組合透鏡成像

1、§1.5、透鏡成像1.薄透鏡成像公式是：式中f、u、v的正負(fù)仍遵循“實(shí)正、虛負(fù)”的法則。2.組合透鏡成像uv圖1-5-4如果由焦距分別為和的A、B兩片薄透鏡構(gòu)成一個(gè)透鏡組（共主軸）將一個(gè)點(diǎn)光源S放在主軸上距透鏡u處，在透鏡另一側(cè)距透鏡v處成一像（圖1-5-4）所示。對(duì)這一成像結(jié)果，可以從以下兩個(gè)不同的角度來考慮。因?yàn)锳、B都是薄透鏡，所以互相靠攏地放在一起仍可看成一個(gè)薄透鏡。設(shè)這個(gè)組合透鏡的焦距是f，則應(yīng)有 另一個(gè)考慮角度可認(rèn)為是S經(jīng)A、B兩個(gè)透鏡依次成像的結(jié)果。如S經(jīng)A后成像，設(shè)位于A右側(cè)距A為處，應(yīng)有 因?yàn)槲挥谕哥RB右側(cè)處，對(duì)B為一虛物，物距為，再經(jīng)B成像 ，所以 由、可解得 比

2、較、兩式可知如果A、B中有凹透鏡，只要取負(fù)的或代入即可。3.光學(xué)儀器的放大率實(shí)像光學(xué)儀器的放大率 幻燈下、照相機(jī)都是常見的實(shí)像光學(xué)儀器。由于此類儀器獲得的是物體的實(shí)像，因而放大率m一般是指所有成實(shí)像的長(zhǎng)度放大率，即v=mu。如果有一幻燈機(jī)，當(dāng)幻燈片與銀幕相距2.5m時(shí)，可在銀幕上得到放大率為24的像；若想得到放大率為40的像，那么，假設(shè)幻燈片不動(dòng)，鏡頭和銀幕應(yīng)分別移動(dòng)多少？根據(jù)第一次放映可知可解得 ，第二次放映可解得 ，比較和，可知鏡頭縮回1.6mm；比較和，可知銀幕應(yīng)移遠(yuǎn)1.54m。虛像光學(xué)儀器的放大率 望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡是常見的虛像光學(xué)儀器。由于此類儀器得到的是物體的虛像，目的是擴(kuò)大觀察的視角

3、，因此放大率m一般是指視角放大率。如果直接觀察物體的視角為，用儀器觀察物體的視角為，那么m=/dL圖1-5-5先看顯微鏡的放大率。如果有一臺(tái)顯微鏡，物鏡焦距為，目鏡焦距為，鏡筒長(zhǎng)L，若最后的像成在離目鏡d處，試證明顯微鏡的放大率。顯微鏡的光路如圖1-5-5所示，AB經(jīng)物鏡成一放大實(shí)像，物鏡的長(zhǎng)度放大率因、相對(duì)L都較小，而且B很靠近，所以，即 位于目鏡的焦點(diǎn)內(nèi)，經(jīng)目鏡成一放大的虛像（通常讓成在觀察者的明視距離d上）。因?yàn)槎际墙S光線，所以此時(shí)觀察者從目鏡中看到的視角為若觀察者不用顯微鏡，直接觀看AB的視角為則顯微鏡的放大率m不難看出目鏡的長(zhǎng)度放大率為所以有 sf1f2圖1-5-6下面再看天文望遠(yuǎn)

4、鏡的放大率，如果天文望遠(yuǎn)鏡的物鏡焦距為，目鏡焦距為，試證明天文望遠(yuǎn)鏡的放大率 。望遠(yuǎn)鏡成像光路如圖1-5-6所示，遠(yuǎn)處物體AB由物鏡成像，然后再由目鏡在遠(yuǎn)處成一虛像（圖中未畫出），觀察者觀察的視角即為圖中的，。若不用望遠(yuǎn)鏡，觀察者直接觀察距望遠(yuǎn)鏡S遠(yuǎn)處的物體AB的視角，近似為圖中的因此望遠(yuǎn)鏡的放大率m為 ufv圖1-5-7圖1-5-8圖1-5-94.常見的光學(xué)儀器投影儀器 電影機(jī)、幻燈機(jī)、印相放大機(jī)以及繪圖用的投影儀等，都屬于投影儀器，它的主要部分是一個(gè)會(huì)聚的投影鏡頭，將畫片成放大的實(shí)像于屏幕上，如圖1-5-7。由于物距u略大于焦距f，畫片總在物方焦平面附近，像距»f，放大率，它與像

