形式12 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 問(wèn)題：（1）求第行的最后一個(gè)數(shù)（2）求第行的各個(gè)數(shù)之和（3）2008是第幾行的第幾個(gè)數(shù)（4）是否存在使得從第行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）方法一：(直接法)第1行的最后一個(gè)數(shù) 1=第2行的最后一個(gè)數(shù) 3=第3行的最后一個(gè)數(shù) 7

4、=第4行的最后一個(gè)數(shù) 15=.第行的最后一個(gè)數(shù) 方法二：（間接法）因?yàn)榈谛械淖詈笠粋€(gè)數(shù)與第行的第一個(gè)數(shù)相差1，因此，我們可以求出第行的第一個(gè)數(shù)，然后再減去1，即第行的最后一個(gè)數(shù).第1行的第一個(gè)數(shù) 1=第2行的第一個(gè)數(shù) 2=第3行的第一個(gè)數(shù) 4=第4行的第一個(gè)數(shù) 8=.第行的第一個(gè)數(shù) 第行的第一個(gè)數(shù) 所以，第行的最后一個(gè)數(shù)為 （2）由（1）知第行的第一個(gè)數(shù) ，最后一個(gè)數(shù)為所以，第行的各數(shù)之和=（3）設(shè)2008是第行中的數(shù)由（2）知，第行的第一個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為，且所以，2008是第11行的第985項(xiàng).（4）假設(shè)存在使得從第行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為由（1）知，第行的第一個(gè)數(shù)是，第行的最后一個(gè)數(shù)為所以從第行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為=，所以思考三：觀察下面的數(shù)陣12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 第20行的第20（從左至右）個(gè)數(shù)是從數(shù)列到數(shù)陣，盡管數(shù)的排列形式發(fā)生了變化，但問(wèn)題