6.6 二階常系數(shù)線性微分方程、歐拉方程ppt課件

1、16.6 二階常系數(shù)線性微分方程與二階常系數(shù)線性微分方程與Euler在二階線性微分方程在二階線性微分方程)(xfyqypy 非齊次線性微分方程。而稱方程非齊次線性微分方程。而稱方程)()()(xfyxqyxpy 為為均均為為常常數(shù)數(shù)，則則該該方方程程變變，如如果果)()(xqxp均均為為常常數(shù)數(shù)，、其其中中qp（6.49）則稱（則稱（6.49）為二階常系數(shù)）為二階常系數(shù)0 yqypy（6.50）為與方程（為與方程（6.49）對應(yīng)的齊次線性微分方程。）對應(yīng)的齊次線性微分方程。26.6.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)

2、為為的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程， qp、其中其中 得得的解，則代入方程后，的解，則代入方程后，假設(shè)方程有形如假設(shè)方程有形如xey 02， xxxeqepe 即即 02。 qp 3二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。 qp )121，則，則實(shí)根實(shí)根特征方程有兩個(gè)不同的特征方程有兩個(gè)不同的 xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程 (1) 的通解為的通解為 21212211。xxeCeCyCyCy 4二階常系數(shù)齊線性微分方程

3、二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。 qp )221，則則實(shí)實(shí)重重根根特特征征方方程程有有 ) 1 ( 11的的一一個(gè)個(gè)解解。是是方方程程此此時(shí)時(shí)，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp 5由劉維爾公式求另一個(gè)解：由劉維爾公式求另一個(gè)解： xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111 021p d11。xxexxe 于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程 ( 1 ) 的通解為的通解為 )(2121111。xCCeexCeCyxxx 6二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分

4、方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。 qp 3) 特征方程有一對共軛復(fù)根：特征方程有一對共軛復(fù)根： i i21，則，則， )i(2)i(121xxxxeeyeey ，是方程是方程 ( 1 ) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy 利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位 i 。 7歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。 e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(1。xxeeeeyxxxx 由線性方程解的性質(zhì)：由線性方程解的性質(zhì)： c

5、os)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx 均為方程均為方程 ( 1 ) 的解，且它們是線性無關(guān)的：的解，且它們是線性無關(guān)的： 0sin cos。， xexeWxx 8故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根 i i21 ，時(shí)，原方程的通解可表示為時(shí)，原方程的通解可表示為 )sincos(21。xCxCeyx 9二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。 qp 特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)實(shí)根根 xxeCeCy2121 )( 21實(shí)重根實(shí)重根 )(211xCCeyx )( i2, 1共共軛

6、軛復(fù)復(fù)根根 )sincos(21xCxCeyx 10 例例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特特征征方方程程 3 1 21，特特征征根根 321。所所求求通通解解為為xxeCeCy 11 例例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特特征征方方程程 i21 i21 21，特特征征根根 )2sin2cos( 21。所所求求通通解解為為xCxCeyx 12 例例解解 0 d d2 dd 22滿足初始條件的解：滿足初始條件的解：求方程求方程 ststs 012 2，特特征征方方程程 1 21，特征根特征根 ) ( 21。所所求求通通解解為為tCC

7、est 2 d d 4 0 0 。， tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由由初初始始條條件件 CCtsstt故所求特解為故所求特解為 ) 24(。test 13 例解解 的的彈彈簧簧從從靜靜止止?fàn)顮顟B(tài)態(tài)用用手手將將懸懸掛掛著著的的質(zhì)質(zhì)量量為為 m此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時(shí)時(shí)，的的位位移移為為當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為 k ）。）。O0 xx取取 x 軸如如圖所示。軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有由力學(xué)的虎克定理，有

8、 。xkf（ 恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反 ）由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得 dd22。xktxm（略）（略）14 2，則有，則有移項(xiàng)，并記移項(xiàng)，并記mka )0( 0 dd222。，axatx它能正確描述我們的問它能正確描述我們的問題嗎？題嗎？ 0 ，則有初始條件：，則有初始條件：t記拉長后，突然放手的時(shí)刻為記拉長后，突然放手的時(shí)刻為 00 ，初初始始位位移移xxt 0 dd 0 。初初始始速速度度ttx我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解：我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx15 0 dd222，xatx 00

9、，xxt。 0 dd 0 ttx 0 22，特特征征方方程程a i 2, 1，特征根特征根a sin cos 21。所所求求通通解解為為taCtaCy 0100 ；，得得由由xCxxt 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由CaCtaaCtaaCtxtt從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ) ( cos0。，mkataxx16n 階常系數(shù)齊線性微分方程階常系數(shù)齊線性微分方程形如形如) 1 ( 01)1(1)( ypypypynnnn )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為的方程，稱為 n 階常系數(shù)齊線性微分方程，階常系數(shù)齊線性微分方程， , 1npp 其其中中17