5、距v成正比。一光學(xué)系統(tǒng)如圖1-5-8所示，A為物平面，垂直于光軸，L為會(huì)聚透鏡，M與光軸成45°角的平面鏡。P為像面，垂直于經(jīng)平面鏡反射后的光軸。設(shè)物為A面上的一個(gè)“上”字，試在圖1-5-9中實(shí)像面P上畫出像的形狀。 眼睛 眼睛是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的天然光學(xué)儀器。從結(jié)構(gòu)上看，類似于照像機(jī)，圖1-5-10為眼球在水平方向的剖面圖。其中布滿視覺神經(jīng)的網(wǎng)膜，相當(dāng)于照像機(jī)中的感光底片，虹膜相當(dāng)于照像機(jī)中的可變光闌，它中間的圓孔稱為瞳孔。眼球中的晶狀體是一個(gè)折射率不均勻的透鏡，包在眼球外面的堅(jiān)韌HH圖1-5-10的膜，最前面的透明部分稱為角膜，其余部分為鞏膜。角膜與晶狀體之間的部分稱為前房，其中充滿

6、水狀液。晶狀體與網(wǎng)膜之間眼球的內(nèi)腔，稱為后房，其中充滿玻璃狀液。所以，眼睛是一個(gè)物、像方介質(zhì)折射率不等的例子。聚焦光無窮遠(yuǎn)時(shí)，物焦距f=17.1mm，像方焦距f=22.8。眼睛是通過改變晶狀體的曲率（焦距）來調(diào)節(jié)聚焦的距離。眼睛肌肉完全松弛和最緊張時(shí)所能清楚看到的點(diǎn)，分別稱為它調(diào)節(jié)范圍的遠(yuǎn)點(diǎn)和近點(diǎn)。正常眼睛的遠(yuǎn)點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)。近視眼的眼球過長(zhǎng)，無窮遠(yuǎn)的物體成像在網(wǎng)膜之前，它的遠(yuǎn)點(diǎn)在有限遠(yuǎn)的位置。遠(yuǎn)視眼的眼球過短，無窮遠(yuǎn)的物體成像在網(wǎng)膜之后（虛物點(diǎn)）。矯正近視眼和遠(yuǎn)視的眼鏡應(yīng)分別是凹透鏡和凸透圖1-5-11鏡。所謂散光，是由于眼球在不同方向的平面內(nèi)曲率不同引起的，它需要非球面透鏡來矯正。視角、視角放

7、大 物體的兩端對(duì)人眼光心所張的角度叫做視角，視角的大小跟物體的尺寸及物體到人眼的距離有關(guān)。當(dāng)兩物點(diǎn)（或同一物體上的兩點(diǎn)）對(duì)人眼視角大小（約）時(shí)，才能被人眼區(qū)分。在看小物體時(shí)，為了增大視角就要縮短物眼間距離，但當(dāng)其小于人眼近點(diǎn)距離時(shí)，視網(wǎng)膜上所成的像反而模糊不清。為此，必須使用光學(xué)儀器來增大視角。圖1-5-11是人眼（E）通過放大鏡觀察物體AB的像，當(dāng)人眼靠近光心時(shí)視角。圖1-5-12若物體很靠近焦點(diǎn)，且成像于明視距離，則： ，若不用放大鏡將物體置于明視距離，如圖1-5-12，BE=25cm，則視角：把用光學(xué)儀器觀察虛像所得視角與將物體放在虛像位置上直接觀察的視角的比值叫做光學(xué)儀器的視角放大率。

8、用表示視角放大率，即有圖1-5-13對(duì)于放大鏡，有 。顯微鏡 圖1-5-13是顯微鏡成像原理圖。被觀察物體AB置于物鏡焦點(diǎn)外很靠近焦點(diǎn)處，（），成放大實(shí)像于目鏡焦點(diǎn)內(nèi)靠近焦點(diǎn)處（），眼睛靠近目鏡的光心可觀察到位于明視距離的虛像顯微鏡的物鏡視角放大率 未在圖中畫出。目鏡放大率： 未在圖中畫出。顯微鏡的視角放大率：式中L是鏡筒長(zhǎng)度。由于«L，因此在計(jì)算放大率時(shí)用L代表物鏡像距。通常顯微鏡焦距很小，多為mm數(shù)量級(jí)，明鏡焦距稍長(zhǎng)，但一般也在2cm以內(nèi)。圖1-5-14圖1-5-15望遠(yuǎn)鏡 望遠(yuǎn)鏡用于觀察大而遠(yuǎn)的物體，如圖1-5-14，圖1-5-15分別表示開普勒望遠(yuǎn)鏡和伽利略望遠(yuǎn)鏡的光路圖。兩

