第五章-定積分.

1、高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第五章定積分系專業(yè)班姓名學(xué)號第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)一、選擇題：12221、 lim ln n2n= B111nnnn22xdx（B） 22（ C）22 (1 x)dx2x) dx（ A ） lnln xdxln（ D ） 2 ln(111112、設(shè)函數(shù)f (x) 在 a,b 上連續(xù)，則曲線y f ( x) 與直線 x a, xb, y 0 所圍成的平面圖形的面積等于Cbbb（ A ）f ( x)dx（ B ） f (x) dx（ C）aaa1x4dx，則 I3、設(shè)定積分 I的值01 x（A） 021I1（ C）I（B ）25f ( x) dx（D ） f ()(ba) ( ab

2、)A21I 1I（ D）1054、設(shè) I14xdx ， I 24xdx ， I 34 sin xdx ，則D 000（A） I1I 2I 3（B）I3 I1 I2（C） I1 I3 I2（D）I2 I1I 3二、填空題：1、利用定積分的幾何意義，填寫下列定積分的結(jié)果：（ 1）24 x2 dx =（ 2）sin xdx =0020（ 3）2cosxdx=2cos xdx（ ）( x1)dx =404222、利用定積分的性質(zhì)，填寫下列各題：（1） 64x2 )dx513x arctanxdx2(1（ 2）119333、利用定積分的性質(zhì)，比較下列各題兩各積分的大?。ㄌ顚懟颍?2 dx13dx2ln

3、xdx22 dx（ 1）xx（2）1(ln x)00111( x1)dx3 1x 2 dx2 3 1sin 2 xdx（ 3）ex dx0（ 4）2000三、計算題：1、用定積分表示極限lim (nnnn2222222 )nn1n2n3nnn1111arctan10解：原式 = lim2 dx0nk 1n 1 ( k )21 x4n2、利用定積分定義計算有拋物線yx21，兩直線 xa , xb (ab) 及 x 軸所圍成的圖形的面積。解：由定積分的幾何意義，所求的面積為Ab(x21)dxa對區(qū)間 a，b進(jìn)行 n 等分，則xbaxia(ba)in，取 inb(x2n2故 A1)dxlim(i1)

4、xiani 1n(ba) i )2balim( a1ni 1nnban a22a(ba) i(ba)22lim( ba)ii1n2nnnlim( ba)ba22a(ba) n(n1)(ba)2n(n 1)(2n1)na2nnn2n6(ba)(b2a(ba)(ba)2a) a3(ba)b3a33四、證明題：設(shè) f ( x) 在 a， b 上連續(xù)， f ( x)0 ，且bf ( x)0 ，則在 a， b上 f ( x)0a證：（用反證法）設(shè)在 a，b 上 f ( x)0 。由于 f ( x) 0 ，則至少有一點x0使得 f (x0 )0 ，因為 f ( x) 在 a， b上連續(xù)，這時，存在 U (

5、 x0 ,) ,(0) ，有 f (x)0 ( xU (x0 ,)bx0x0f (x)dxbf ( x)f ( x)dxx0f ( x)dxaax0x00 ，f ( x)dx矛盾。x0所以，在 a，b上 f (x)0高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第五章定積分系專業(yè)班姓名學(xué)號第二節(jié)微積分基本公式一、選擇題：xxsin x ，則 f (x) =1、設(shè)f ( x)dxA 0（ A ）sin x x cos x（ B）sin xx cos x（C）x cos x sin x（D ） sin xx cos x2、 limx 3x=x 0sin 2 tdt0（A）1（ B）23、設(shè) x sin x是 f ( x) 的一個

6、原函數(shù)，則（ A ） sin1cos1（B ） sin 14、設(shè) f ( x)x) =sin tdt ，則 f f (021（ A ）（B）15、設(shè) f ( x) 在 (,d) 內(nèi)連續(xù)，則dx（ A） f ( x2 )（ B） 2xf ( x2 )二、填空題：1、 dbsin btdt =02eatdxa3、 dx 21 t dt = 2 x 1 x 24dx0C（C）3（D）41f ( x) dx =B0（C）1sin 1（D）1cos1D（C）cos1（D） 1cos1x 2f (t)dt =B0（ C） f ( x 2 )（ D） 2xf( x2 )1(2x k) dx2 ，則 k =1

