第1講：數(shù)形結(jié)合法與數(shù)學(xué)建模思想(初三)

1、 第1講：數(shù)形結(jié)合法與數(shù)學(xué)建模思想 （ 8份）1 數(shù)形結(jié)合法：是數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，特點(diǎn)是通過幾何圖形、函數(shù)圖像更直觀的展示位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；求解這類問題的關(guān)鍵是把“形”、“數(shù)”相結(jié)合與相互轉(zhuǎn)化。在初中學(xué)習(xí)范圍內(nèi)十分重要，它為高中、大學(xué)等后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，也是中考每年必考的一種思想方法，涉及的題型、題量的分值配備高達(dá)30多分。2 數(shù)學(xué)建模：是初中數(shù)學(xué)中解決一些同類變式題型的基本方法，廣泛應(yīng)用于三角函數(shù)、列方程解應(yīng)用題、相似三角形、圖形變換等知識(shí)，加強(qiáng)對(duì)常見數(shù)學(xué)模型的識(shí)記，有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)歸類，增強(qiáng)識(shí)圖與應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。3 數(shù)形結(jié)合法在初中范圍內(nèi)的運(yùn)用 1、代數(shù)問題通過構(gòu)造幾

2、何圖形給予解決【例1】當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是 ；【例2】已知，,且恒成立，則的最小值等于 【例3】請(qǐng)計(jì)算：（1）、tan= (2)、sin= 【例4】如圖,為線段上一動(dòng)點(diǎn),分別過點(diǎn)、作，連接、，已知,設(shè)。(1)用含的代數(shù)式表示的長；(2)請(qǐng)問點(diǎn)滿足什么條件時(shí), 的值最小?EDCBA(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論,請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值. 變式議練一：1、若，且，則有理數(shù)，的大小關(guān)系是 ；2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),當(dāng)m= 時(shí)，CA+CB有最小值。3、4、函數(shù)的最小值是 2、幾何問題的代數(shù)解法【例5】將邊長分別為2、3、5的三個(gè)

3、正方形按如圖方式排列，則圖中陰影部分的面積為 【例6】是的內(nèi)切圓，與邊、的切點(diǎn)分別為、，,，,則 ， ， 。 變式議練二：1、的斜邊為13，面積為30，則兩直角邊的和等于 。2、已知AB是半徑為1的的弦，AB的長是方程：的一個(gè)根，則AOB的度數(shù)是 。3 在平面直角坐標(biāo)系中的廣泛運(yùn)用【例7】（黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸，軸的正半軸上，且滿足（1）求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，連結(jié)設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍【例8】已知點(diǎn)A,C都在雙曲線：上，點(diǎn)B,D都在x軸上，AOB,BCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D

4、 的坐標(biāo)是 變式議練三：關(guān)于x的方程：有且只有兩個(gè)不同實(shí)根，則a的取值范圍是 4 初中數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)模型及其運(yùn)用 基本模型1：等腰三角形中，為底邊上任意一點(diǎn)，。結(jié)論：證明思路：（1）面積恒等法 （2）截長補(bǔ)短法【例9】在中，AB=AC，CGBA交BA的延長線于點(diǎn)G，一等腰直角三角形按如圖所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B。（1）在圖中請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，讓后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到如圖位置時(shí)，一條仍與AC在一條直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEBA于點(diǎn)

5、E，此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長度,猜想并寫出DE、DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，讓后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到如圖所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否成立？ 變式練習(xí)四：1、等邊三角形邊長為4，則該三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為 。2、如圖：在矩形中，已知，是邊上任意一點(diǎn)，于，于，那么的值為 ；基本模型2：“”型，“”型，斜射影模型若： 若： 若：則： ； 則： ； 則： ；【例10】（重慶）如圖：正方形中，是延長線上的一點(diǎn)，交于，交對(duì)角線于，如，。求的長。【例11】如圖：在RtABC中，C=90，B

6、E平分ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上， DEEB。 （1）求證：AC是BDE的外接圓的切線； （2）若AD=6，AE=，求BC的長； 變式練習(xí)五：如圖，平行四邊形中，、是的三等分點(diǎn)，延長線交于，延長線交于，則 ； 基本模型3：【例12】已知如圖，正方形與正方形邊長均為。是正方形的中心，正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求兩個(gè)正方形重疊部分（圖中陰影）的面積。結(jié)論：1、；2、陰影正方形 變式練習(xí)六：1、（變換基本圖形中一個(gè)）把正方形換成足夠大的矩形，圓心角為的扇形，直角三角形時(shí)，上述結(jié)論仍然成立。2（德州中考題）如圖：已知中，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)、，給出以下五個(gè)結(jié)論：、；、；、是等腰直角三角形

7、；、；、四邊形AEPF；當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)（不與、重合），上述結(jié)論中始終正確的是（ ）、 、 、 、 基本模型4：【例13】如圖，、兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，分別到河的距離為，且，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向、兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米萬元，請(qǐng)你在河流上選擇水廠的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？變式練習(xí)七：1、（黃岡）如圖：為的直徑，點(diǎn)在上，為 的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）、 、 、 、2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是第一、三象限的角平分線。（1）實(shí)驗(yàn)與探究：由圖觀察易知（0，2）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明（5，3），（，）關(guān)于直線的對(duì)稱

8、點(diǎn)、的位置，并寫出他們的坐標(biāo)： 、 ；（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖形觀察以上點(diǎn)的坐標(biāo)特征你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)（，）關(guān)于第一、三象限的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；（3）運(yùn)用與拓廣：已知兩點(diǎn)（，）、（，），試在直線上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo) 中考加油站-家庭作業(yè)（1） 科目： 數(shù)學(xué) 姓名： 家長簽字： 1、如圖：把沿著PQ的方向平移到的位置，它們重疊部分的面積是面積的一半，若，則此三角形移動(dòng)的距離是（ ）A、 B、 C、1 D、2、如圖：以邊長為1的正方形的頂點(diǎn)為圓心，為半徑的弧交對(duì)角線于點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則 ；3、如圖：為正方形的邊上一點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于