6.從不等式sinx＜x＜tanx到函數(shù)f(x)=sinx／x

1、中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號(hào))從不等式sinxxtanx到函數(shù)f(x)=一類(lèi)三角函數(shù)試題的母題 當(dāng)0<x<時(shí),sinx<x<tanx,這是一個(gè)重要不等式,它是三角函數(shù)微積分的基礎(chǔ),由該不等式到函數(shù)f(x)=的性質(zhì)是高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn).母題結(jié)構(gòu):己知函數(shù)f(x)=,則:()f(x)的定義域?yàn)?-,0)(0,+),值域?yàn)?cosx0,1),其中,x0(,),且tanx0=x0;f(x)是偶函數(shù);當(dāng)x>0時(shí),f(x)的極大值點(diǎn)x0滿(mǎn)足:x0(2k,2k+)(kN+),且tanx0=x0,f(x)的極大值=cosx0;f(x) 的極小值點(diǎn)x0滿(mǎn)足:x0(2

2、k-1),(2k-1)+),且tanx0=x0,f(x)的極小值=cosx0;f(x)的圖像在y=與y=-之間;()當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,值域?yàn)?,1);(Jordan不等式)x<sinx<x;tanx+sinx>2x;<f(x)<(其中,-1a2,b-).母題解析:()由f(x)=(x0)(x)=;令(x0)=0tanx0=x0f(x0)=cosx0;由y=tanx與y=x的圖像知,當(dāng)x0(2k,2k+)時(shí),f(x0)是f(x)的極大值;當(dāng)x0(2k-1),(2k-1)+)時(shí),f(x0)是f(x)的極小值;由|f(x)|=|f(x)的圖像在y=與y=

3、-之間;()當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)單調(diào)遞減f(x)的值域?yàn)?,1)<<1x<sinx<x;設(shè)g(x)=sinx+asinxcosx-(a+1)xcosx,則(x)=1-(a-1)cosx(1-cosx)+(a+1)(x-sinx)sinx>0g(x)>g(0)=0<f(x),令a=1得:tanx+sinx>2x;設(shè)h(x)=sinx+bsinxcosx-(b+1)x(x)=2bcosx+(2b+1)(cosx-1)<0g(x)<g(0)=0f(x)<. 1.關(guān)注于f(x)產(chǎn)生的不等式 子題類(lèi)型:(2013年遼寧高考試題)()證

4、明:當(dāng)x0,1時(shí),xsinxx;()若不等式ax+x2+2(x+2)cosx4對(duì)x0,1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析:()當(dāng)x=0時(shí),xsinxx成立;當(dāng)x(0,1時(shí),由f(x)單調(diào)遞減<f()<f(1)f(x)<1x<sinx<x;()當(dāng)x0,1時(shí),ax+x2+2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2(a+2)x+x2+-4(x+2)(x)2=(a+2)x,所以,當(dāng)a-2時(shí),不等式ax+x2+2(x+2)cosx4對(duì)x0,1恒成立;下面證明:當(dāng)a>-2時(shí),不等式ax+x2+2(x+2)cosx4對(duì)x0,1不恒成立;因?yàn)楫?dāng)x0

5、,1時(shí),ax+x2+2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2(a+2)x+x2+-4(x+2)()2=(a+2)x-x2-(a+2)x-x2=-xx-(a+2)存在x0(0,1)(例如x0取和中的較小值)滿(mǎn)足ax0+x02+2(x0+2)cosx0-4>0即當(dāng)a>-2時(shí),不等式ax+x2+2(x+2)cosx4對(duì)x0,1不恒成立.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-2.點(diǎn)評(píng):由f(x)的圖像以及不等式:<f(x)<(其中,-1a2,b-)可產(chǎn)生許多不等式,這些不等式將是高考命題的出發(fā)點(diǎn). 2.著意于f(x)的值域 子題類(lèi)型:(2014年北京高考試

