行列式的計算方法(1).

1、計算 n 階行列式的若干方法舉例1利用行列式的性質(zhì)計算例：一個 n 階行列式 Dnaij 的元素滿足 aija ji , i , j 1,2, , n, 則稱 Dn 為反對稱行列式，證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零 .證明：由 aija ji 知 aiiaii ，即 aii0,i 1,2,n0a12a13a1na120a23a2n故 行 列 式 Dn 可 表 示 為 Dna13a230a3n，由行列式的性質(zhì) AA ，a1na2na3 n00a12a13a1n0a12a13a1na120a23a2 na120a23a2n( 1)n DnDn a13a230a3 n( 1)na13a230a3na1n

2、a2na3n0a1na2na3n0當(dāng) n 為奇數(shù)時，得 Dn =Dn，因而得 Dn = 0.2化為三角形行列式1a1a2a3ana11 a2a3an例2 計算 n 階行列式 Da1a21 a3an a1a2a31an解這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此 n 列之和全同將第 2，3， ，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是11a1a2ana2a3an1a2a3an1a1a2an1 a2a3an1 1 a2a3an1inD2,1a1a2ana21 a3an1ai 1a21 a3ani, ni 11a1a2ana2a31 an1a2a

3、31 an1a2a3ani1n0100nnai 0 0 101ai 1 1ai .i2,1, ni 1i1i 10001abbbbabb例 3計算 n 階行列式 D bbabbbba解：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3， ， n列都加到第 1 列上，行列式不變，得a (n 1)b b bb1b bba(n1)babb1abbD a(n1)bbab a (n 1)b 1baba (n 1)b b ba1b ba1bbb0a b00 a (n1)b( ab)n 1 a ( n 1)b 00a b0000ab例 4：浙江大學(xué) 2004 年攻讀碩士研究生入學(xué)考試

4、試題第一大題第2 小題（重慶大學(xué)2004 年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1 小題）的解答中需要計算如下行列式的值：123n 1n234n1Dn34512n12n2n1 分析 顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第 1 列開始；每一列與它一列中有 n-1 個數(shù)是差 1 的，根據(jù)行列式的性質(zhì)， 先從第 n-1 列開始乘以 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以 1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以 1 加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：111211Dn 311n1n11( i 2,

5、 n)1121rinr1nnn1n(n1)n)n2(n1)nn 112111111111n2,1000n1 n( i, n)00n01rir1211n1 n000n000000n00n00n00n01n(n1)n2n0020000n0001n00n 1( n1)( n2)(1)2n (n1)24降階法（ 按行（列）展開法 ）降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是根據(jù)行列式的特點，先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。123181920212171819例 1、計算 20 階行列式 D2

6、0 321161718201918321 分析 這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個 2 階行列式計算，需進行 20！*20 1 次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的， 更何況是 n 階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計算：解：123181920111111211111212171819311111D 203211617ci1ci181,19)( i20191832119111112011111111111302222(i2, , 20)4002222

7、1(1)20 121821218rir120000022100000a00010a00000a00例 2計算 n 階行列式 Dn000a01000aa0000a000a0000a0解將 Dn 按第 1 行展開Dn a 0 0 a0( 1)n 1000a000a1000an( 1)n 1 ( 1)n an 2anan 2 .a00010a000例3D 00a00計算 n（n2）階行列式1000aa0000a0000a00a00解 按第一行展開，得 D1 na1000a000a1000再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到D an11 nn 1 1an 2anan 2an 2 a2

8、1 15遞（逆）推公式法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點，的值。 有時也可以找到 與建立起 與 的遞推關(guān)系式， 逐步推下去， 從而求出， 的遞推關(guān)系，最后利用 ， 得到 的值。注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。000100例 1 計算行列式D n0100.0000001解：將行列式按第 n 列展開 , 有 D n() D n 1D n 2 ,DnDn 1(Dn 1Dn 2 ), DnDn 1(Dn 1Dn 2 ),得DnD n 12 (Dn 2Dn 3 )n 2 (D2D1 )n 。( n1) n ,;同理得DnDn 1n ,

9、Dnn 1n 1,.axxxyaxx例 2計算 D nyyaxyyya解ayxxxyxxx0axxyaxxD n0yaxyyax0yyay yya10001a x00( a y) D n 1y 1y xa x01yxyxa x(ay) D n 1y( ax) n 1同理 Dn(a x)Dn 1x(a y)n 1x(any(ax)n聯(lián)立解得 Dn）,(xy)yxy當(dāng) xy 時 ,Dn(ax) Dn 1x(ax) n 1(ax) 2 Dn 22x(ax)n1(ax) n 2 D2(n2) x( a x)n 1(ax) n 1a (n 1)xx10000x100例 300x00計算 n 階行列式 D

10、n000x1anan 1an 2a2a1 x解首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開，得：x1000100000x100x100000x00n 100xDn 1n 11n 1Dn x1 an 0 x 11 anxDn 1 an，000x1000x1an 1an 2an 3a2a1x這里 Dn 1 與 Dn 有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是n1的行列式現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計算結(jié)果對此，只需反復(fù)進行代換，得：Dx xDaax2 Da xax2 xDaa x axn 1Da xn 2ax2ax a ，nn 2n 1nn 2n 1nn 3n 2n 1n12n 2n 1n因 D1xa1xa1，故 Dnxna1xn 1an