9、種望遠(yuǎn)鏡都是用焦距較長(zhǎng)的凸透鏡做物鏡。遠(yuǎn)處物體從同點(diǎn)發(fā)出的光線可近似為平行光，因此將在物鏡的焦平面上成一實(shí)像。開普勒望遠(yuǎn)鏡的目鏡也是凸透鏡，其焦距較短，物方焦平面和物鏡的像方焦平面幾乎重合。結(jié)果，以為物，在無窮遠(yuǎn)處得到虛像。而伽利略望遠(yuǎn)鏡的目鏡則是凹透鏡，當(dāng)它的物方焦平面（在右側(cè)）與物鏡的像方焦平面重合時(shí)，實(shí)像卻成了虛物，經(jīng)凹透鏡折射成像于無窮遠(yuǎn)處。由圖中看出伽利略望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是正立的，可用于觀察地面物體，而開普勒望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是倒立的，只適合作為天文望遠(yuǎn)鏡。從圖中的幾何關(guān)系還可看出兩種望遠(yuǎn)鏡的視角放大率均為：還有一類望遠(yuǎn)鏡的物鏡是凹面鏡，稱為反射式望遠(yuǎn)鏡。大型的天文望遠(yuǎn)鏡都是反射式望遠(yuǎn)

10、鏡。圖1-5-22例4、焦距均為f的二凸透鏡、與兩個(gè)圓形平面反射鏡、放置如圖1-5-22。二透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過二平面鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點(diǎn)光源O。1、畫出由光源向右的一條光線OA（如圖1-5-22所示）在此光學(xué)系統(tǒng)中的光路。2、分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（O點(diǎn)除外）形成光源O圖1-5-23PQ的能看到的像，哪些是實(shí)像？哪些是虛像。3、現(xiàn)在用不透明板把和的下半部（包括透鏡中心）都遮住，說出這些像有什么變化。解: 1、光線OA的第一次往返光路如圖1-5-23所示。當(dāng)光線由圖中左方返回經(jīng)O點(diǎn)后，將繼續(xù)向右下方進(jìn)行，作第二次往返。

11、第二次往返的光路在圖中未畫出，可按圖中光路對(duì)稱于主軸畫出。以后，光線重復(fù)以上兩種往返光路。2、向右發(fā)出的光線：處成實(shí)像，右方無限遠(yuǎn)處成虛像；處成實(shí)像；P處（左方處主軸上）成虛像。向左發(fā)出的光線：處成實(shí)像；左方無限遠(yuǎn)處成虛像；處成實(shí)像；Q處（右方處主軸上）成虛像。3、向右發(fā)出的光線只在處成實(shí)像。向左發(fā)出的光線只在處成實(shí)像。兩像均比未遮住時(shí)暗。H2fFF/圖1-5-24例5、一平凸透鏡焦距為f，其平面上鍍了銀,現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上（圖1-5-24）。（1）用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像，并標(biāo)明該像是虛、是實(shí)。（2）用計(jì)算法求出此像的位置和大小

12、。HPAFSTA/P/L MQOS/F/圖1-5-25分析: 這道題實(shí)質(zhì)是一個(gè)凸透鏡與一緊密接合的平面鏡的組合成像問題。雖然我們畫不出光線經(jīng)透鏡折射后射向平面鏡的光路，但光路仍然遵守凸透鏡與平面鏡成像規(guī)律，這是我們?cè)诰唧w分析光路時(shí)必須牢牢抓住的一點(diǎn)。成像的計(jì)算也是遵守凸透鏡與平面鏡的成像計(jì)算方法的。解: （1）用作圖法求得物AP的像及所用各條光線的光路如圖1-5-25所示。說明：平凸透鏡平面上鍍銀后構(gòu)成一個(gè)由會(huì)聚透鏡L和與它密接的平面鏡M組合LM，如圖1-5-25所示。圖中O為L(zhǎng)的光心，為主軸，F(xiàn)和為L(zhǎng)的兩個(gè)焦點(diǎn)，AP為物。作圖時(shí)利用了下列三條特征光線：由P射向O的入射光線，它通過O后方向不變

13、，沿原方向射向平面鏡M，然后被M反射，反射光線與主光軸的夾角等于入射角，均為。反射線射入透鏡時(shí)通過光心O，故由透鏡射出時(shí)方向與上述反射線相同，即圖中的。由P發(fā)出且通過L左方焦點(diǎn)F的入射光線PFR，它經(jīng)過L折射后的出射線與主軸平行，垂直射向平面鏡M，然后被M反射，反射光線平行于L的主軸，并向左射入L，經(jīng)L折射后的出射線通過焦點(diǎn)F，即為圖個(gè)中RFP。由P發(fā)出的平行于主軸的入射光線PQ，它經(jīng)過L折射后的出射線將射向L的焦點(diǎn)，即沿圖中的方向射向平面鏡，然后被M反射，反射線指向與對(duì)稱的F點(diǎn)，即沿QF方向。此反射線經(jīng)L折射后的出射線可用下法畫出：通過O作平行于QF輔助線，通過光心，其方向保持不變，與焦面相

