第6講-函數(shù)的奇偶性與周期性.

1、第 9 講函數(shù)的奇偶性、周期性【考點解讀】1. 理解函數(shù)奇偶性的概念，掌握函數(shù)奇偶性的判定方法及圖象特征，并能運用這些知識分析、解決問題。2. 理解函數(shù)周期性與對稱性的概念，會用定義驗證函數(shù)的周期性。3. 能綜合運用函數(shù)的奇偶性、周期性及對稱性解題?！局R掃描】1. 奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)，一般地, 如果對于函數(shù)f (x) 的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（ -x ）=f（ x），那么函數(shù)f ( x) 就叫做偶函數(shù).一般地 , 如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f （ -x ） =-f（ x），那么函數(shù)fx 就叫做奇函數(shù).定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱

2、是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件。2. 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性, 一般都按照定義嚴格進行, 一般步驟是:（ 1）考查定義域是否關(guān)于原點對稱；（ 2）考查表達式f (x) 是否等于f ( x)或 -fx：若 f (x)=-fx，則f ( x) 為奇函數(shù)；若 f ( x) = f x ，則 f ( x) 為偶函數(shù)；若 f (x) = f x且 f( x) = f x ,則 f ( x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若 f (x) ） -fx且 f ( x) fx ，則 f (x) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即非奇非偶函數(shù) .為了便于判斷函數(shù)的奇偶性, 有時需要先將函數(shù)進行化簡,

3、或應(yīng)用定義的等價形式 :f ( x) =± f (x)f ( x) ± f ( x) =0f ( x) =± 1( f (x) 0).f (x)3. 奇、偶函數(shù)的性質(zhì)（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱 .（2）若一個奇函數(shù)f ( x) 在 x 0 處有定義， 那么 f ( x)0 ；如果一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶數(shù)，則其值域為0 。（ 3）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同 , 偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反。（ 4）在定義域的公共部分內(nèi)，兩個奇（偶）函數(shù)之和、差為奇（偶）函數(shù)；兩奇（偶）函數(shù)之積（商）為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之

4、積（商）為奇函數(shù)。 （注：取商時，應(yīng)使分母不為 0）（5）復(fù)合函數(shù)的奇偶性由兩個函數(shù)yf (u) ， ug(x) 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，其復(fù)合函數(shù) yf g ( x) 就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，其復(fù)合函數(shù)y f g ( x) 是奇函數(shù)。4. 周期函數(shù)的定義對于函數(shù) yf (x)，如果存在一個常數(shù)非零T ，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，f ( x T )f ( x) 都成立，那么 f ( x) 是周期函數(shù)。 T 是它的周期。注意：必須對定義域內(nèi)的任意自變量恒成立。5. 判斷函數(shù)是周期函數(shù)的常見結(jié)論：（ a0）若函數(shù) yf ( x) 滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)x

5、， f (xa)f ( x)yf (x) 以 T2a 為周期。 f ( xa)12a為周期。f ( x) 以 Tf (x) f ( xa)1f (x)4a 為周期。1f (x) 以 Tf (x)6.函數(shù)對稱性的性質(zhì)：（ 1） f (ax)f (ax)或f ( x)f (2a x)yf (x) 的圖象關(guān)于直線xa 對稱。（ 2）一般地，若 f (ax)f (bx) ，則函數(shù) yf (x) 的對稱軸方程是 xab。2（ 3） f (ax)f (ax)yf ( x) 的圖象關(guān)于點 (a,0) 成中心對稱。（ 4）函數(shù) yf ( x) 關(guān)于 xa及 xb對稱 (ba) ，則 yf ( x) 以 T 2

6、(ba) 為周期?！究加孅c撥】牛刀小試：1】已知函數(shù) f ( x) ax22x 是奇函數(shù)，則實數(shù) a=_。【答案】 0【命題意圖】本題主要考查奇函數(shù)的概念。【解析】由奇函數(shù)定義有f ( x)f ( x)0 得 a(x)22(x)ax22x2ax20 ，故a 0。2. 若 f (x) 是 R 上周期為5 的奇函數(shù)，且滿足f (1)1, f (2)2，則 f (3)f (4)（ ）A 1B.1C. 2D.2【答案】 A【解析】 f (3)f (4)f (2)f ( 1) =f (2) + f (1) =2113. ( 湖南省長沙一中2012 屆高三上學(xué)期月考) 定義在 R 上的函數(shù) yf (x)