11、 1 xan 最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的當(dāng) n1 時，顯然成立設(shè)對n1階的情形結(jié)果正確，往證對n 階的情形也正確由Dn xDn 1 an x xn 1a1 xn 2an 2 x an 1 an xna1 xn 1an 1 x an ，、可知，對 n 階的行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立210000121000例4證明 n 階行列式 D nn 1 000121000012210000100000121000121000證明按第一列展開，得 D n 2000121000121000012000012其中，等號右邊的第一個行列式是與Dn 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為

12、 n1的行列式，記作 Dn 1 ；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到一個也與Dn 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 n 2的行列式，記作 Dn 2 這樣，就有遞推關(guān)系式：Dn2Dn 1Dn2 因為已將原行列式的結(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個結(jié)果是正確的當(dāng) n 1 時， D1 2 ，結(jié)論正確當(dāng) n2時， D22113 ，結(jié)論正確2設(shè)對 k n 1的情形結(jié)論正確，往證 kn 時結(jié)論也正確由 Dn 2Dn 1Dn 22nn1 n1可知，對 n 階行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立例 5、 2003 年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10 小題要證如下行列式等式：00

13、0100D n01000001n 1n 1證明 ： Dn, 其中（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱 “三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看， 即知 D與 D 具有相同的結(jié)構(gòu)。n-1n因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。證明： Dn 按第 1 列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：Dn（）DD 2n1n這是由 D和 D表示 D 的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n 階逐階往低階遞推，計算n-1n-2n較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和 n-2 階行列式

14、表示 n 階行列式，因此，可考慮將其變形為：D D DD （D D）nn 1n 1n 2n 1n 2或 Dn Dn1 Dn1Dn2（ Dn1 Dn2）現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：D D（DD 2 D 3D ） （D）（D nn 1n 1n 2n 2n 3n 3n 4n22D1）=n2()2()n(1)（D同樣有：Dn Dn1 （Dn123Dn2） （Dn 2Dn3） （Dn3 Dn4）n2D1）=n2()2()n(2)（D2因此當(dāng)時n 1n 1由（ 1）（2）式可解得： Dn，證畢。6利用范德蒙行列式根據(jù)行列式的特點，適當(dāng)變形（利用行列式的性質(zhì)如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加

15、到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或簡單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計算行列式最常用的方法。111例 1x11x21xn1計算行列式 Dx12x1x22x2xn2xnx1n 1x1n 2x2n 1x2n 2xnn 1xnn 2解把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第2 行的 1 倍加到第 3 行，以此類推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式111x1x2xnDx12x22xn2( xi x j )ni j 1x1n 1x2n 1xnn 1a1na1n 1b1a1n 2b12a1b1n 1b1n例 2計算 n1階行列式 Da2n

16、a2n 1b2a2n 2b22a2b2n 1b2n其中 a1a2an 10 ann 1 ann 11bn 1ann 12bn2 1an 1bnn 11bnn 1解 這個行列式的每一行元素的形狀都是an kbk，k 0，1，2， ， n即 a 按降冪排列， biiii按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因 ai0，若在第 i 行（ i1，2， ， n）提出公因子 ain ，則 D可化為一個轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即b12b1n1b1a1a1a12n1b2b2b2n1bib jD a1n a2nanna2a 2a2ainbi a jai bj.1a ji 11 j i n 1 ai1 j i n 1bnb

17、n2bnn1111ananan111xyz例 3計算行列式 Dx2y 2z2.yzxzxy解：(3 ) ( y z)(1)xyzx2y2z2Dxyxzyzy2yzxzyzz2xy(3) x(1)xyzx2y2z2x2xyyzxzy2xyyzxzz2xyyzxz(xyyzxz)( yx)( zx)( zy)111x 1x 2x n例 4計算行列式 D nx 12x 22x n2n2n 2n2x 1x 2x nx 1nx 2nx nn解作如下行列式 , 使之配成范德蒙行列式11x 1x 2x 12x 22P ( y )x 1n2x 2n2x 1n1x 2n1x 1nx 2n易 知 D n等 于 P

18、( y) 中 yn 1n11x nyx n2y 2n=( y xi )(xi x j )x nn2y n2i 11j i nx nn1y n1x nny n的系數(shù)的相反數(shù),而 P( y) 中 y n 1的系數(shù)為nx k( x ix j ),因此 , D nx k( x ix j )k11jink11jin例 5、 計算 n 階行列式(a n 1)n 1(a n 2)n 1( a 1)n 1an 1(a n 1)n 2(a n 2)n 2( a 1)n 2an 2D na n 1a n2a 1a1111解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的

19、類型。先將的第 n 行依次與第 n-1 行， n-2 行， ,2 行， 1 行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第 n-1 行， n-2 行， ,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n 行與第 n-1 行對換，這樣，共經(jīng)過（ n-1）+（n-2） + +2+1=n（n-1 ） /2 次行對換后，得到1111n( n 1)a n 1a n 2a 1aD n (1) 2(a n 1)n 2( a n 2) n 2(a 1)n 2an 2(a n 1)n 1(a n 2) n 1(a 1)n 1an 1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得：n (n1 )n n (1 )D