14、交于T點(diǎn)。由于入射平行光線經(jīng)透鏡后相交于焦面上的同一點(diǎn)，故QF經(jīng)L折射后的出射線也通過T點(diǎn)，圖中的QT即為QF經(jīng)L折射后的出射光線。上列三條出射光線的交點(diǎn)即為L(zhǎng)M組合所成的P點(diǎn)的像，對(duì)應(yīng)的即A的像點(diǎn)。由圖可判明，像是倒立實(shí)像，只要采取此三條光線中任意兩條即可得，即為正確的答案。（2）按陸續(xù)成像計(jì)算物AP經(jīng)LM組合所成像的位置、大小。物AP經(jīng)透鏡L成的像為第一像，取，由成像公式可得像距，即像在平面鏡后距離2f處，像的大小與原物相同， 。第一像作為物經(jīng)反射鏡M成的像為第二像。第一像在反射鏡M后2f處，對(duì)M來說是虛物，成實(shí)像于M前2f處。像的大小也與原物相同，。第二像作為物，再經(jīng)透鏡L而成的像為第三

15、像。這是因?yàn)楣饩€由L右方入射。且物（第二像）位于L左方，故為虛物，取物距 ，由透鏡公式可得像距上述結(jié)果表明，第三像，即本題所求的像的位置在透鏡左方距離處，像的大小可由求得，即像高為物高的 。例6、如圖1-5-26所示，凸透鏡焦距f=15cm，OC=25cm，以C為圓心、r=5cm為半徑的發(fā)光圓環(huán)與主軸共面。試求出該圓環(huán)通過透鏡折射后所成的像。CFOF圖1-5-26分析: 先考慮發(fā)光圓環(huán)上任意一點(diǎn)P經(jīng)透鏡所成之像，當(dāng)P點(diǎn)繞圓環(huán)一周時(shí)，對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)的集合就構(gòu)成整個(gè)發(fā)光圓環(huán)通過透鏡所成的像。因此可用解析幾何的方法討論本題。解: 如圖1-5-27所示，以O(shè)點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)建立坐標(biāo)系xOy和?？紤]發(fā)光圓

16、環(huán)上任一點(diǎn)P（x，y），則有 CFOFxPPxy,y圖1-5-27發(fā)光點(diǎn)P（x，y）的像為，根據(jù)透鏡成像公式及放大率關(guān)系可有 聯(lián)立、式解得 將、式代入式中并整理得 式即為所需求的圓環(huán)之像。這是一個(gè)對(duì)稱中心位于光心45cm處，以主光軸為長(zhǎng)軸的橢圓。討論 如果把發(fā)光圓環(huán)用一球殼取代，則根據(jù)對(duì)稱性，球殼的像是以圓環(huán)的像繞主軸旋轉(zhuǎn)一周行成的一橢圓。點(diǎn)評(píng) 曲線形線狀物通過透鏡所成的像也是一定曲線狀，至于是什么樣的曲線，要視具體情況而定。例如本題中的發(fā)光圓環(huán)所成的像變?yōu)橐粰E圓環(huán)就是一例。本題的關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)奈锓胶拖穹阶鴺?biāo)系來球解問題。例7、照相機(jī)鏡頭L前2.28m處的物體被清晰地成像在鏡頭后面12.0

17、cm處的最相膠片P上，兩面平行的玻璃平板插入鏡頭與膠片之間，與光軸垂直，位置如圖1-3-29所示。設(shè)照相機(jī)鏡頭可看作一個(gè)簡(jiǎn)單薄凸透鏡，光線為近軸光線。12.0cm8.0cm0.90cm圖1-3-291、求插入玻璃板后，像的新位置。2、如果保持鏡頭、玻璃板、膠片三者間距離不變，若要求物體仍然清晰地成像于膠片上，則物體應(yīng)放在何處？解: 解法11、折射率為n，厚度為d 兩面平行的玻璃板，對(duì)于會(huì)聚在像點(diǎn)的傍軸光束的折射作用可如下方法求出：如圖1-3-30，取任一指向點(diǎn)的傍軸光線C，此光線經(jīng)平行玻璃板折射的光路為CDE，在平板第一面的入射角i與折射角r均為小角度，反向圖1-3-30延長(zhǎng)E交D點(diǎn)處的法線于

