等差數(shù)列認(rèn)識教師版三年級奧數(shù)

1、第一講 等差數(shù)列認(rèn)識 教學(xué)目標(biāo)1、認(rèn)識簡單的數(shù)列；2、掌握什么是等差數(shù)列；3、會求解簡單的等差數(shù)列和；知識點撥1、如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。2、等差數(shù)列求和：（首項+末項）項數(shù)23、求項數(shù)：（末項-首項）公差+14、求末項：首項+（項數(shù)-1）公差(一) 課堂引入1. 學(xué)生學(xué)情分析：（1）三年級暑假對數(shù)列有過認(rèn)識，并且三年級孩子比較喜歡找規(guī)律，并且對找規(guī)律比較擅長，所以可以從此入手，讓孩子認(rèn)識等差數(shù)列。此為切入點！（2）數(shù)列計算和中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了湊整求和，所以在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和時，并不陌生，可以以此切入！此為難

2、點！2. 引入-高斯神速求和的故事講故事：高斯出生于一個貧困家庭，幼時家境貧困，但是異常聰明。就在像大家這么大的時候，一次老師出了一道非常難得數(shù)學(xué)題：把1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？正在同學(xué)們苦思冥想的時候，高斯略加思索就說出了答案。同學(xué)們你們知道答案是多少嗎？你們知道高斯用了什么方法巧妙地計算出來的嗎？情景1：學(xué)生對高斯的故事可能會比較熟悉，或許會清楚1到100的自然數(shù)之和，對于這種情況，可以根據(jù)學(xué)生回答的情況，提問你們誰知道高斯用了什么方法巧妙地計算出來的呢？情景2：這個問題，學(xué)生回答會比較困難，在此情況下，問:同學(xué)們想不想像高斯這樣厲害，掌握這種巧妙的方法呢？那么，我的小高斯們，下

3、面我就先來認(rèn)識下等差數(shù)列。(二) 探索新知(一) 等差數(shù)列的認(rèn)識例題精講例1：1、3、5、7、9、（ ）【教學(xué)建議】 等差數(shù)列的認(rèn)識。先讓孩子去找規(guī)律填數(shù)，并讓孩子去總結(jié)其中的規(guī)律所在，并能用合適的語言表達。從中提煉出兩點：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同 （2）數(shù)依次增大鞏固練習(xí)： 20、17、14、11、8、5、（ ） 對于練習(xí)題：提煉出兩點：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同 （2）數(shù)依次減少總結(jié)：通過例與練，讓孩子們認(rèn)識了等差數(shù)列的兩種類型。等差數(shù)列：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同 （2）數(shù)依次增加或者減少提出知識點：公差，項（首項、末項），項數(shù)回到例題與練習(xí)：讓學(xué)生分別指出其中的公差，項（首項、末項）

4、，項數(shù)目標(biāo)：達到初步的認(rèn)識(二) 通項求解例2：（1）2、5、8、11、14。按這樣的規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，其中第21項是多少？（2）把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個是多少？【教學(xué)建議】 在認(rèn)識等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生們有意識結(jié)合這種特殊的規(guī)律解題。并總結(jié)出通項公式！讓學(xué)生獨立探索完成，然后收集學(xué)生的解題方法，學(xué)生可以會出現(xiàn)的情況：A、 采用最笨的辦法，直接按照規(guī)律，直接寫到第21項B、 通過心算，直接寫出第21項數(shù)，但無法列出算式C、 能過根據(jù)已知的數(shù)，列出算式（數(shù)出增加的公差）（屬于概括能力強的孩子，或者孩子學(xué)過）D、 通過列出正確的算式，也明白算理（一般很少，一個班最多1-2

5、個）總結(jié)：A、 找出完成得比較好的學(xué)生，說出他們的算法，如果有完成C與D的學(xué)生，可以讓他們當(dāng)老師來講講計算的方法。B、 根據(jù)學(xué)生回答情況，引導(dǎo)出第21項的變化情況（從第一項，共增加了多少個公差），并讓學(xué)生列出算式C、 擴展為其它項時，公差的增加情況，并讓學(xué)生列出算式D、 總結(jié)通項公式（讓學(xué)生先總結(jié)）項=首項+公差*項數(shù)差鞏固練習(xí)： 有一堆按規(guī)律擺放的磚。從上往下數(shù)，第1層有1塊磚，第2層有5塊磚，第3層有9塊磚按照這樣的規(guī)律，第19層有多少塊磚？【教學(xué)建議】 在學(xué)習(xí)例2的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生用例2總結(jié)出的結(jié)論計算本題。并讓學(xué)生說出計算方法，以及算理，鞏固等差數(shù)列的通項公式！例3：已知一個等差數(shù)列第