7、、若0d02022 x24x2 x costdt=、 dxx2 costdtcos(x )txdycosxcosxy5、設(shè) e dtcostdt0 確定了 yy( x) ，則=y0dxe1 sin x6、設(shè) f ( x)xcos3t) dt 在 xa = 2( a cost處取得極值，則03x3117、設(shè) f ( x) 為連續(xù)函數(shù)且滿足f (t )dtx ，則 f (7)120三、計算題：1、設(shè)解：f ( x)x2t21t20edtedt ，求 f (x)xf ( x)2 xex 4e x22、設(shè) f ( x)x3dtdf (x)3、9x (1x) dx，求x2dx41t 4解： f ( x)

8、3x212 x199xdx1解：原式 =xdxx121x8443 x22 x223x291 x121 x8=3 x2 4=27160 3x 43x21dx54dx64 dx =204、1x215、2x2 x0003x2( x21) 125解：原式 =1x21dx解：原式 =( 42 x)dx( 2x4)dx0201 2 )dx= 4x x2 02x 24 x25= (3x211x= x3arctan x01= 4913= 14x et 22dt6、sin xsin 3 xdx7、 lim0x20x 0te2t dt02ex2 x et2dt解：原式 =| cosx |sin xdx解：原式 =

9、 lim00x2x0xext 2dt2e=2 cosxsin xdxcosx sin xdx= lim02x00x 0xe22323x= lim2ex2= sin2 x02sin22ex2332x 0 2 x2ex=224= 23338、設(shè) f ( x)x1 ,( x1)22，求f (x)dx2x1 ,( x1)02f ( x)dx1f ( x )dx2解：0f ( x)dx1112( 2x21)dx= ( x 1)dx10x21232= x0xx12331=6高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第五章定積分系專業(yè)班姓名學(xué)號第三節(jié)定積分的換元法一、選擇題：1、設(shè) f ( x) 為 a, a 上的連續(xù)函數(shù)，則定積分a

10、x)dx =f (Da（B） 2aaf( x)dxa（A）0f ( x)dx（ C）a（D ）f (x)dx0a2、設(shè) f ( x) 是連續(xù)函數(shù)，則bbbx) dx =f ( x) dxf (aAaa（ C） a bb（A）0（B）1（ D）f ( x)dxa3、設(shè) f ( x) 在區(qū)間 0, l 2 上連續(xù)，則函數(shù) F (x)xl , l ) 上是Btf (t 2 )dt 在區(qū)間 (0（ A ）奇函數(shù)（ B ）偶函數(shù)（C）既奇既偶函數(shù)（ D ）非奇非偶函數(shù)xf (t)dtx441D4、設(shè)2，則f ( x )dx00x（A）2（ B）4（ C）8（D）16二、填空題：01)99 dx =12、

11、 2 sincos3d11、1 (2x=2200043、1dx=14、11dx =5 4xx (1210x)三、計算題：1dxe2dx1、2、2 (115x)3x1ln x1113e2d(1ln x)11) d(5x 11)解：原式 =(5x解：原式 =x 1ln x521=1 (5 x 11) 2 1 2= 2 1 ln x 1e21051= 232=5123、2 cos2 udu6解：原式 =12 (1 cos2u)du26=1 1 sin2uu2226=13 2341 xdx5、154x解：解:令54 xt, x5 t2,4dxt dt. 當(dāng) x1時， t3;2當(dāng) x1時， t1. 于是

12、，54t 2原式 =1tdt3t213t2)dt=(581= 1 5t1 t3 13831=64、(1sin 3) d0解：原式 =d20(1 cos )d cos0=coscos330=43a2a 2x2 dx6、x0解：令 xa sint,dxa costdt,當(dāng) x 0時， t0;當(dāng) xa 時， t,2于是，原式 =02 a2 sin2 t a 2 cos2 tdta422=sin (2t)dt40= a42 (1cos4t )dt80a4tsin4t 2=084a 4=16四、若 f (x) 是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明xf (t )dt 是偶函數(shù)。0證：記 F ( x)xf (t)dt

13、, 則0F ( x)xxu)d(u)xF ( x).f ( t)dtf (f (u)du000命題得證。五、設(shè) f (x) 是以 l 為周期的連續(xù)函數(shù)，證明alaf ( x)dx 的值與 a 無關(guān)。a l0la l證：方法一，f ( x)dxf ( x)dxf ( x)dxf ( x)dxaa0lalx t lal )dtaa0其中f ( x)dxf ( tf (t)dtf ( x)dxf ( x)dx ,l000aal0f ( x)dxlal于是f ( x)dxaf ( x)dxf ( x)dxa0l0lf ( x)dx0=f ( x)dxf ( x )dxa0al= f ( x)dx, 與