18、F，容易看出，DE為平行四邊形，則平行板厚度d為 得 因?yàn)閕與r都很小，所以 故得以上結(jié)果對(duì)任何會(huì)聚于點(diǎn)的傍軸光線均成立，所以向軸上點(diǎn)會(huì)聚的傍軸光束經(jīng)平行玻璃板折射后會(huì)聚于軸上點(diǎn)。在這種情形下，平行玻璃板的作用是使像點(diǎn)向遠(yuǎn)離平板方向移動(dòng)距離，由題給數(shù)據(jù)得故像成在鏡頭后面12.0+0.3=12.3（cm）處。2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f， 不放玻璃板時(shí)有1/228+1/2=1/f，可得 f=11.4cm。插入玻璃板時(shí)，若要像仍成在離鏡頭12cm處的膠片上，應(yīng)改變物距使不放玻璃板時(shí)成像在鏡頭后面v處，即v=12.0-0.3=11.7(cm)。設(shè)這時(shí)物距為u，則1/u+1/11.7=1/11.4，得 u

19、4.45m。即：物體置于鏡頭前4.45m時(shí)，插入玻璃板后，仍可在膠片上得到清晰的像。解法2圖1-5-311、對(duì)于玻璃板第一面上的折射，其物距為 ，根據(jù)公式 （見圖1-5-31）可得 對(duì)于玻璃板第二面上的折射，（見圖1-3-32）其物距為圖1-5-32 又根據(jù) 可得 故像成在鏡頭后面的像距為比原像向后移動(dòng)v，即2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f，不插入玻璃板時(shí)，1/f=1/228+1/12，得 f=11.4cm。要使放上玻璃板后，像還成在離鏡頭12cm處的膠片上，可采用個(gè)光路可逆性原理從已知像的位置，求此物體應(yīng)在的位置。對(duì)于玻璃板第二面上的折射：已知：像距，設(shè)與之相應(yīng)的物為，則可得對(duì)于玻璃板第一面上的折射

20、：已知：像距 ，設(shè)與之相應(yīng)的物為P，則可得對(duì)于凸透鏡，像距為v=8.6+3.1=11.7(cm) ，則此時(shí)物距為u，則有1/u+1/11.7=1/11.4，u=4.45m。即物體應(yīng)放在照相機(jī)鏡頭前4.45m處，才能在膠片上得到清晰的像。物L(fēng)1L2圖1-5-29d+uuvd-vdO1O2L1L2圖1-5-31例8、有兩個(gè)焦距分別為和的凸透鏡。如果把這兩個(gè)透鏡做適當(dāng)?shù)呐渲?，則可使一垂直于光軸的小物體在原位置成一等大、倒立的像，如圖1-5-33所示。試求出滿足上述要求的配置方案中各透鏡的位置。分析: 首先，我們應(yīng)根據(jù)題目給出的條件，分析得出物經(jīng)透鏡、所成像的虛、實(shí)與大小，從而得出光學(xué)系統(tǒng)的配置關(guān)系；

21、然后再運(yùn)用透鏡成像公式求出光學(xué)系統(tǒng)中物、位置的具體距離與、的數(shù)量關(guān)系。解: 設(shè)光線由左向右，先后經(jīng)過兩個(gè)凸透鏡而成像于題目所要求的位置。反回去考慮，光線經(jīng)過第2個(gè)透鏡后將繼續(xù)向右傳播，所以最后成的像必為虛像才能滿足題設(shè)要求。由此判定，作為透鏡2的“物”必在其左側(cè)，物距小于透鏡2的焦距，并且是倒立的。再考慮到透鏡2的“物”應(yīng)該是透鏡1對(duì)給定的傍軸物體所成的像（中間像），它只能是給定物的倒立實(shí)像，必然成像在透鏡1的右側(cè)。（由于最后的像與原物同樣大小，還可以肯定中間像一定是縮小的。）以上分析表明，光線系統(tǒng)的配置如圖1-5-28所示。根據(jù)圖上標(biāo)明的兩透鏡位置和物距、像距，有 因最后像為虛像，則 又因物

22、、像大小相等，則 由得代入并經(jīng)過化簡(jiǎn)可得 ，因題圖中要求，故必須。由以上分析可知，要取焦距較小的透鏡（即如，取透鏡a，反則反之）作透鏡，放在物右方距離u處，而把焦距較大的透鏡作為透鏡放在透鏡右方距離d處，就得到題所要求的配置方案。例9、焦距為20cm的薄凸透鏡和焦距為18cm的薄凹透鏡，應(yīng)如何放置，才能使平行光通過組合透鏡后成為1、平行光束；2、會(huì)聚光束；3、發(fā)散光束；（所有可能的情況均繪圖表示）。解: 設(shè)凸透鏡主焦點(diǎn)為；凹透鏡主焦點(diǎn)為。1、平行光束（1）凸透鏡在前時(shí)，d=2cm，d為兩透鏡間距離（見圖1-5-34）。L1L2d2cm18cmF F (共焦)圖1-5-34L2L1dFF2圖1-