20、n ( 1) 2( a n i ) ( a n j ) ( 1) 2(i j )1 j i n1ji n7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。它要求： 1 保持原行列式的值不變；2 新行列式的值容易計算。根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分別為 n-1 個元素的倍數(shù)的情況。xa1a2ana1x a2an例 1 計算 n 階行列式 D na1a2ana1a2xan1 aan1a1a 2a n11x000第 i 行減第1 行解： DnDni2, n 1 10x0010

21、0xna ja2an1a1na jj 1xxn0x001x00x0j1000x1a111111a211例 2計算 n（ n 2）階行列式 Dn111 a31，其中 a1a2 an 0 1111 an解先將 Dn 添上一行一列，變成下面的n1階行列式：111101 a111D n 1011 a 21顯然， Dn 1Dn 0111an11111a100將 Dn 1 的第一行乘以 1后加到其余各行，得 D n1101 a 20100a n因 ai 0 ，將上面這個行列式第一列加第 i （ i 2， ， n1）列的 1倍，得：ai11111n111111a100i 1ai0a100Dn Dn 110a

22、2000a20100an000ana100n1 0a20ann11aia1 a21i 1i 1 ai00an8數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)與是同型的行列式時， 可考慮用數(shù)學(xué)歸納法求之。一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值， 再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。 （數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）x10000x100例 1 計算 n 階行列式 Dn000x1anan 1an 2a2 a1x解：用數(shù)學(xué)歸納法 . 當(dāng) n = 2 時， D2x1x(xa1)a2x2a1 xa2a2xa1

23、假設(shè) n = k 時，有Dkxka1 xk 1a2 xk 2ak1 xak則當(dāng) n = k+1 時，把 Dk+1 按第一列展開，得Dk 1 xDk ak 1x( xka1 xk 1ak 1x ak ) ak 1xk 1a1xkak 1 x2ak x ak 1由此，對任意的正整數(shù)n，有 Dnxna1xn 1an2 x2an1xancos1000例 212 cos100.計算行列式012 cos00Dn0002 cos100012cos解： D1cos,D2cos2, 于是猜想Dncosn.證明：對級數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.n 1時, 結(jié)論成立 . 假設(shè)對級數(shù)小于 n 時，結(jié)論成立 . 將 n 級

24、行列式按第 n 行展開，有cos100012 cos100Dn 2 cos Dn 1 ( 1) 2 n 1012 cos000002 cos000011n 12cosD n 1( 1)2 n 1 Dn 22coscos(n1)( 1) 2 n1 cos(n 2).2coscos(n1)cos(n1) cossin( n 1) sincos(n1)cosn例 3 計算行列式解：猜測：證明（1）n = 1, 2, 3 時，命題成立。假設(shè)nk 1 時命題成立 ,考察 n=k 的情形：故命題對一切自然數(shù)n 成立。9拆開法拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原

25、行列式寫成兩行列式之和，把一個復(fù)雜的行列式簡化成兩個較為簡單的。使問題簡化以利計算。a11a 2an例 1計算行列式a1a 22anDna1a2anna1a2an1a2ana1a2an解： Dna1 a22an0 a22an02an1Dn 1a1a2ann00ann0 0na1 2n1 Dn 1 =1 2n 1naii 1i1 x1 y12 x1 y2n x1 yn例2計算 n（ n 2）階行列式 D n1x2 y12x2 y2nx2 yn1 xn y12 xn y2n xn yn解將 Dn 按第一列拆成兩個行列式的和，即12 x1 y2n x1 ynx1 y12 x1 y2n x1 ynDn

26、12 x2 y2nx2 ynx2 y12x2 y2nx2 yn 12 xn y2nxn ynxn y12xn y2nxn yn再將上式等號右端的第一個行列式第i 列（ i2，3， ， n）減去第一列的 i 倍；第二個行列式提出第一列的公因子y1 ，則可得到1x1 y2x1 ynx12 x1 y2n x1 yn1x1x1x12n1x2 y2x2 ynx22x2 y2nx2 yn1x2x2x22nDny1y2 yny1.1xn y2xn ynxn2xn y2nxn yn1xnxnxn2n當(dāng) n 3 時， Dn0 當(dāng) n2 時， D2x2x1y22 y1 xaaaaxaa例3計算 n 階行列式Dnaaxa，（ a0 ）aaax解將第一行的元素都表成兩項的和，使Dn 變成兩個行列式的和，即x a a 0 a 0 a0 ax a 000aa aaaxaaaxaaa x aaDnaaxaaa xaa a xa .aaaxaa axa aaxxa000將等號右端的第一個行列式按第一行展開，得：axaaaaxaxaDn 1aaax這里 Dn 1 是一個與 Dn 有相同結(jié)構(gòu)的 n1階行列式；將第二個行列式的第一行加到其余各行，得：aaaaaaaaaxaa0xa2a2an