6、9項等于131，第10項等于137，這個數(shù)列的第1項是多少？第19項是多少？【教學(xué)建議】 加深對等差數(shù)列，及公差的理解，并讓學(xué)生活用通項公式求項。項=首項+公差*項數(shù)差引導(dǎo)學(xué)生靈活使用等差數(shù)列，靈活使用公式“項=首項+公差*項數(shù)差”，靈活確定首項，并能正確求解項數(shù)差！ 鞏固練習(xí)：冬冬先在黑板上寫了一個等差數(shù)列，剛寫完阿奇就沖上講臺，擦去了其中的大部分?jǐn)?shù)，只留下第四個數(shù)31和第十個數(shù)73。你能算出這個等差數(shù)列的公差和首項嗎？【教學(xué)建議】 層次在例3的基礎(chǔ)上，更進一層。讓學(xué)生熟練，如何尋找公差，進一步理解等差數(shù)列中項的變化！難點：求公差！鞏固點：求項（靈活確定首項與項數(shù)差）注：通過前面的學(xué)習(xí)，同學(xué)

7、們可以達到的目標(biāo)，（1）熟練確認(rèn)等差數(shù)列，并輕松找出公差；（2）熟練運用通項公式求項；(三) 項數(shù)求解例4：小悅讀一本課外書，第一天讀了15頁，以后每天都比前一天多讀3頁，最后一天讀了36頁，剛好把書讀完。請問：小悅一共讀了多少天？這本課外書共有多少頁？【教學(xué)建議】 問題1(1) 在知道首項、末項與公差的基礎(chǔ)上，如何求項數(shù)。(2) 題目比較形象，同學(xué)們可以自己探索完成問題1(3) 同學(xué)們完成問題1的可能性有：A-通過列出每天看的頁數(shù)，找出天數(shù)（天數(shù)較少，同學(xué)們極容易用這種方法解題） B-通過尋找增加的公差數(shù)與項數(shù)的關(guān)系找出天數(shù)（達到此水準(zhǔn)的孩子，比例較低）(4) 跟據(jù)學(xué)生對問題1的完成情況，適

8、當(dāng)提示并翻譯本題：A-每天看的頁數(shù)組成等差數(shù)列；B-天數(shù)為項數(shù)；C-引導(dǎo)向增加的了多少個公差，說明這是第幾項，即第幾天？(5) 讓學(xué)生跟據(jù)所引導(dǎo)，列出算式?？偨Y(jié)根據(jù)同學(xué)們列出的算式總結(jié)出公式：（末項-首項）公差+1問題2（1）涉及等差數(shù)列求和公式，因為本題中的重點是求項數(shù)，如果涉及過多知識點，學(xué)生容易厭煩，學(xué)習(xí)率不高，所以對于問題2，可以讓學(xué)生用基礎(chǔ)的方法算出，鼓勵用好方法計算。但不做細(xì)講，提示這就是等差數(shù)列求和，將在下面重點講解。15+18+21+24+27+30+33+36 鞏固練習(xí)：體育課上老師指揮大家排成一排，小叮當(dāng)站排頭，小叮咚站排尾，從排頭到排尾依次報數(shù)。如果小叮當(dāng)報3，小叮咚報2

9、5，每位同學(xué)報的數(shù)都比前一位多2，那么隊伍里一共有多少人？【教學(xué)建議】 對于項數(shù)求解的鞏固。注：經(jīng)過前面的講解，學(xué)生對于公差數(shù)與項數(shù)的關(guān)系有比較清晰的認(rèn)識，完成此題，難度不大，可以出現(xiàn)在列式上。老師可以加以提示，與糾正。(四) 簡單的等差數(shù)列求和1. 高斯求和故事引出-等差數(shù)列求和2. 著重點明高斯求和，并引出倒加法。思路：揭曉高斯故事答案：5050揭曉高斯巧妙方法：1+2+3+4+100（用彩虹橋講解即同學(xué)們熟知的首位相加）注：這種方法，大部分同學(xué)都知道，講解起來不算新鮮。疑問：高斯所計算的這個等差數(shù)列，項的個數(shù)是偶數(shù)，剛好可以成對相加；如果這個等差數(shù)列是奇數(shù)相時，能夠剛好成對相加嗎？那這種

10、方法似乎并不適用于所有的等差數(shù)列，那么有沒有一種適合所有等差數(shù)列的方法呢？提示：講解“倒加法“總結(jié)：學(xué)生自主總結(jié)。等差數(shù)列求和：（首項+末項）項數(shù)2同學(xué)們得到了高斯的智慧，于是乎，你們都成了小高斯。所以，小高斯們，趕快去試試吧。例5：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12教學(xué)建議 例5和練習(xí)，項數(shù)不多，可以試著在原算是下面，反寫一遍數(shù)列。得到直觀地計算，讓學(xué)生練習(xí)等差數(shù)列求和公式。學(xué)生先試著獨立完成，老師提示引導(dǎo)，并訂正。鞏固練習(xí)：11+12+13+14+15+16+17+18+19總結(jié)：回憶等差數(shù)列公式（學(xué)生回憶），并提示公式中，必須要知道的量。例6：計算：（1）3+6+9+1