10、n 階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為 單單實(shí)實(shí)根根xCe 1 項(xiàng)項(xiàng) 實(shí)重根實(shí)重根k)( 121 kkxxCxCCek 項(xiàng)項(xiàng) 一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根)sincos( 221xCxCex 項(xiàng)項(xiàng) 011 1 nnnnppp i 2, 1 重復(fù)根重復(fù)根一對共軛一對共軛 k i 2, 1 2項(xiàng)項(xiàng)k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk 特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 對對 應(yīng)應(yīng) 項(xiàng)項(xiàng)18 例例解解 0dd3dd3dd 2233的的通通解解。求求方方程程 yxyxyxy 0133 23，特特征征方方程程 1 321，特特征征根

11、根 ) ( 2321。所所求求通通解解為為xCxCCeyx 例例6.50求下列方程的通解：求下列方程的通解： 03 2065144.)(;)()()( yyyyyy解解 ,065)1(234 rrr特特征征方方程程為為 0162,)(rrr即即 得得特特征征值值為為19 .1,6,04321 rrrr得得特特征征值值為為故原方程的通解為故原方程的通解為 .46321xxececxccy 012224,)(rr特特征征方方程程為為 012,)(r即即 得得特特征征值值為為 .,4321irrirr 4321xxcxxcxcxcysincossincos故原方程的通解為故原方程的通解為 . sin

12、)(cos)(4231xxccxxccy 206.6.2 二階常系數(shù)非齊線性微分方程二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如形如)2( )( xfyqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實(shí)實(shí)為為的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程， qp、其中其中它對應(yīng)的齊方程為它對應(yīng)的齊方程為) 1 ( 0 。 yqypy我們只討論函數(shù)我們只討論函數(shù) f ( x ) 的幾種簡單情形下，的幾種簡單情形下，(2) 的特解。的特解。21)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy )()( . 1的的情情形形xPexfnx )( 1110。其其中中nnnnnaxaxaxaxP

13、方程方程 (2) 對應(yīng)的齊方程對應(yīng)的齊方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為 0 2；特特征征方方程程 qp 21。，特征根特征根 單根單根二重根二重根一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根22假設(shè)方程假設(shè)方程)2( )(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解： )(，xueyx 則則 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程 (2) ，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3( )()()2(2。xPuqpupun 方程方程 (3) 的系數(shù)與方程的系數(shù)與方程 (2) 的特征根有關(guān)。的特征根有關(guān)。23)2( )(xPeyqypy

14、nx )3( )()()2(2。xPuqpupun ) 1 (不是特征根，則不是特征根，則若若 02， qp 由方程由方程 (3) 及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的的特特征征根根時(shí)時(shí)，不不是是方方程程中中的的故故當(dāng)當(dāng) xPexfnx 方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx 24 )2(是單特征根，則是單特征根，則若若 02， qp 由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu

15、 )2( )()( 的的單單特特征征根根時(shí)時(shí)，是是方方程程中中的的故故當(dāng)當(dāng) xPexfnx 方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3( 02 2 為為。此此時(shí)時(shí)，方方程程，即即而而 pp )()2(。xPupun )(xueyx )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun 25 )3(是二重特征根，則是二重特征根，則若若 02， qp 由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的二重特征根時(shí)，的二重特征根時(shí)，是方程是方程

16、中的中的故當(dāng)故當(dāng) xPexfnx 方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*2。xQexynx )3( 0 2 2 為為。此此時(shí)時(shí)，方方程程，即即且且pp )(。xPun )(xueyx )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun 26當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程)2( )( xfyqypy )()( 時(shí)，時(shí)，的右端為的右端為xPexfnx 它有下列形式的特解：它有下列形式的特解： )(*，xPexynxk 其中：其中： 0 ；不是特征根時(shí)，取不是特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k 1 ；是是單單特特征征根根時(shí)時(shí)，取取當(dāng)當(dāng)k 2 。是二

17、重特征根時(shí)，取是二重特征根時(shí)，取當(dāng)當(dāng)k :。可以為復(fù)數(shù)可以為復(fù)數(shù)注意注意27 例例解解 2。的的通通解解求求方方程程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx 。，對應(yīng)的齊方程的特征方程為對應(yīng)的齊方程的特征方程為 012， 特征根為特征根為 i2, 1。 對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 sincos21。xCxCy 0 ，原原方方程程有有特特解解不不是是特特征征根根，故故取取由由于于k *2120，bxbxby 將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb 28比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得 10， b 11， b 02