14、 a 無關(guān)。命題得證。0方法二，記 F ( a)a l(),那么， F (a) f ( a l ) f (a ) 0,fdxxaa la 無關(guān)，命題得證。因此，(a)f( )的值與Fx dxa高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第五章定積分系專業(yè)班姓名學(xué)號第三節(jié)分部積分法一、選擇題：1、 4x8 sin xdx =C4（A）1（ B）2（C）0（D） 24 x8 sin xdx0e ln xdxB2、x1e(A) 1(B)1(C) 02(D)2二、填空題：4x6e dx = 21、20e1=12、arcsinxdx023、設(shè) f ( x) 為連續(xù)函數(shù)且滿足f ( x)ln x 2xe2xf (x)dx ，則 f (

15、 x) ln xe214、已知 f (0) 2 ， f ( 2)3 ， f (2)4 ，則2( x) dx = 7xf0三、計算下列定積分：1、(x32x1) cosxdx解：原式 =( x32x)cos xdxcosxdx=( x32 x)cosxdx 2cosxdx0= 2 cosxdx0= 0x2、3dx4 sin 2 x解：原式 =3 xd cot x x cot x33cot xdx3lnsin x 34444943 1 3ln492223、x log 2xdx1解：原式=12212212x2dx2log2xdxxlog2x1x ln 21221= 212xdx2ln 21= 21x

16、 2 |12234 ln 24 ln 214、x arctanxdx0解：原式=11212111x220arctan xdx2xarctan x020 1x2dx=11(11)dx8201x211111= 82 0 dx2 0 1x2 dx=1421x 2 )m dx（ m 為自然數(shù)）5、(10解：令 xsin t, 則 dxcostdt, 且當(dāng) x0 時， t0; 當(dāng) x1時， t.2于是，原式 =02 cos(2 m1) tdt02 sin( 2 m 1) tdt=2m2m2422m12m 153高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第五章定積分系專業(yè)班姓名學(xué)號第四節(jié)反常積分一、選擇題 ：1、下列反常積分發(fā)散的有

17、ln x dxC（ A ）dx（ B）1dx（ C）（ D）e x dx0 1 x 20 1x 2ex02、下列反常積分收斂的有D1dx（ B ）1 dx（ C）1 ln x1dx（ A ）x0 x2dx（ D）x00x0二、填空題、1、若反常積分dx收斂，則 k1,2x(ln x)k1ax2、設(shè) lim 1adt ，則 atet2x x三、判定下列各反常積分的收斂性，如果收斂，計算反常積分的值：dx1、x41解：原式 = limt4dt111xlim(t31).t13 t32、e ax dx（ a0 ）0解：原式 = limtaxdx1lim( e at1)1.et0a ta2 xdx3、1

18、 x 1解：原式 = lim2xdxlim2 x1122ttdxlimx 1dxt1x1t1x1t 1tt23t21t28= lim( x1) 2lim 2x.t 13t131dxx 1四、證明題不等式11e x2dx 11e02e證明：因為0e x 2dx1ex 2dxe x2dx, 所以011e x dxe x2dx1e0dx1xe x2dx.000而1exdx110xex 2101;e dxdx1.e012e故 110e x2dx11 。e2e命題得證高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第五章定積分系專業(yè)班姓名學(xué)號綜合練習(xí)一、選擇題：1、設(shè) M2 nsix2cos 4 xdx ，N2(sin 3 x cos4x) dx ，P2( x2 sin3 xcos4x)dx ，2 1x22則有D（A）N P M（B）M P N（C）N M P（D）P M N5 x sin tsin x12、設(shè)( x)， (x)t ) t dt ，則當(dāng) x0時，(x) 是 (x) 的 C0tdt0(1（ A ）高階無窮?。?B）低階無窮?。?C）同階但不等價的無窮小（D ）等價無窮小dxt )dt ，則 f ( x)A3、若 f ( x) =cos( x（ A ） cos xdx0（ B ） 2 cos x1cos x（D）1cos x（ C）4、設(shè) F ( x)xxBxaf (t)dt