23、5-35F2F1L1L2圖1-5-36F1F2L2L1d圖1-5-39L2L1dFF2圖1-5-38F2F1L2L1圖1-5-37（2）凹透鏡在前時(shí)，d=2cm，根據(jù)光路可逆性原理，這相當(dāng)于把前面的系統(tǒng)反過來。2、會(huì)聚光束。（1） 凸透鏡在前時(shí)，20cmd2cm（圖1-5-35）。（2） 凹透鏡在前時(shí)d2cm（圖1-5-36）。3、發(fā)散光束（1）凸透鏡在前時(shí)，d2cm（圖1-5-37）（2）凸透鏡在前時(shí)，20cmd2cm（圖1-5-38）凹透鏡在前時(shí)，20cmd2cm（圖1-5-39）10、焦距f的數(shù)值均相同的三個(gè)薄透鏡、與 ，依次為凸透鏡、凹透鏡與凸透鏡，它們構(gòu)成一個(gè)共軸光學(xué)系統(tǒng)，相鄰?fù)哥R間

24、的距離均為d，各透鏡的光心分別為，如圖1-5-40所示，在透鏡左方，位于主光軸上的物點(diǎn)P，經(jīng)過此光學(xué)系統(tǒng)最終成像于透鏡右方的Q點(diǎn) 若距離，則物點(diǎn)P與透鏡的距離應(yīng)為多少？圖1-5-40分析: 此題按陸續(xù)成像考慮，一個(gè)一個(gè)透鏡做下去也能得出式的解，但列式子時(shí)容易出錯(cuò)，不如考慮對(duì)稱性的解法，有清晰的物理圖像，求解主動(dòng)。此題的式的解也以用“P經(jīng)成像”的思路解出最為簡(jiǎn)明，但能這樣想必須以“透鏡成像時(shí)，若物距為零則像距也為零”作為已知結(jié)論才行。解:（1）該系統(tǒng)對(duì)凹透鏡而言是一左右對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)。依題意，物點(diǎn)P與像點(diǎn)Q處于對(duì)稱的位置上，即對(duì)凹透鏡而言，物點(diǎn)及經(jīng)它成像后的像點(diǎn)應(yīng)分居的兩側(cè)，且物距與像距相等。即

25、 代入凹透鏡的物像公式 解得 物距與像距均為負(fù)值表明：物點(diǎn)P經(jīng)透鏡成像后，作為凹透鏡的物點(diǎn)位于它的右側(cè)，因而是虛物，經(jīng)凹透鏡成像于它的左側(cè)，為一虛像，虛像點(diǎn)與虛像點(diǎn)的凹透鏡位于對(duì)稱位置（圖1-5-41） 圖1-5-41圖1-5-42代入凸透鏡的物像公式 解出（2）由式，凹透鏡的像距可表示為 當(dāng)物點(diǎn)由右向左逐漸趨近于時(shí)，即物距由負(fù)值逐漸增大而趨于零時(shí)，像距亦由負(fù)值逐漸增大趨于零，即像點(diǎn)由左向右亦趨近于。即時(shí)，當(dāng)時(shí)，即對(duì)凸透鏡而言，像距，參見圖1-5-42，代入式解得： 此結(jié)果表明，當(dāng)物點(diǎn)P經(jīng)過透鏡后恰成像于透鏡的光心上，由系統(tǒng)的對(duì)稱性，可知經(jīng)透鏡后，將成像于對(duì)稱點(diǎn)Q。像距數(shù)值為由此可知式與式均為

26、所求的解，但對(duì)式的結(jié)果，透鏡間距d必須滿足條件 這也可以從另一角度來考慮，當(dāng)P通過成像正好在的光心處時(shí)，它經(jīng)過的像仍在原處，即 。這樣也可得到上面的結(jié)果。例11、一束平行光沿薄平凸透鏡的主光軸入射，經(jīng)透鏡折射后，會(huì)聚于透鏡后f=48cm處，透鏡的折射率n=1.5。若將此透鏡的凸面鍍銀，物置于平面前12cm處，求最后所成像的位置。分析:平凸透鏡的凸面鍍銀后將成為凹面鏡，我們可根據(jù)平凸透鏡平行光匯聚的幾何關(guān)系求出凸球面的曲率半徑R，即求出凹面鏡的焦距，根據(jù)平面折射成像及凹面鏡成像的規(guī)律可進(jìn)一步求出最后所成像的位置。解:（1）先求凸球面的曲率求徑R。平行于主光軸的光線與平面垂直，不發(fā)生折射，它在球面