11、2+15+18+21+24+27+30（2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1教學(xué)建議 經(jīng)過例5和練習(xí)的鍛煉，對等差數(shù)列求和與倒加法有了一定的熟悉。所以例6，著重讓學(xué)生們在不重新寫出反數(shù)列的情況下，利用等差數(shù)列計算。 鞏固練習(xí)：計算：（1）5+11+17+77+83（2）193+187+181+103教學(xué)建議 （1）項數(shù)未知，需要學(xué)生經(jīng)過比較復(fù)雜的計算，題目比較綜合。（2）第一題，在學(xué)生試著去完成后，老師帶著學(xué)生完成此題。讓學(xué)生提升等差數(shù)列公式的運用能力，能夠根據(jù)等差數(shù)列，去尋找未知項。（本題，少項數(shù)）（3） 第二題，讓學(xué)生獨立嘗試完成。訂正。總結(jié)：回憶等差數(shù)列（學(xué)生回

12、憶），強調(diào)運用等差數(shù)列求和時，需要知道的量，如果有某個量未知，需要設(shè)法求出，再利用等差數(shù)列求和。例7：已知一個等差數(shù)列第8項等于50，第15項等于71。請問：（1）這個等差數(shù)列的第1項是多少？（2）這個等差數(shù)列前10項的和是多少？教學(xué)建議 經(jīng)歷了通項公式、項數(shù)公式、等差求和的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對這些知識點的記憶比較模糊了，所以先回憶通項公式、項數(shù)公式。（1） 通項公式：項=首項+公差*項數(shù)差 （強調(diào)：需要知道公差）（2） 項數(shù)公式：（末項-首項）公差+1思路導(dǎo)航 問題1：先讓學(xué)生獨立完成其中第一個問題。并通過老師講解，進一步復(fù)習(xí)通項的求法。問題2：求前10項和，根據(jù)等差數(shù)列公式，還需要知道“首項、

13、末項”，也就是需要知道第一項與第10項。（1） 先讓學(xué)生獨立思考，根據(jù)學(xué)生完成情況，提問學(xué)生等差數(shù)列公式？還需要知道的量？（2） 讓學(xué)生根據(jù)老師的提示，列出算式，求出和。注：本題綜合性比較強，一方面需要學(xué)生綜合分析能力，一方面需要學(xué)生熟練運用通項公式、項數(shù)公式、等差數(shù)列。經(jīng)歷了例7的學(xué)習(xí)，已經(jīng)對等差數(shù)列的綜合運用有了初步的學(xué)習(xí)。鞏固練習(xí)：體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報數(shù)。如果冬冬報17，阿奇報150，每位同學(xué)報的數(shù)都比前一位多7，那么隊伍里一共有多少人？所有人報的總和是多少？教學(xué)建議 問題1：學(xué)生獨立完成，此為項數(shù)公式的運用。問題2：求等差數(shù)列的總和，

14、題目相對比較簡單些，首項、末項、項數(shù)都清楚，所以大部分學(xué)生能夠獨立完成。(五) 奇數(shù)項等差數(shù)列求和公式剛才說了，雙數(shù)項等差數(shù)列可以通過配對求和，但是奇數(shù)項等差數(shù)列是否有獨特的求和公式呢?(1) 列出奇數(shù)項的等差數(shù)列，探尋配對和除以2后的值與最中間的數(shù)，即最后單獨的數(shù)之間的關(guān)系；可以發(fā)現(xiàn)，最中間的數(shù)就是這列數(shù)的平均數(shù)?？偨Y(jié)出奇數(shù)項等差數(shù)列的求和公式：中間數(shù)*項數(shù)=總和。(2) 反過來，強調(diào)知道奇數(shù)項數(shù)列的總和，可以求出中間數(shù)。下面，高斯們，我們來試試。例8：有一串連續(xù)單數(shù)的數(shù)列，前7個數(shù)的和是105，問第10項是多少？教學(xué)建議 本題主要是聯(lián)系奇數(shù)項等差數(shù)列的求和特點，解決此題，題目比較綜合。采用學(xué)生獨立完成，老師引導(dǎo)，并訂正的方案。目的：提高學(xué)生的綜合分析能力。 鞏固練習(xí)：有一串連續(xù)雙數(shù)的數(shù)列，前11個數(shù)的和是374，問第25項是多少？教學(xué)建議 類同例8，在例8的基礎(chǔ)上，學(xué)生自主練習(xí)，增強學(xué)生的綜合分析能力。課后練習(xí)1、41、44、47、50、（ ）、（ ）2、3、6、9、12、15這個按照一定規(guī)律的一串?dāng)?shù)，其中第20項是多少？150項呢？3、 （1）