精心整理二次函數(shù)專題講座

1、 二次函數(shù)綜合題一覽拋物線中的面積問題1.的對稱軸在軸的右側(cè)，拋物線與軸交于Q（0，-3），與軸的交點為A、B，頂點為P，SPAB的面積是8，求解析式。2.已知拋物線，為何值時，拋物線與軸無交點；若拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于C點，且ABC的面積為4，求的值3.拋物線與x軸的正半軸交于A、B，與y軸的正半軸交于點C，頂點M在第四象限，已知OA：OB=1：3，AMB=90°，SAMB=16。(1)求拋物線的解析式。(2)若拋物線上有一點P，使SAPB=SCMB，求P點的坐標(biāo)。 4.已知拋物線與它的對稱軸相交于點，與軸交于，與軸正半軸交于（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)直線

2、交軸于是線段上一動點（點異于），過作軸交直線于，過作軸于，求當(dāng)四邊形的面積等于時點的坐標(biāo)5.如圖，已知拋物線與x軸相交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(其中x1<0，x2>0，<)，與y軸相交于點C，且ACB=90°，AB=2。若D點是C點關(guān)于x軸的對稱點。(1)求C、D兩點的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)設(shè)Q(x，y)是拋物線上的點，使SQCD=3，求點Q的坐標(biāo)。6.拋物線的解析式滿足四個條件：；求這條拋物線的解析式；設(shè)該拋物線與軸的兩交點分別為、（在的左邊），與軸的交點為，是拋物線上第一象限內(nèi)的點，交軸于點，試比較與的大小.7.平面直角坐標(biāo)系已知拋物線

3、的對稱軸為x=,設(shè)拋物線與y軸交于A點,與x軸交于B、C兩點（B點在C點的左邊），銳角ABC的高BE交AO于點H求拋物線的解析式； 在（1）中的拋物線上是否存在點P，使BP將ABH的面積分成1：3兩部分？如果存在，求出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由8.已知：是方程的兩個實數(shù)根，且，拋物線的圖象經(jīng)過點A()、B().（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中拋物線與軸的另一交點為C,拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標(biāo)和BCD的面積；（3）若P是線段OC上的一點，過點P作PH軸，與拋物線交于H點，且直線BC把PCH分成面積之比為2:3的兩部分，請求出P點的坐標(biāo).9.已知二次函數(shù)的圖象過點

4、、（1）當(dāng)這個二次函數(shù)的圖象又過點時，求其解析式.（2）設(shè)（1）中所求二次函數(shù)圖象的頂點為P，求的值.（3）如果二次函數(shù)圖象的頂點M在對稱軸上移動，并與y軸交于點D，的值確定嗎？為什么？10.已知開口向下的拋物線與軸交于M、N兩點（點N在點M的右側(cè)），并且M和N兩點的橫坐標(biāo)分別是的兩根，點是拋物線與軸的交點，不小于（1）求M和N兩點的坐標(biāo)；（2）求系數(shù)的取值范圍；（3）在的取值范圍內(nèi)，當(dāng)取得最大值時，拋物線上是否存在點P使得？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.11.如圖二次函數(shù)的圖象與軸只有一個公共點，與軸的交點為.過點的直線與軸交于點，與二次函數(shù)的圖象交于另一點.若

5、，求這個二次函數(shù)的解析式.BAOyx12.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.13.如圖，已知拋物線與直線y=x交于A、B兩點，與y軸交于點C，OAOB，BCx軸(1)求拋物線的解析式。(2)設(shè)

6、D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點(點E在點D的上方)，DE，過D、E兩點分別作y軸的平行線，交拋物線于F、G，若設(shè)D點的橫坐標(biāo)為x，四邊形DEGF的面積為y，求x與y之間的關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并回答x為何值時，y有最大值14.已知：拋物線與x軸交于、兩點，且拋物線與y軸交于點C，（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上，點A的左側(cè)，求一點E，使與相似，并說明直線經(jīng)過（1）中拋物線的頂點D；（3）過（2）中的點E的直線與（1）中的拋物線相交于M、N兩點，分別過M、N作x軸的垂線，垂足為M、N，點P為線段MN上一點，點P的橫坐標(biāo)為t，過點P作平行于y軸的直線交（1）中所求拋物線于點

7、Q，是否存在t值，使若存在，求出滿足條件的t值；若不存在，請說明理由.拋物線與圓OyxABCMDP15.如圖，已知兩點、，以AB為直徑作P與軸負(fù)半軸交于C點，求過A、C兩點的直線解析式和過、三點的拋物線解析式；若點M是中拋物線的頂點，求ABC的面積及直線MC的解析式；判定中的直線MC與P的位置關(guān)系，并說明理由。CBMyxADOP·16.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)，以AB的中點P為圓心，AB為直徑作P，與軸的負(fù)半軸交于點C，拋物線經(jīng)過A、B、C三點，其頂點為M 求此拋物線的解析式； 設(shè)點D是拋物線與P的第四個交點（除A、B、C三點外），求直線MD的解析

