相交線與平行線提高題

1、【例題】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OMAB，且OM平分NOC若BOC=4NOB，求MON的度數(shù)【分析】遇到類似“BOC=4NOB”這樣條件，常設(shè)NOB=2x，BOC=8x（目的為了計(jì)算和書寫方便，也為了更好理解，是常法強(qiáng)烈建議），則有CON6x，再根據(jù)“垂直的定義、角平分線的定義”可得到MON=0.5CON=3x，BOM=MON+NOB=3x+2x=90°，求出x的值，進(jìn)一步即可得MON的度數(shù)【解】設(shè)NOB=2x，BOC=8x，則CON=COBBON      =8x2x=6x.OM平分CON，MON=0.5CON=3x，OMA

2、B，AOM=90°，BOM=MON+NOB=3x+2x=90°，      解得x=180，MON=3x=3×18°=54°，即MON的度數(shù)為54°【點(diǎn)評】本題涉及到對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，熟練掌握對頂角相等、垂直的定義、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵，同時(shí)務(wù)必要注意解題規(guī)范，幾何書寫入門必須嚴(yán)格掌握【練習(xí)】如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O，OB平分COE，OFAB于O，（1）若EOF=120°，求AOD的度數(shù)；（2）若BOE=1/4EOF，求DOE的度數(shù)【解】（1）OFAB，

3、BOF=90°又EOF=120°BOE=EOFBOF=30°OB平分COEBOC=BOE=30°AOD=BOCBOC=30°；（2）設(shè)BOEx,則EOF=4xBOF=EOFBOE           =4xx=3x.BOF=90°，3x=90°，解得:x=30°OB平分COE，COE=2BOE=2x=60°DOE=180°COE=120°【例題】如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OAOB，

4、且OC平分AOF，(1)若AOE=40°，求BOD的度數(shù)；(2)若AOE=，求BOD的度數(shù)(用含的式子表示)；(3)從(1)(2)的結(jié)果中能看出AOE和BOD有何關(guān)系？（1）AOE+AOF=180°（鄰補(bǔ)角的定義），AOF=180°AOE，1800400140°；又OC平分AOF，F(xiàn)OC=0.5AOF=70°，EOD=FOC=70°（對頂角相等）；而BOE=AOBAOE=50°，BOD=EODBOE=20°；（2）AOE+AOF=180°，（鄰補(bǔ)角的定義）AOF=180°AOE=180°

5、;； 又OC平分AOF， FOC=0.5AOF=90°0.5， EOD=FOC=90°0.5   （對頂角相等）； 而BOE=AOBAOE=90°， BOD=EODBOE=0.5；（3）從（1）（2）的結(jié)果中不難觀察出：AOE=2BOD【反思】利用對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，熟練掌握對頂角相等、垂直的定義、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵，注意領(lǐng)會(huì)解題思路和解題過程和格式.幾何入門書寫必須嚴(yán)格規(guī)范.【練習(xí)】O為直線DA上一點(diǎn)，OBOF，EO是AOB的平分線（1）如圖（1），若AOB=130&

6、#176;，求EOF的度數(shù)；（2）若AOB=，90°180°，求EOF的度數(shù)；（3）若AOB=，0°90°，請?jiān)趫D（2）中畫出射線OF，使得（2）中EOF的結(jié)果仍然成立【解答過程】（1）EO是AOB的平分線，AOB=130°，AOE0.5AOB650.OBOF，BOF=90°，AOF=AOBBOF=130°90°=40°，EOF=AOEAOF=65°40°=25°；（2）AOB=，90°180°，     

7、 EO是AOB的平分線，AOE=0.5AOB0.5，BOF=90°，AOF=90°，EOF=AOEAOF      =0.5（90°）=9000.5；（3）如下圖示，AOB=，0°90°，BOE=AOE=0.5，BOF=90°，EOF=BOFBOE        =9000.5【試題】如圖，ABCD，AE平分BAD，CD與AE相交于F，CFE=E求證：ADBC【分析】可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得到滿足關(guān)于ADBC的條

8、件：內(nèi)錯(cuò)角2和E相等.證明：AE平分BAD，       1=2，          ABCD，         1=CFE      CFE=E，  2=E，  ADBC【點(diǎn)評】本題是角平分線的性質(zhì)以及平行線的判定定理的綜合運(yùn)用【拓展】如圖，ABCD，AE平分BAD，CD與AE相交于F，CEF=F求證：ADBC【分析】可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得到滿足關(guān)于ADBC的

9、條件：內(nèi)錯(cuò)角2和E相等.證明：AE平分BAD，           1=2，          ABCD，          1=CFE      CEF=F，   2=E，   ADBC【反思】注意體會(huì)拓展與原題(試題內(nèi)容和解答過程)的區(qū)別與聯(lián)系，再結(jié)合圖形思考，展開想象，探尋動(dòng)與靜的規(guī)律與聯(lián)系.【例題】已知：如圖，點(diǎn)B在直線AC上，BE和AD交

10、于F點(diǎn)，A=ADE，C=E（1）若EDC=3C，求C的度數(shù)（2）求證：BECD（1）A=ADE，       ACDE，       EDC+C=180°，    又EDC=3C，    4C=180°，    即C=45°；（2）ACDE，    E=ABE，  &#

11、160; 又C=E，    C=ABE，    BECD【反思】      (1)要能回答出上面每一步推理的根據(jù)，特別要注意邏輯順序.      (2)本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及判定的運(yùn)用，解題時(shí)應(yīng)注意判定與性質(zhì)的區(qū)別，不可用錯(cuò)【拓展】      已知：如圖，點(diǎn)B在直線AC上，BE和AD交于F點(diǎn)，A=ADE，DCB=DEB（1）若DCB =3E