27、上發(fā)生折射，交主光軸于F點(diǎn)，如圖1-5-43所示，C點(diǎn)為球面的球心，由正弦定理可得圖1-5-43 由折射定律知 當(dāng)i、r很小時(shí)，由以上兩式得 12cm圖1-5-44所以 （2）凸面鍍銀后將成為半徑R的凹面鏡，如圖1-5-44所示令P表示物所在的位置，P點(diǎn)經(jīng)平面折射成像于，根據(jù)折射定律可推出 由于這是一個(gè)薄透鏡，與凹面鏡的距離可認(rèn)為等于，設(shè)反射后成像于，則由球面鏡成像公式可得 因此可解得，可知位于平面的左方，對(duì)平面折射來說，是一個(gè)虛物，經(jīng)平面折射后，成實(shí)像于點(diǎn)。 最后所成實(shí)像在透鏡左方24cm處。例12、在很高的圓柱形容器的上口平放一個(gè)焦距為90mm的凸透鏡，在透鏡下方中軸線上距透鏡100mm處

28、平放一個(gè)圓面形光源（如圖1-5-45）1、光源產(chǎn)生一個(gè)半徑為45mm的實(shí)像，求此實(shí)像的位置。圖1-5-452、若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此像的位置。3、繼續(xù)注水，注滿容器但又恰好不碰上透鏡。求此時(shí)像的大小。解:1、設(shè)u,v,f分別為物距、像距和焦距，由成像公式得代入u=100mm,f=90mm，得又從放大率公式知光源的半徑b為hhi圖1-5-462、注入水后，當(dāng)水面高于光源h(mm)時(shí)，由于水面的折射作用，使光源等效于上浮一段距離，等效光源在距水面處。設(shè)i,r分別為入射角和折射角，則，（圖1-5-46），對(duì)近軸光線故原來的物距u在注入水后變成等效物距于是像距為本小題中，h=100

29、mm,u=100mm，故得實(shí)像在透鏡上方1170mm處。3、當(dāng)水注滿而又恰好不碰上透鏡時(shí)，仍可用上面的公式，但此時(shí)h=100mm，等效光源已在焦距之內(nèi)，此時(shí)像的半徑為此時(shí)所成像是一半徑為30mm的正立虛像，位于透鏡下方。例13、有一個(gè)由單個(gè)凸透鏡構(gòu)成的焦距為12cm，暗箱的最大伸長(zhǎng)為20cm的照相機(jī)，要用這個(gè)照相機(jī)拍攝距鏡頭15cm處的物體，需要在鏡頭上附加焦距為多少的一個(gè)薄透鏡，使暗箱最大伸長(zhǎng)時(shí)，像能清晰地呈現(xiàn)在底片上？（假設(shè)兩個(gè)薄透鏡緊貼著，其間距離可以忽略不計(jì)）分析：這是一個(gè)組合透鏡成像的問題，可以從兩個(gè)不同角度來考慮求解。（1）依照成像先后順序，物體經(jīng)前一個(gè)透鏡成的像視為后一透鏡成像之

30、物，重復(fù)運(yùn)用透鏡成像公式來求解；（2）把組合透鏡視為一個(gè)透鏡整體來處理，再根據(jù)組合透鏡的總焦距與各分透鏡之間的關(guān)系式來求解。解法一：將附加薄透鏡加在鏡頭的前面，照相機(jī)鏡頭焦距為12cm，暗箱最大伸長(zhǎng)為20cm，設(shè)它能拍攝的物體的最近距離為u。以f=12cm,v=20cm代入透鏡成像公式，可以求得u。附加薄透鏡(a)12cm30cm20cm主透鏡(b)附主15cm(C)圖1-5-47 設(shè)附加鏡頭的焦距為，它的作用是使距鏡頭15cm的物體成像在30cm處。以u(píng)=15cm,v=-30cm代入透鏡成像公式，可以求得。所以 ，是凸透鏡，光路圖如圖1-5-47所示。圖1-5-47（a）表示附加薄透鏡的作用

31、是將距鏡頭15cm的物體在30cm處造成的虛像。圖1-5-47（b）表示以為物，經(jīng)主透鏡成像于鏡后20cm處底板上成實(shí)像。圖1-5-47（c）表示附加透鏡加在主透鏡的前面，距透鏡15cm的物體AB，其所發(fā)的光線經(jīng)附加透鏡和主透鏡折射后在另一側(cè)20cm處得一實(shí)像。解法二：將附加薄透鏡加在鏡頭后面。無附加透鏡時(shí)，物距u=15cm,焦距f=12cm，像距為v。由 得 設(shè)附加鏡頭的焦距為，上述像即附加透鏡中的虛物，此時(shí)物距為 ，像距為 。由 得 光路圖如圖1-5-48所示。圖1-5-48（a）表示距主透鏡15cm的物體，在主透鏡另一側(cè)成一距透鏡60cm的實(shí)像。圖1-5-48（b）表示附加透鏡附于主透鏡