8、式； 判定中的直線MD與P的位置關(guān)系，并說明理由。17.拋物線的頂點為M，與軸的交點為A、B（點B在點A的右側(cè)），ABM的三個內(nèi)角M、A、B所對的邊分別為m、a、b。若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。（1）判斷ABM的形狀，并說明理由。（2）當(dāng)頂點M的坐標(biāo)為（2，1）時，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大致圖形。（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，求該圓的圓心坐標(biāo)。18.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A；拋物線經(jīng)過O、A兩點.（1）試用含有字母a的代數(shù)式表示b；（2）設(shè)拋物線的頂點為D，以點D為圓心，以DA為半徑的圓被x軸分為劣弧

9、和優(yōu)弧兩部分，若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在D內(nèi)，且它所在的圓恰與OD相切，求D的半徑長及拋物線的解析式；19.已知拋物線與軸交于A、B兩點，點在軸的負(fù)半軸上，點B在軸的正半軸上，的長是的長的2倍，點為拋物線的頂點； （1）求此拋物線的解析式； （2）若點P在拋物線的對稱軸上，且P與軸、直線BC都相切，求點P的坐標(biāo).20.已知拋物線與軸交于A、B兩點，且點A在軸的負(fù)半軸上，點B在軸的正半軸上.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)OA、OB的長分別為、，且15，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，以AB為直徑的D與軸的正半軸交于P點，過P點作D的切線交軸于E點，求點E的坐標(biāo).如圖，在直角

10、坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，A（3，0）、B（m，）是以O(shè)A為直徑的M上的兩點，且tanAOB=,BHx軸，垂足為H（1） 求H點的坐標(biāo)；（2） 求圖象經(jīng)過A、B、O三點的二次函數(shù)的解析式；（3） 設(shè)點C為（2）中的二次函數(shù)圖象的頂點，問經(jīng)過B、C兩點的直線是否與M相切，請說明理由.注：拋物線yax2bxc（c0）的頂點為拋物線與相似三角形21.已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，與軸交于點，是原點. 求這條拋物線的解析式； 設(shè)該拋物線與軸的交點為、（在的左邊），問在軸上是否存在點，使以、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.yxOABMO122.如圖已知半徑為1的與軸交于兩點，

11、為的切線，切點為，圓心的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求切線的函數(shù)解析式；（3）線段上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似若存在，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由CPByA23.如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標(biāo)；否則，請說明理由二次函數(shù)中的線段長度問題24.已知：拋物線yx2（a2）x9的頂點在坐標(biāo)軸上（1）

12、求a的值；（2）求a0時，該拋物線與直線yx9交于A、B兩點，且A點在B點左側(cè)，求點A和點B的坐標(biāo)；（3）P為（2）中線段AB上的點（A、B兩端點除外），過點P作x軸的垂線與拋物線交于Q線段AB上是否存在點P，使PQ的長等于6，若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由25.如圖，已知 ，現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側(cè)放大，B點的對應(yīng)點為C（1）求C點坐標(biāo)及直線BC的解析式;（2）一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;（3）現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P26.已知一拋物線經(jīng)

13、過O(0，0)、B(1，1)兩點且解析式的二次項系數(shù)為 (a0(1)求該拋物線的解析式(系數(shù)用含a的代數(shù)式表示)；(2)已知點A(0，1)，若拋物線與射線AB相交于點M與x軸相交于點N(異于原點)，求點M、N的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；(3)在(2)的條件下，問：當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON+BM的值為常數(shù)？當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON-BM的值也為常數(shù)？27.如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)yx2-2mxm的圖像與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0 ） 兩點（x20x1），與y軸交于C點，且BACBCO（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）以點D(，0）為圓心作D，與y軸相切于點O過拋物線上點E（x

14、3，t）（t0，x30）作x軸的平行線與D交于F、G兩點，與拋物線交于另一點H，問：是否存在實數(shù)t，使得EFGH=FG？如果存在，求出 t的值；如果不存在，請說明理由28.已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）（1）請寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；（2）當(dāng)時，設(shè)與軸分別交于兩點（在的左邊），yxAOBB與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標(biāo)，請寫出一個你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于兩點，直線都垂直于軸，分別經(jīng)過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點，求線段的最大值29.（06天津）已知拋物線yax2bxc的頂點坐標(biāo)為(2

15、,4). （）試用含a的代數(shù)式分別表示b，c；（）若直線ykx4（k0）與y軸及該拋物線的交點依次為D、E、F，且，其中O為坐標(biāo)原點，試用含a的代數(shù)式表示k；（）在（）的條件下，若線段EF的長m滿足，試確定a的取值范圍。拋物線中的分類討論30.已知：如圖拋物線與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標(biāo)為（4，0）。（1）求該拋物線的解析式；（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QEAC，交BC于點E，連接CQ。當(dāng)CQE的面積最大時，求點Q的坐標(biāo)；（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標(biāo)為（2，0）。問：是否存在這樣的直線，使得ODF是等腰三角形

16、？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。31.如圖拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，且當(dāng)x0和x2時，y的值相等，直線y3x7與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標(biāo)是4，另一點是這條拋物線的頂點M（1）求這條拋物線的解析式；（2）P為線段BM上一點，過點P向x軸引垂線，垂足為Q，若P在線段BM上運動（點P不與點B、M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形PQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）在線段BM上是否存在點N，使NMC為等腰三角形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由32.關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x