7、是減函數(shù)，且函數(shù) yf ( x1)的圖象關(guān)于（1， 0）成中心對稱，若 s,t 滿 足 不 等 式f (s22s)f (2tt2 ) ，則當(dāng) 1s4時， t 的取值范圍是s4 函數(shù) y1ln1cos x 與 yln tan x 是同一函數(shù)；21cos x2若函數(shù)yfx與 ygx 的圖像關(guān)于直線yx 對稱，則函數(shù)yf2 x 與 y1 gx的圖像也關(guān)于直線 yx 對稱；2若奇函數(shù)fx對定義域內(nèi)任意 x 都有 fxf (2x) ，則 fx 為周期函數(shù)。其中真命題是A. B.C.D.【答案】 C【解析】考查相同函數(shù)、函數(shù)對稱性的判斷、周期性知識?？紤]定義域不同，錯誤；排除A、B，驗證 ,fxf 2(x

8、)f (2x) ,又通過奇函數(shù)得 fxf (x) ，所以 f（x）是周期為2 的周期函數(shù)，選擇 C。若奇函數(shù)f ( x) 對定義域內(nèi)任意x 都有 f (x)f (2 x) , 則 f ( x) 為周期函數(shù)其中真命題是ABCD【答案】 C【解析】考慮定義域不同，錯誤；排除A、B，驗證 ,fxf 2 (x)f (2x) ,又通過奇函數(shù)得fxf ( x) ，所以 f（ x）是周期為2 的周期函數(shù)，選擇C。5.f ( x) 是定義在 R 上的以 3 為周期的奇函數(shù) , 且 f (2)=0, 則方程 f ( x) 0 在區(qū)間 (0,6)內(nèi)解的個數(shù)是 _個 .【答案】 7【解析】因為f (2) =0, T

9、3,f ( 1) =0,f (5)=0,f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù) , 故f (0)0, f (1)0,f (1)f (2)f (3)f (4)f (5)0 ,f (3x)f (x),取x1.5 得 f (1.5)f (1.5),f (1.5)0 , 故 f (4.5)0 ,故方程 f ( x )0 在區(qū)間 (0,6)內(nèi)解的個數(shù)是7 個 .考點一函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用例 1：判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f ( x) ( x 1)1x(2)f (x)1 x221xx2(3)x2x( x0)（ 4）f ( x) = 1sin xcos xf ( x)x(x0)x21sin xcos x解析：

10、 判斷函數(shù)的奇偶性，首先要求出函數(shù)的定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱. 然后利用定義判斷，尋找fx 和 fx 的關(guān)系 .由 1x0 可得1x1 ，所以函數(shù)的定義域是1,1定義域關(guān)于原點不對稱，故1x該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).1-x 20 , x220 ，1x1 且 x0 ，定義域關(guān)于原點對稱，原函數(shù)可化簡為所以函數(shù)f x1 x2由 f x1 x21 x2xx 0 ，=xf xxf x為奇函數(shù) . 因為 f( x)=x2x(x0)(x2x)(x0)x2x(x0)( x2x)( x= f(x)，0)故 f(x)為奇函數(shù)（4）對于三角形1+sinx+cosx ，當(dāng) x=時，其值為2，當(dāng) x=-時，其值為

11、零，由此1 可22知原函數(shù) f ( x) = 1sin xcos x 的定義域中包含x=，但是不包含 x=-，所以定義域不1sin xcos x22關(guān)于原點對稱，所以f (x) 是非奇偶的函數(shù)。規(guī)律總結(jié)：判斷函數(shù)奇偶性是時，學(xué)生往往忽略求函數(shù)的定義域，導(dǎo)致錯誤；再者，不會合理變形，導(dǎo)致判斷錯誤 .變式訓(xùn)練 1：判斷下列函數(shù)的奇偶性 .（1） f ( x)1 x 2x 21 ；（2） f ( x )x (1x )x0x ( 1x )x0（3）已知函數(shù)f (x) 對任意 x、yR 都有 f ( x y) f ( x) f ( y) .解析： 具體函數(shù)先求函數(shù)定義域，分段函數(shù)分段討論奇偶性，抽象函數(shù)