18、20， bb 10， b 11， b 2 2， b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。 xxy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。 xxxCxCyyy29 例例解解 32 。的的通通解解求求方方程程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx 。，對應(yīng)的齊方程的特征方程為對應(yīng)的齊方程的特征方程為 0322， 特征根為特征根為 1 321。， 對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原原方方程程有有特特解解是是單單特特征征根根，故故取取由由于于k *0，bexyx 將它代入原方程，得將它代入原方程，

19、得 3)1(2)2(000，xxeexbxbxb 30上式即上式即 140， b 410， b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 41*。xexy 綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 41*231。xxxexeCeCyyy 31 例例解解 1332 。的的通通解解求求方方程程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy 31*2 xy對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 3141*231。 xexeCeCyyyxxx32 )( 2,sincos)()(.

20、的的情情形形xxPxxPexfnlx 。多多項(xiàng)項(xiàng)式式次次實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)次次和和分分別別是是是是實(shí)實(shí)常常數(shù)數(shù)，其其中中nlxPxPnl)(),( 則則令令,max nlm 2 ）的的特特解解可可設(shè)設(shè)為為不不是是特特征征根根時(shí)時(shí)，方方程程（當(dāng)當(dāng)i ; sin)(cos)()2()1(xxQxxQeymmx 2 ）的的特特解解可可設(shè)設(shè)為為是是特特征征根根時(shí)時(shí)，方方程程（當(dāng)當(dāng)i )2( )( xfyqypy ; sin)(cos)()2()1(xxQxxQxeymmx 例例6.54 24 的的通通解解。求求方方程程xyycos 解解 0)(, 1)(, 2, 0sin)(cos)(,2cos)(）型型（

21、屬屬于于方方程程的的自自由由項(xiàng)項(xiàng)為為 xPxPxxPxxPexxfnlnlx 33 04 2，特特征征方方程程 2 21，特特征征根根為為，i 通通解解為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的 2221.sincosxcxcY 20解解為為是是特特征征根根，所所以以應(yīng)應(yīng)設(shè)設(shè)特特由由于于i 22).sincos(xBxAxy 2222xAxBxBxAysin)(cos)()( 244244xBxAxAxBysin)(cos)()( 代入原方程得代入原方程得 244244sin)(cos)(xBxAxAxB 224)sincos(xBxAxx2cosxxAxB22424cossincos34

22、22424xxAxBcossincos,0414AB,/041AB所以所以 241.sinxxy故原方程的通解為故原方程的通解為 412221.sinsincosxxxcxcyYy例例6.55 24 2的的通通解解。求求方方程程xxyy cos解解根據(jù)定理根據(jù)定理6.7（P315），原方程的特解由），原方程的特解由 24 xyycos 42xyy 與與疊疊加加而而成成。與與的的特特解解21yy 2411.sinxxy 而而由由上上例例， 42的的特特解解：下下面面考考慮慮xyy 35 42的的特特解解：下下面面考考慮慮xyy 202故故可可設(shè)設(shè)該該方方程程的的特特解解為為由由于于,)(xexx

23、fx 22，CBxAxy 22，BAxy 22，Ay 代入原方程得代入原方程得 4222xCBxAxA)()( 244422xACBxAx)( 0240414ACBA, 81041CBA, .814122xy故原方程的特解為故原方程的特解為 ,8141241221xxxyyysin36故原方程的通解為故原方程的通解為.81412sin412sin2cos221 xxxxcxcy例例6.56 1 02 的的特特解解。滿滿足足求求方方程程 )()(sin yyxyy解解，方方程程變變形形為為xyy2 sin 1)(,0)(,2,0sin)(cos)(,2sin)(）型型（屬屬于于方方程程的的自自由

24、由項(xiàng)項(xiàng)為為 xPxPxxPxxPexxfnlnlx 01 2，特特征征方方程程 21，特特征征根根為為，i 通通解解為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的 21.sincosxcxcY37 20特特解解為為不不是是特特征征根根，所所以以應(yīng)應(yīng)設(shè)設(shè)由由于于i 22.sincosxBxAy 2222.cossinxBxAy）（ 2424.sincosxBxAy ）（代入原方程得代入原方程得xxBxAxBxA2- 22424sinsincossincosxxBxA22323sinsincos,310BA于是于是 231.sinxy故原方程的通解為故原方程的通解為.23121xxcxcysinsi