17、軸從左到右依次交于兩點、，且（1）求k的值；（2）在（1）的條件下，在對稱軸左側(cè)的二次函數(shù)圖象上是否存在點M使銳角的面積等于3.若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在（1）的條件下，在此二次函數(shù)的圖象上是否存在的P，使得為等腰三角形，且？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.33.如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形若存在，求出所有符合條件的點坐標(biāo)；不存在，請說明理由ACByx011OBACDxy34.一開口向上的拋

18、物線與x軸交于A（，0），B（m2，0）兩點，記拋物線頂點為C，且ACBC（1）若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；（2）若m為小于0的常數(shù)，那么（1）中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點在坐標(biāo)原點？（3）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點，問是否存在實數(shù)m，使得BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由35.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標(biāo)（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）在對稱

19、軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；36.在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，、三點的坐標(biāo)分別為，.點M和點在軸上（點M在點的左邊），點在原點的右邊，作，垂足為（點在線段上，且點與點不重合），直線與軸交于 求經(jīng)過、三點的拋物線的解析式； 求點M的坐標(biāo)； 設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； 過點作直線平行于軸，在直線上是否存在點，使得為等腰三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.37.已知二次函數(shù).（1）證明：不論a取何值，拋物線的頂點Q總在x軸的下方；（2）設(shè)拋物線與y軸交于點C，如果過點

20、C且平行于x軸的直線與該拋物線有兩個不同的交點，并設(shè)另一個交點為點D，問：QCD能否是等邊三角形？若能，請求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式；若不能，請說明理由；拋物線與平移38.已知拋物線，如果拋物線與軸兩個交點都在軸左側(cè)，且是滿足上述條件的最大整數(shù)，求拋物線的解析式；求證中的這個拋物線與直線無公共點；怎樣把直線沿著軸平移，使平移后的直線與中的這個拋物線只有一個公共點P？求P點的坐標(biāo)。ABCOxy39.如圖已知拋物線與軸交于點，與軸交于點.（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交軸于點在線段的垂直平分線上是否存在點，使得點到直線的距離等于點到原點的距離？如果存在，求出點的坐標(biāo)；如果不存在，

21、請說明理由；（3）過點作軸的垂線，交直線于點，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？拋物線與直線40.（04年天津）已知一次函數(shù)y12x，二次函數(shù)y2x21. 根據(jù)表中給出的x的值，計算對應(yīng)的函數(shù)值y1、y2，并填在表格中：x-3-2-10123y12xy2x21觀察第問表中有關(guān)的數(shù)據(jù)，證明如下結(jié)論：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1y2均成立；試問，是否存在二次函數(shù)y3ax2bxc，其圖象經(jīng)過點（5，2），且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1y3y2均成立，

22、若存在，求出函數(shù)y3的解析式；若不存在，請說明理由.41.（09年天津)已知函數(shù)為方程的兩個根，點在函數(shù)的圖象上（）若，求函數(shù)的解析式；（）在（）的條件下，若函數(shù)與的圖象的兩個交點為，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求的值；42.已知二次函數(shù)的圖象交x軸于、，交y軸的正半軸于點C，且（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直線與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點，問是否存在b的值，使？若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.43.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與軸交于點C，點B的坐標(biāo)為，將直線沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B，C兩點（1）求直線及拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物

23、線的頂點為，點在拋物線的對稱軸上，且，求點的坐標(biāo)；（3）連結(jié)，求與兩角和的度數(shù)1Oyx2344321-1-2-2-144.在平面直角坐標(biāo)系中，P是第三象限角平分線上的點，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P.（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）問是否存在與拋物線只交于一點P的直線，若存在，求出符合條件的直線解析式；若不存在，請說明理由.二次函數(shù)與數(shù)形結(jié)合45.（07年天津）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論： ； ； ； ； ，（的實數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ）A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個xyO1-1246.如圖，二次函數(shù)的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點（-1，2）和（1，0），且與軸相交于負(fù)半

24、軸給出以下結(jié)論：； ； ； 其中正確結(jié)論的序號是 47.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖3所示，下列結(jié)論：abc0 2a+b0 4a2b+c0 a+c0，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個OyxA(-2,4)B(8,2)48.如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像相交于則能使成立的取值范圍_49.二次函數(shù)圖象如圖，對稱軸為直線，當(dāng)時函數(shù)值Oyx為；時函數(shù)值為；當(dāng)時函數(shù)值為；則、的大小關(guān)系是_拋物線與四邊形：50.已知：拋物線與軸交于C點，C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點.（1）求拋物線的對稱軸及C、點的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）；（2）如果點Q在拋物線

25、的對稱軸上，點P在拋物線上，以點、為頂點的四邊形是平行四邊形，求Q點和P點的坐標(biāo)（可用含的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，求出平行四邊形的周長.51.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為（3，0），OBOC ，tanACO（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度（4）如圖2，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和APG的最大面積. 圖1 圖2xyO12321A