6、題)已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x0,.()求證:f(x)0;()若a<<b在(0,)上恒成立,求a的最大值與b的最小值.解析:()由f(x)=xcosx-sinx(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0f(x)在0,內(nèi)單調(diào)遞減f(x)f(0)=0;()當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)的值域?yàn)?,1)a的最大值=,b的最小值=1.點(diǎn)評(píng):本題的第()問(wèn)的本質(zhì)是求f(x)=的值域:由f(x)在(0,)上遞減f(x)>f()=;由ainx<xf(x)<1f(x)的值域?yàn)?,1). 3.探究f(x)的極值點(diǎn) 子題類(lèi)型:(2005年天津高考試題)設(shè)

7、函數(shù)f(x)=xsinx(xR).()證明:f(x+2k)-f(x)=2ksinx,其中k為整數(shù);()設(shè)x0為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),證明:f(x0)2=;()設(shè)f(x)在(0,+)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列a1,a2,an,證明:<an+1-an<(n=1,2,).解析:()由f(x)=xsinxf(x+2k)-f(x)=(x+2k)sin(x+2k)-xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2ksinx;()由(x)=sinx+xcosx=0(x0)=0tanx0=-x0f(x0)2=x02sin2x0=x02=x02=;()由x0>0,tanx0=-x0存在

8、一個(gè)非負(fù)整數(shù)k,使k+<x0<k(x)=cosx(tanx+x)的符號(hào)如表:所以滿(mǎn)足(x)=0的正根x0都為f(x)的極值點(diǎn)a1,a2,an,為tanx=-x的全部正實(shí)數(shù)根且滿(mǎn)足a1<a2<<an<an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an);由(n-1)+<an<nn+<an+1<(n+1)<an+1-an<由tanan+1tanan>0tan(an+1-an)<0<an+1-an<.點(diǎn)評(píng):函數(shù)f(x)=的極值點(diǎn)x0tanx0=x0;

9、函數(shù)f(x)=xsinx的極值點(diǎn)x0tanx0=-x0;探究方程tanx0=x0根的性質(zhì)是高考的一個(gè)命題方向. 4.子題系列:1.(第15屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克)設(shè)0<x<,求證:<.2.(1992年第三屆希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二試題)設(shè)0<x<,求證:()sinx>x-;()sinxx-.3.(2014年江蘇高考試題)已知函數(shù)f0(x)=(x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù),nN*.()求2f1()+f2()的值;()證明:對(duì)任意的nN*,等式|nfn-1()+fn()|=成立.4.(2012年福建高考試題)已知函數(shù)f(x)=axsinx-(

10、aR),且在0,上的最大值為.()求函數(shù)f(x)的解析式;()判斷函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).并加以證明. 5.子題詳解:1.解:由<>2x;=tan>=2x.2.解:()由sinx=2sincos=2tancos2=2tan(1-ain2)>21-()2=x-;()由sinx=sin3=3sin-4sin3=3(3sin-4sin3)-4sin3=32sin-4(sin3+3sin3)=32(3sin-4sin3)-4(sin3+3sin3)=33sin-4(sin3+3sin3+32sin3)=3nsin-4(sin3+3sin3+32sin3+3n-1si

11、n3);由sinx>x-及sinx<xsin>-,sin3<()3=(k=1,2,n)sinx>3n(-)-4(+3+32+3n-1)=x-(1+)=x-x-.3.解:令由f0(x)=f1(x)=0(x)=-f2(x)=1(x)=-+2f1()+f2()=-1;()由f0(x)=xf0(x)=sinx,等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)得:f0(x)+x0(x)=cosxf0(x)+xf1(x)=cos(x+)2f1(x)+xf2(x)=sin(x+2);下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+);當(dāng)n=1時(shí),由上可知等式成立;假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成

12、立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin(x+),等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)得:(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=cos(x+)=sinx+當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.綜合可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+)對(duì)所有的nN*都成立;令x=得:nfn-1()+xfn()=sin(+)|nfn-1()+fn()|=.4.解:()由f(x)=axsinx-(x)=a(sinx+xcosx),當(dāng)x(0,)時(shí),sinx+xcosx>0;當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-,不合題意;當(dāng)a<0時(shí),(x)<0fmax(x)=f(0)=-,不合題意;當(dāng)a>0時(shí),(x)>0fmax(x)=f()=-=a=1f(x)=xsinx-;()由(x)=si