32、之后，光線因通過光心方向不變，由物體射出之光線，經(jīng)主透鏡折射后其中的光線再經(jīng)附加透鏡的折射，改變方向?yàn)楣饩€因而成像于處。圖1-5-48（c）表示距透鏡15cm的物體，經(jīng)主透鏡、附加透鏡折射后成像于另一側(cè)20cm主透鏡15cm(a)12cm附加薄透鏡(b)主附15cm(c)透鏡圖1-5-48處。解法三：照相機(jī)鏡頭焦距f=12cm，附加薄凸透鏡焦距為,相當(dāng)于一個(gè)焦距為F的凸透鏡，且有因?yàn)?，所以 把求得的F值代入式有則即為所求附加薄透鏡焦距。點(diǎn)評(píng)：透鏡與透鏡、透鏡與平面鏡、棱鏡、球面鏡等一個(gè)或多個(gè)光學(xué)元件構(gòu)成一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的成像問題是一類典型的問題，對(duì)于這類問題，一方面要注意不同的光學(xué)元件各自的成像

33、規(guī)律，另一方面要注意成像的先后順序以及像與物的相對(duì)性。即前一光學(xué)元件的像視為后一光學(xué)元件之物。例14、長(zhǎng)度為4mm的物體AB由圖1-5-49所示的光學(xué)系統(tǒng)成像，光學(xué)系統(tǒng)由一個(gè)直角棱鏡、一個(gè)會(huì)聚透鏡和一個(gè)發(fā)散透鏡組成，各有關(guān)參數(shù)和幾何尺寸均示于圖中。求：6cm10cm5cm6cmL1L2n=1.545f1f2f2=-10cmf1=-20cmBA圖1-5-491、像的位置；2、像的大小，并作圖說明是實(shí)像還是虛像，是正立還是倒立的。解: 解法11、分析和等效處理根據(jù)棱鏡玻璃的折射率，棱鏡斜面上的全反射臨界角為6cm10cm5cm6cmL1L2N=1.545圖1-5-50注意到物長(zhǎng)為 4mm，由光路可

34、估算，進(jìn)入棱鏡的近軸光線在斜面上的入射角大多在45º左右，大于臨界角，發(fā)生全反射，所以對(duì)這些光線而言，棱鏡斜面可看成是反射鏡，本題光路可按反射鏡成像的考慮方法，把光路“拉直”，如圖4-3-34的示?，F(xiàn)在，問題轉(zhuǎn)化為正立物體經(jīng)過一塊垂直于光軸、厚度為6cm的平玻璃板及其后的會(huì)聚透鏡、發(fā)散透鏡成像的問題。2、求像的位置圖1-5-51厚平玻璃板將使的近軸光線產(chǎn)生一個(gè)向右側(cè)移動(dòng)一定距離的像，它成為光學(xué)系統(tǒng)后面部分光路的物，故可稱為側(cè)移的物。利用沿光軸的光線和與光軸成角的光線來討論就可求出這個(gè)移動(dòng)的距離。設(shè)軸上物點(diǎn)為B，由于厚度平玻璃板的作用而形成的像點(diǎn)（即側(cè)像的物點(diǎn)）為（圖1-5-51）。畫

35、出厚平玻璃板對(duì)光線的折射，由圖可知而 所以 當(dāng)為小角度時(shí)故得這也就是物AB與它通過厚平玻璃板所成的像之間的距離。這個(gè)像對(duì)透鏡來說就是物，而物距可見，物證好在 的左方焦平面上，像距即為再考慮透鏡，這是平行光線入射情況所以必成像于這個(gè)發(fā)散透鏡左側(cè)焦平面上（虛像）。整個(gè)光路的最后成像位置就是在 的左側(cè)10cm處。3、求像的大小和虛、實(shí)、正、倒情況圖1-5-52可用作圖法求解，如圖1-5-52所示（為了圖示清楚，圖中把物高加大了）。連接并延長(zhǎng)，便得到發(fā)自的光線經(jīng)后的平行光線的方向。過的光心作的平行線，它與交于C點(diǎn)，則即為從出發(fā)經(jīng)過折射又通過光心的光線。反向延長(zhǎng)與左側(cè)焦面的交點(diǎn)就是由經(jīng)所成的像點(diǎn)。令左側(cè)焦面與