25、ncos38得得，由由初初始始條條件件 1)()( yy.23121xxcxcysinsincos,23221xxcxcycoscossin.sinsincosxxcxcy23421 , 132, 121 cc故原方程滿足初始條件的特解為故原方程滿足初始條件的特解為.2sin31sin31cosxxxy 39)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。 e是是方方程程若若 )(i)(* 21xyxyy )(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。 )( 1是是方方程程的的一一個(gè)個(gè)

26、特特解解，則則xy )( 2是是方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特解解；xy)()()(2xfyxqyxpy *Re 1yy 實(shí)部實(shí)部 *mI 2yy 虛部虛部 3的的情情形形的的另另一一解解法法、xxPexfxxPexfnxnx sin)()(cos)()(.40 cos)( xxPeyqypynx sin)( xxPeyqypynx )( )i(xPeyqypynx )(*)i(xQexynxk *Re*1yy*Im*2yy i不不是是特特征征根根， 0 ；取取 k i是特征根，是特征根， 1 ；取取 k41 例例解解 cos 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。求方程求方程xyy 01 2，特征方程特征方程

27、i 2, 1，特特征征根根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xeyy 1 0 i ，且且有有，故故取取是是特特征征根根，由由于于 kn *i0，xexby 代入上述方程，得代入上述方程，得 2i i20ii000，即即有有 beexbxbbxx從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin21)cosisin(21 Re。xxxxxx)2i( Re*Re*i1xexyy 42 例解解 sin 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。求方程求方程xxyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1，特特征征根根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xexyy 1 1 i ，且有，且有，故取，故取是特

28、征根，是特征根，由于由于kn )(*i10，xebxbxy 代入上述方程，得代入上述方程，得 i22i4100，xbbxb 比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得 1i40， b 0i10， bb 41 4i10， bb43從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 )cossin()cossin(41 Im22xxxxxxxx )414i(x Im*Im*i2xexyy 故故 )414i()(*ii10，xxexxebxbxy )cossin(412。xxxx 44 例例解解 sincos 的的一一個(gè)個(gè)特特解解。求求方方程程xxxyy 由上面兩個(gè)例題立即可得由上面兩個(gè)例題立即可得)cossin(41si

29、n21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx 45 例解解 sin2 )4(的通解。的通解。求方程求方程xyyy 012 24，特特征征方方程程 )( i i 4,32, 1二重共軛復(fù)根二重共軛復(fù)根，特征根特征根 對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解為 sin)(cos)(2121。xxDDxxCCy 2 i)4(有有特特解解由由于于方方程程xeyyy ) 2 ( *i20。二重根，取二重根，取， kexbyx將它代入此方程中，得將它代入此方程中，得 810，故，故b 81*i2，xexy 從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin81*Im*21，xxy

30、y 46故原方程的通解為故原方程的通解為 sin81sin)(cos)(22121。xxxxDDxxCCy 47例例6.59滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式已已知知二二階階可可微微函函數(shù)數(shù))(xf ),()()1(20 xfexdttftxxx . )(xf求求解解原方程可化為原方程可化為 ),()()1()(200 xfexdttftdttfxxxx 兩端對兩端對x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 210),()()()()(xfexxfxxfxdttfxx 220,)()(xxexxfdttf整理得整理得兩端再對兩端再對x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 ,2)(2)(xexfxf 48 22,)()(xexfxf 21121.)()(

31、xexfxf 此為常系數(shù)線性微分方程，其對應(yīng)的齊次方程為此為常系數(shù)線性微分方程，其對應(yīng)的齊次方程為 021.)()( xfxf特征方程為特征方程為 0212,rr 21021,rr，特特征征值值為為故齊次方程通解為故齊次方程通解為 .)(2121xeccxf ,110 xe 由由于于 0為為特特征征值值，而而故，自由項(xiàng)為故，自由項(xiàng)為1 時(shí)原方程的特解可設(shè)為時(shí)原方程的特解可設(shè)為 1;)(Axxf 1不不是是特特征征值值，而而 21時(shí)時(shí)，原原方方程程的的特特故故自自由由項(xiàng)項(xiàng)為為xe49 ,)( 2xBexf特特解解可可設(shè)設(shè)為為 1;)(Axxf ,xBeAxxf)(為為所所以以，原原方方程程特特解解可可設(shè)設(shè) ,xBeAxf )( ,xBexf )(代入原方程得代入原方程得 21121.)()(xexfxf 211)21xxxeBeABe( 211)2321xxeBeA ,312BA, ,312xexxf)(所所以以，原原方方程程特特解解 .312)(2121xxexeccxf 于于是是原原方方程程通通解解為為50 .3