12、要合理取值，尋找f x 和 fx 的關(guān)系 .( 1）函數(shù)的定義域為1,1且 f ( x )0 . 圖象關(guān)于原點對稱， 又關(guān)于 y 軸對稱，所以 f ( x )既是奇函數(shù)又 是偶函數(shù) .(2) 函數(shù)的定義域為,00,.當(dāng) x0 時，x0 ，f (x)x(1 x)f ( x )當(dāng) x0 時，x0 ， f (x )x(1 x )f ( x)綜上，對任意x,00,， f (x)f ( x ) ， f ( x) 是奇函數(shù) .(3) 令 x0 , f (0)0 , 令 yx ,f (0)f (x)f ( x),即 f ( x)f ( x) ,f ( x) 是奇函數(shù) .規(guī)律總結(jié)： 判斷函數(shù)的奇偶性首先求函數(shù)

13、的定義域, 這是固定的步驟 . 如果定義域關(guān)于原點對稱 , 利用定義 , 計算比較 f x和 fx, 有時 , 需要對函數(shù)進行化簡后再判斷, 較為簡便 .如果不好判斷 , 可以利用奇偶性定義等價形式進行判斷. 抽象函數(shù)的奇偶性判斷，采用賦值法，恰當(dāng)對變量進行賦值是關(guān)鍵。若證明函數(shù)不具有奇偶性, 舉組反例即可.例 2：函數(shù) f（x）的定義域為D = x|x 0 ，且滿足對于任意x1、x2 D ，有 f（ x1·x2）=f（ x1）+f（ x2） .（ 1）求 f（1）的值；（ 2）判斷 f（ x）的奇偶性并證明；（ 3）如果 f（ 4） =1， f（3x+1） +f（ 2x6） 3，且

14、 f（ x）在（ 0， +）上是增函數(shù)，求 x 的取值范圍 .解析：（ 1）解：令x1=x2=1，有 f（1× 1） =f（ 1） +f（ 1），解得 f（ 1） =0.（ 2）證明：令x1=x2= 1，有 f（ 1）×（ 1）=f（ 1） +f（ 1） .解得 f （ 1）=0.令 x1= 1，x2=x，有 f（ x） =f（ 1） +f（ x）， f（ x） =f（ x） .f （ x）為偶函數(shù) .（ 3）解： f（ 4× 4）=f （4） +f（ 4） =2 ，f（16× 4）=f（ 16） +f（ 4） =3. f（ 3x+1 ）+f （2x 6

15、） 3 即 f（ 3x+1 ）（2x 6） f（64） .（ * ） f（ x）在（ 0， +）上是增函數(shù)，（ *）等價于不等式組x 3或 x11(3x1)(2x6)0, 或(3x1)( 2x6)0,x 3,或3 或3(3x1)(2x6)64(3x1)( 2x6)64,7xR.x 53 3 x 5 或 7 x 1 或 1 x 3.333 x 的取值范圍為 x| 7 x 1 或 1 x 3 或 3 x 5.333規(guī)律總結(jié)：解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙：（ 1）無從下手，不知如何脫掉“ f” .解決辦法 :利用函數(shù)的單調(diào)性 .（ 2）無法得到另一個不等式 .解決辦法：關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)

16、的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.變式訓(xùn)練2：已知 f （ x）、 g（ x）都是奇函數(shù)，f （x） 0 的解集是（ a2，b）， g（ x） 0 的解集是 ( a2, b) ,ba2 ，那么 f （ x）· g（ x） 0 的解集是 ( )222A. （a2b）2，2B. （ b， a ）2C. （ a2， b）（b ， a2）D. （ a2， b）（ b2， a2）222f ( x)0,f ( x)0,解析： f （ x）· g（ x） 0g( x)0或 g( x)0. x（ a2， b ）（b ， a2） .22【答案】 C考點二函數(shù)周期性及其應(yīng)用例 3 設(shè)函數(shù) f

17、(x) 是定義在 R 上的以 3 為周期的奇函數(shù)， 若 f (1) 1 ， f (2)3a4 ，則 a 的取a1值范圍是（）（A） a3（ B） a3 且 a1 （ C） a3 或 a1 （ D） 1 a3 .4444解析： f(x) 以 3 為周期，所以f (2) f ( 1) ，又 f (x) 是 R上的奇函數(shù)， f ( 1)f (1) ，則 f ( 2)f ( 1)f (1) ，再由 f (1) 1 ，可得 f (2)1 ，即 3a41 ，解a1之得 1a3，故選 D4規(guī)律總結(jié)：不會恰當(dāng)?shù)刭x值和變量變換是本題做不出或用時較長的主要原因.變式訓(xùn)練3：函數(shù) f (x) 對于任意實數(shù)x 滿足條