12、DC，求DCB的度數(shù)（2）求證：BECD【例題】如圖，D、E在ABC的邊AB上，F(xiàn)點(diǎn)在邊BC上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【拓展1】如圖，D、E在ABC的邊AB所在的直線上，F(xiàn)點(diǎn)在邊BC所在直線上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【拓展2】如圖，D、E在ABC的邊AB所在的直線上，F(xiàn)點(diǎn)在邊BC所在直線上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【拓展3】如圖，D、E在ABC的邊AB所在的直線上，F(xiàn)點(diǎn)在邊BC所在直線上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【例題】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知A=F，C=D，求證BDCE【拓展1】如圖，

13、A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知A=AFD，C=D，求證BDCE【拓展2】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知CAF=F，C=D，求證BDCE【拓展2】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知CAF=AFD，C=D，求證BDCE【例題】如圖，直線ab， ACBC，2=55°，求1的度數(shù)【分析】1與2均不是“三線八角”的角，因此通過ab，想方設(shè)法構(gòu)造“三線八角”，建立1、2及ACB之間的聯(lián)系，從而求出2的度數(shù).法一：如下圖示，法二：（圖解）如下圖示，【反思與拓展】【拓展1】如圖，直線ab， ACBC，2=55

14、°，求1的度數(shù)（不可用“三角形內(nèi)角和定理”）【拓展2】如圖，直線ab， ACBC，2=55°，求1的度數(shù)8.【例題】已知，如圖，DEAC于E，AGF=ABC，1+2=180°，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由理由：AGF=ABC，      BCGF           1=3；           又1+2=1

15、80°，           2+3=180°，           BFDE；           AFBAED           DEAC，   

16、;        AED90°           AFB90°           BFAC【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并正確運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是正確答題的關(guān)鍵解題時(shí)要注意幾何語言書寫格式與過程，同時(shí)要注意思路與正確解答之間的關(guān)系.【拓展1】已知

17、，如圖，DEAC于E，AGF=ABC，12，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由【拓展2】已知，如圖，DEAC于E，AGF=ABC，12，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由【拓展3】已知，如圖，DEAC于E，AGF=ABC，BDEBFC，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由【例題】如圖，CDAB，DCB=70°，CBF=20°，EFB=130°，（1）問直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；（2）若CEF=70°，求ACB的度數(shù)【拓展1】如圖，CDAB，DCB=30°，CBF=20°，EFB=130°，（1）問

18、直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；（2）若CEF=110°，求ACB的度數(shù)【拓展2】如圖，CDAB，DCB=80°，CBF=20°，EFB=80°，（1）問直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；（2）若CEF=70°，求ACB的度數(shù)【試題】如圖，已知1+2=180°，B=3，求證：DEBC【拓展1】如圖，已知12，DBF=DEF，求證：DEBC【拓展2】如圖，已知12，4+DEF1800，求證：DEBC【例題】如圖，ABCD，ABE=70°，DCE=144°，求BEC的度數(shù)【分析】圖中雖有ABCD，

19、但無法直接得到“三線八角”，因此必須添加“輔助線”，將已知和所求的角進(jìn)行聯(lián)系，想方設(shè)法構(gòu)造出“三線八角”的基本圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行轉(zhuǎn)化.方法有多種：分別說明如下：法一：過E點(diǎn)往右側(cè)作EFCD，如下圖示：法二：過E點(diǎn)往左側(cè)作EFCD，如下圖示：法三：過B點(diǎn)作BFCD，交DC的延長線于F，如下圖示：法四：過C點(diǎn)作CFBE交AB的延長線于F，如下圖示：【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，利用已有的平行線，再構(gòu)造“三線八角”是解題的關(guān)鍵，當(dāng)然如果學(xué)了三角形（或多邊形）的內(nèi)角和，則解法就更多了：只要能得到“三線八角”均可得解【拓展1】如圖，ABCD，ABE=70°，DCE

20、=54°，求BEC的度數(shù)【拓展2】如圖，ABCD，ABE=35°，DCE=110°，求BEC的度數(shù)【拓展3】如圖，ABCD，ABE=40°，DCE=20°，求BEC的度數(shù)【試題】已知ABCD，ABE與CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F（1）如圖1，若E=80°，求BFD的度數(shù)（2）如圖2中，ABM=1/3ABF，CDM=1/3CDF，寫出M與E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論（3）若ABM=1/nABF，CDM=1/nCDF，設(shè)E=m°，直接用含有n，m°的代數(shù)式表示寫出M=【解析】（1）首先先求出ABE+CDE的度數(shù)，

21、方法均有4種，下面僅提供一種解法：如下圖示，過E點(diǎn)作EGCD，因ABCD，所以ABEGCD，得到ABE+21800，CDE+11800，從而ABE+(1+2)+ CDE3600，而BED1+2800，所以ABE+CDE2800. 再求3+4的度數(shù)，因BF和DF分別平分ABE和CDE，所以有3+40.5ABE+0.5CDE0.5（ABE+CDE）1400.      類似上述思路，可求得BFD5+63+41400.如下圖示：（2）如下圖示：類似前面分析，可得到：ABE+CDE3600E，ABF+CDF0.5ABE+0.5CDE0.5（A

22、BE+CDE）                 18000.5E，進(jìn)一步，得到：3+41/3ABF+1/3CDF           1/3(ABF+CDF)           1/3（18000.5E）   

23、;        6001/6E.得到BMD7+86001/6E.即6BMD+E3600.（3）與（2）題類似，如下圖示：類似前面分析，可得到：ABE+CDE3600E，ABF+CDF0.5ABE+0.5CDE0.5（ABE+CDE）                 18000.5E，進(jìn)一步，得到：3+41/nABF+1/nCDF           1/n(ABF+CDF)           1/n（18000.5m0）           1800/n