18、件 f (x 2)15 ，則 f ( f (5)，若 f (1)f (x)1解析 函數(shù)f ( x) 對于任意實數(shù)x 滿足條件 f (x2)， f ( x4)f ( x22)f ( x)114， f (5) f (1)5 ， f (f (5)f( 5)f (x2)f (x) ，即 f ( x) 的周期為1f (x)f ( 54)111f ( 1)f (1)5f ( 1 2)規(guī)律總結(jié)： 對于抽象函數(shù)的求值問題，待求的函數(shù)值要和已知的函數(shù)值產(chǎn)生聯(lián)系，要有聯(lián)系，要用函數(shù)的周期調(diào)整，奇偶性變換.抽象函數(shù)的周期沒有固定的模式，掌握常見的抽象函數(shù)的周期的一些規(guī)律，對解題大有裨益： fxafx 型：周期為 2

19、a ； f xa12a ；f型：周期為x f (xa)1f ( x) 型：周期為 3a .1f ( x) f (x1x2 )f (x1) f (x2 )且 f (a) 1 ( f (x1) f ( x2 ) 1, 0 | x1x2 | 2a) ，則 f (x)1 f ( x1 ) f (x2 )的周期 T=4a；考點三函數(shù)對稱性及其應(yīng)用例 4：對函數(shù) y=f ( x) 定義域中任一個x 的值均有 f ( x+a)= f ( a x),(1) 求證 y=f ( x) 的圖象關(guān)于直線x=a 對稱；(2) 若函數(shù) f ( x) 對一切實數(shù) x 都有 f ( x+2)= f (2 x), 且方程 f

20、( x)=0 恰好有四個不同實根，求這些實根之和解析： 設(shè)函數(shù)圖象上任意一點 A(x0, y0) ，只要證明點 A 關(guān)于直線 x=a 對稱的點 B 也在函數(shù)圖象上即可 .(1) 證明 設(shè) ( x0, y0 ) 是函數(shù) y=f ( x) 圖象上任一點，則 y0=f ( x0),(2ax0 ) x0=a,點 ( x , y) 與 (2 a x, y ) 關(guān)于直線 x=a 對稱，20000又 f ( a+x)= f ( a x), f (2 ax0 )= f a+( a x0) =f a ( a x0) =f ( x0)= y0,(2 a x0, y0) 也在函數(shù)的圖象上，故y=f ( x) 的圖象

21、關(guān)于直線x=a 對稱(2) 解由 f (2+ x)= f (2 x) 得 y=f ( x) 的圖象關(guān)于直線x=2 對稱，若 x0 是 f ( x)=0 的根，則 4 x0 也是 f ( x)=0 的根，若 x1 是 f ( x)=0 的根，則 4 x1 也是 f ( x)=0 的根，x0+(4 x0)+ x 1+(4 x1)=8 即 f( x)=0 的四根之和為 8變式訓(xùn)練4：已知函數(shù) yf (2 x1)為偶函數(shù)，則函數(shù) yf (2 x) 圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)yf ( x) 圖像關(guān)于直線對稱 .解析： t2x 設(shè)由 ft 1f t1 可得函數(shù) f t關(guān)于 t 1 對稱， y f (2x)關(guān)于

22、1x 對稱 .2規(guī)律總結(jié)： 函數(shù)圖像對稱性是函數(shù)奇偶性圖像特征的進一步拓展，要學(xué)會從函數(shù)變換角度去理解圖像對稱性，以及用函數(shù)代換特征去處理函數(shù)對稱性. 函數(shù)的圖象的對稱本質(zhì)還是點的對稱，所以證明圖象對稱問題常常轉(zhuǎn)化到點的對稱問題. 需要記住的一些結(jié)論：對于函數(shù)abyf (x)( xR ),f ( xa)f (bx) 恒成立 , 則函數(shù) f ( x) 的對稱軸是x; 兩個2函數(shù) yf (x a) 與 yf (b x) 的圖象關(guān)于直線bax對稱 .2考點四函數(shù)性質(zhì)的綜合運用例 5 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f( x) ，滿足 f ( x4)f (x) ,且在區(qū)間 0,2上是增函數(shù),若方 程f(x)=m(m>0) 在 區(qū) 間8,8上 有四個不同的根x1 , x2 , x3, x4 ,則x1 x2x3x4 _.解析： :因為定義在 R 上的奇函數(shù)， 滿足 f ( x4)f (